王建功

（晉能集團(tuán)大同有限公司，山西大同，037001）

目前，全球定位系統(tǒng)（GPS）在測量領(lǐng)域中有了很成熟的應(yīng)用，它可以直接精確地測定地面點(diǎn)的三維大地坐標(biāo)，使得傳統(tǒng)大地測量方法發(fā)生根本性的變革。但由GPS得到的高程數(shù)據(jù)大地高不是我們通常所使用的正常高或海拔高，所以在這些應(yīng)用中僅解決了平面坐標(biāo)，在高程方面由于GPS和我國通用的高程基準(zhǔn)不同而被舍棄，高程方面仍然多采用常規(guī)的幾何水準(zhǔn)測量方法來測定。GPS測量得到的高程是大地高，屬于GPS無約束平差的副產(chǎn)品，而我國用的是正常高系統(tǒng)，因此如何有效地把大地高轉(zhuǎn)換成正常高，是一個非常實(shí)際而又有意義的課題。

本文通過闡述GPS擬合常用的方法及其原理、使用MATLAB[1]對實(shí)測GPS數(shù)據(jù)和四等水準(zhǔn)測量數(shù)據(jù)采用不同方法的擬合及精度分析比較，實(shí)現(xiàn)了GPS大地高到正常高的轉(zhuǎn)換。

1 GPS高程擬合原理及方法

GPS系統(tǒng)測量所得到的是以WGS-84橢球面為基準(zhǔn)的大地高高程系統(tǒng)，而常規(guī)水準(zhǔn)測量所得到的是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的正常高高程系統(tǒng)。高程擬合即將兩種高程系統(tǒng)中的共同點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到目標(biāo)高程系統(tǒng)的高程并加以應(yīng)用[2]。

GPS高程擬合使用的方法一般為GPS水準(zhǔn)法，即將一部分GPS控制點(diǎn)布設(shè)到已知正常高的高程控制點(diǎn)上，采用水準(zhǔn)聯(lián)測的方法，使部分GPS控制點(diǎn)具有水準(zhǔn)高程，求得這些水準(zhǔn)重合點(diǎn)的高程異常，之后利用數(shù)學(xué)建模的方法對這些點(diǎn)的平面坐標(biāo)及高程異常[5]擬合出所選測區(qū)的高程異常ξ與點(diǎn)的平面位置（X,Y）的一個函數(shù)關(guān)系ξ=?（X,Y）,從而得到測區(qū)的一個近似似大地水準(zhǔn)面模型，用來解算其他點(diǎn)的高程異常值。然后利用公式Hr=H–ξ就可以求出未知點(diǎn)的正常高[4]。

主要的GPS高程擬合法包括：繪等值線法、解析內(nèi)插法、曲面擬合法、加權(quán)平均值法、基于多項(xiàng)式曲面擬合的加權(quán)平均模型、多面函數(shù)法與移動曲面法的加權(quán)綜合模型等。

2 擬合精度分析

為了能對GPS高程擬合的質(zhì)量有一個客觀的評定，在布設(shè)幾何水準(zhǔn)聯(lián)測點(diǎn)時，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)亩嗦?lián)測一些點(diǎn)，其點(diǎn)位也應(yīng)均勻地布設(shè)全網(wǎng)，作為外部檢核點(diǎn)使用來進(jìn)行檢測。

2.1 內(nèi)外符合精度

根據(jù)參與擬合計(jì)算已知點(diǎn)的高程異常ξ與擬合高程異常ξ′,求出擬合殘差V=ξ′-ξ,然后按下式可計(jì)算出GPS高程擬合計(jì)算的內(nèi)外符合精度(設(shè)參與擬合的已知點(diǎn)共有n個):

內(nèi)符合精度由于當(dāng)所選擇的點(diǎn)正好位于所選擇模型附近時會得到非常高的內(nèi)符合精度，但是這并不意味著這些點(diǎn)具有好的擬合精度，故非常不可靠。而外符合精度可以比較客觀的反映出未知點(diǎn)的高程擬合精度，所以在實(shí)際應(yīng)用中將外符合精度作為真正的評價標(biāo)準(zhǔn)，用來大致代替整個GPS測區(qū)的精度。

由于內(nèi)外符合精度都是從點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)角度出發(fā)的，所以這是一種相對的精度評價指標(biāo)，如果如果選擇的參考基準(zhǔn)不同則會有不同的評價結(jié)果，在實(shí)際中還要考慮到GPS水準(zhǔn)的閉合差，作為另一項(xiàng)精度評價指標(biāo)。

2.2 閉合差

用GPS水準(zhǔn)法求得的GPS控制點(diǎn)之間的正常高的高程差在已知點(diǎn)間組成符合或者閉合導(dǎo)線，并計(jì)算它們之間的的閉合差，計(jì)算得到的閉合差與表中的限差做比較，來評定GPS水準(zhǔn)測量可以達(dá)到的精度。測量規(guī)范中對水準(zhǔn)閉合差做了如表1的規(guī)定：

