涂勇強(qiáng)，楊功流，萬振塬，蔡慶中

(1.北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191;2.中國飛行試驗研究所，西安 710089)

0 引言

光纖捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strap-down Inertial Navigation System，SINS )與全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)組合的組合導(dǎo)航系統(tǒng)能提供實(shí)時精確可靠的速度、位置及姿態(tài)等導(dǎo)航信息，已經(jīng)成為航海用標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)航設(shè)備[1]。然而，航海光纖慣導(dǎo)受到來自海浪、爆炸等沖擊和振動，導(dǎo)致慣性器件的零偏變化[2]，造成導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航精度的降低[3]。為降低振動沖擊對光纖慣導(dǎo)的影響，需要在光纖慣導(dǎo)與船體間安裝緩沖基座。配備于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的并聯(lián)緩沖器不僅能抵抗大沖擊[4]，還必須具有優(yōu)于導(dǎo)航系統(tǒng)姿態(tài)精度的復(fù)位精度[5]。Stewart平臺形式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、承載能力強(qiáng)、定位精度好等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于太空艙對接系統(tǒng)減振機(jī)構(gòu)[6]、高速機(jī)床加工精確定位機(jī)構(gòu)[7]、大射電望遠(yuǎn)鏡精調(diào)子系統(tǒng)[8]、高精度六維力傳感器結(jié)構(gòu)[9]等對承載和精度有較高精度的場合。針對航海光纖慣導(dǎo)用緩沖基座的場合，不僅要隔離碰撞、沖擊等高過載對慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響，而且要在沖擊過后快速地恢復(fù)到?jīng)_擊前的結(jié)構(gòu)尺寸，對緩沖基座的承載能力和精度都提出了較高的要求，因此采用Stewart平臺形式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為主體結(jié)構(gòu)形式設(shè)計慣導(dǎo)用緩沖基座。

然而，在沖擊前后，緩沖桿的復(fù)位誤差和球鉸的磨損是不可避免的，這些誤差導(dǎo)致緩沖基座的整體結(jié)構(gòu)的改變，使緩沖基座的復(fù)位精度降低。

為了減小緩沖桿復(fù)位誤差和球鉸磨損誤差對緩沖基座復(fù)位精度的影響，本文對航海光纖慣導(dǎo)緩沖基座結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。

本文以下部分的構(gòu)成如下。第1節(jié)首先介紹了緩沖基座以及復(fù)位精度的概念；第2節(jié)利用全微分方法分析了緩沖基座的復(fù)位精度，確立緩沖桿復(fù)位精度誤差和球鉸磨損誤差導(dǎo)致的尺寸參數(shù)變化與動平臺位姿變化的數(shù)學(xué)關(guān)系；第3節(jié)根據(jù)緩沖桿復(fù)位精度誤差和球鉸磨損誤差導(dǎo)致的尺寸參數(shù)變化與動平臺位姿變化的數(shù)學(xué)關(guān)系選取了最優(yōu)復(fù)位精度優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，并確定設(shè)計變量，將結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為數(shù)值優(yōu)化問題；第4節(jié)應(yīng)用模