本研究中的水準(zhǔn)路線長度為L=4994.7784m，四等水準(zhǔn)測量限差為18mm，普通水準(zhǔn)測量限差為27mm。

表1 各等級幾何水準(zhǔn)測量限差

3 GPS高程擬合外業(yè)數(shù)據(jù)采集、擬合及精度分析

高程擬合試驗(yàn)需要高精度的大地高和正常高數(shù)據(jù)，所以需要進(jìn)行相關(guān)的外業(yè)數(shù)據(jù)采集工作。采集作業(yè)主要為E級的GPS控制網(wǎng)和四等水準(zhǔn)控制測量，數(shù)據(jù)采集場地選擇了地形起伏比較好的同煤集團(tuán)忻州窯礦附近的丘陵地區(qū)，經(jīng)過實(shí)地踏勘，選擇了分布均勻的16個點(diǎn)作為高程重合待測點(diǎn)，另加2個GPS已知點(diǎn)和一個高程已知點(diǎn)進(jìn)行布網(wǎng)聯(lián)測。

3.1 GPS控制網(wǎng)

根據(jù)需要，本試驗(yàn)采用了E級GPS控制網(wǎng)，采用了三臺南方靜態(tài)9600型號的單頻GPS接收機(jī)，按照點(diǎn)連式測量方案逐點(diǎn)施測，具體操作均參考《GPS工程測量規(guī)范》執(zhí)行，由于測區(qū)面積相對較小，點(diǎn)之間的距離比較近，為了提高GPS高程測量的精度，需要注意以下內(nèi)容：（1）測量時候采用隔點(diǎn)測量的方法進(jìn)行，盡可能使得測點(diǎn)之間的距離符合測量規(guī)范中點(diǎn)之間的距離不小于200m的規(guī)定。（2）GPS網(wǎng)應(yīng)通過獨(dú)立觀測邊，構(gòu)成閉合圖形。（3）選點(diǎn)應(yīng)該視野開闊，便于觀測和聯(lián)測。（4）同步觀測時間和精度有關(guān)系，應(yīng)該盡量長一點(diǎn)，夜晚可以時間短一點(diǎn)，電離層影響較小。

根據(jù)測得的合格的測量數(shù)據(jù)，使用南方GPS解算軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行解算和平差處理，得到了水準(zhǔn)重合點(diǎn)的點(diǎn)位圖及精確大地高，各點(diǎn)的點(diǎn)位圖如圖1。

3.2 四等水準(zhǔn)測量

根據(jù)《工程測量規(guī)范》，此次水準(zhǔn)測量選用的儀器為DS3微傾式水準(zhǔn)儀，紅黑雙面尺一對；施測時將16個待測點(diǎn)與已知點(diǎn)組成閉合水準(zhǔn)路線進(jìn)行導(dǎo)線測量。

圖1 GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)點(diǎn)位

3.3 水準(zhǔn)重合點(diǎn)高程異常

水準(zhǔn)測量和GPS測量都結(jié)束并解算分別合格以后，根據(jù)公式ξ=H-Hr可以得到GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)的高程異常，具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 水準(zhǔn)重合點(diǎn)高程異常

3.4 擬合方案選擇

根據(jù)各種擬合方案的原理，我們可知繪等值線法和解析內(nèi)插法相對精度較低，而曲面擬合法對于趨勢性變化的擬合效果比較好，所以擬合精度較高，同時結(jié)合我們所選的實(shí)地環(huán)境，本研究選擇了曲面擬合方法中的二次曲面擬合模型、多面函數(shù)擬合模型、加權(quán)平均值擬合模型等方法進(jìn)行研究。

根據(jù)方案的需要和GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)的分布，不同的方案需要選擇不同的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)來進(jìn)行相關(guān)的擬合計(jì)算，在選擇點(diǎn)位時由于點(diǎn)數(shù)不多，故只用傳統(tǒng)的人工經(jīng)驗(yàn)選點(diǎn)法進(jìn)行擬合計(jì)算的選擇。通過分析發(fā)現(xiàn)其中的13號點(diǎn)和4號點(diǎn)距離該區(qū)域中心較遠(yuǎn)，與其他點(diǎn)的相關(guān)程度較低，故將這兩個點(diǎn)剔除，以取得較好的擬合效果，其余14個點(diǎn)均參與擬合計(jì)算。

3.4.1 二次曲面擬合模型[6]

方案中，選擇1、2、3、5、8、9、14、11號點(diǎn)共8個作為已知點(diǎn)進(jìn)行擬合，其余的6、7、10、15、12、16號點(diǎn)共6個作為檢核點(diǎn)對擬合結(jié)果進(jìn)行檢核。

計(jì)算時先用已知點(diǎn)求解出二次曲面擬合系數(shù)，之后用求解出的擬合系數(shù)結(jié)合檢核點(diǎn)組成擬合方程并解算檢核點(diǎn)的高程異常，把解出來的高程異常和檢核點(diǎn)實(shí)測高程異常進(jìn)行對比，可以得到該方法的擬合精度。

用MATLAB語言對該方法進(jìn)行編程擬合，并且計(jì)算其擬合精度即擬合殘差，如表3：

表3 二次曲面各點(diǎn)殘差統(tǒng)計(jì)

經(jīng)計(jì)算，二次曲面函數(shù)法的擬合高差閉合差為25 mm，符合普通水準(zhǔn)測量的精度。

3.4.2 多面函數(shù)擬合模型[7]

使用多面函數(shù)擬合模型進(jìn)行高程擬合時，首先要解決的是核函數(shù)、光滑因子和函數(shù)節(jié)點(diǎn)的選擇。本文選擇了三種方法分別作為多面函數(shù)的核函數(shù)，第一種為正雙模函數(shù)，第二種為錐面函數(shù)，第三種為三次曲面函數(shù)。正雙曲面的光滑因子可以選擇不同的值，其范圍為[0,6000];錐面函數(shù)中的常數(shù)C根據(jù)多次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)C=60000時可以取得相對較高的擬合精度，故C值取C=60000；三次曲面函數(shù)中的常數(shù)C根據(jù)試驗(yàn)當(dāng)C=2×107時相對擬合精度最高，故令C=2×107；選點(diǎn)時采用人工選點(diǎn)法，本文選擇其中的8個點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)來進(jìn)行擬合。其余的6個點(diǎn)作為檢核條件進(jìn)行檢核。

用MATLAB語言對該方法進(jìn)行編程擬合，并且計(jì)算其擬合精度即擬合殘差，見表4。通過對該表的分析發(fā)現(xiàn)多面函數(shù)法中的錐面函數(shù)模型較其它兩者有較高的擬合精度。

表4 多面函數(shù)法擬合殘差統(tǒng)計(jì)

經(jīng)過計(jì)算和統(tǒng)計(jì)，三種方法的高差擬合差分別為：31 mm、22 mm和23 mm，除了正雙曲面不符合外，其余的都符合普通水準(zhǔn)測量限差。

3.4.3 加權(quán)平均值擬合模型

加權(quán)平均擬合模型的關(guān)鍵是已知點(diǎn)的選取。本研究中選擇的權(quán)函數(shù)為:

其中α可以選擇不同的值1，2，3。式中r為待定點(diǎn)到已知點(diǎn)的水平距離，即為計(jì)算點(diǎn)的平面坐標(biāo)，（xi,yi）為各水準(zhǔn)重合點(diǎn)的平面坐標(biāo)；ε為一個小的正數(shù)，用來防止權(quán)函數(shù)的分母為0，ε通常取0.01。

根據(jù)上述權(quán)函數(shù)可以求得待定點(diǎn)的高程異常。加權(quán)平均值法內(nèi)符合精度為零，只有擬合殘差，所以只能根據(jù)其擬合殘差來評價其擬合精度。

用MATLAB語言對該方法進(jìn)行編程擬合，并且計(jì)算其擬合精度即擬合殘差，見表5。

經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)k=1時，擬合的高程閉合差為27 mm，符合普通水準(zhǔn)測量規(guī)范。

表5 加權(quán)平均值法擬合精度

4 結(jié)論

根據(jù)擬合數(shù)據(jù)，在相近的已知條件下，多面函數(shù)模型的擬合精度要略高，適合在起伏較大的山區(qū)和丘陵地區(qū)，但要選擇適合的核函數(shù)。3種模型中，多面函數(shù)法中的錐面函數(shù)法擬合精度最高。在本研究中，通過比較發(fā)現(xiàn)擬合度一般平原地區(qū)較好，山區(qū)稍欠，經(jīng)大量試驗(yàn)表明，GPS高程擬合完全可以達(dá)到等外水準(zhǔn)的精度。如果布網(wǎng)合理，聯(lián)測點(diǎn)足夠，可達(dá)到IV等水準(zhǔn)的要求。

根據(jù)該實(shí)驗(yàn)，為了利用GPS方便的測量出礦山地面沉陷及位移數(shù)據(jù)，可先在礦區(qū)布設(shè)一簡單的GPS高程-水準(zhǔn)高程擬合網(wǎng)，經(jīng)GPS和水準(zhǔn)測量實(shí)測擬合后，得到擬合轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，利用多面函數(shù)法中的錐面函數(shù)法即可進(jìn)行兩種高程數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)快捷方便的獲取礦山地面沉陷及位移數(shù)據(jù)。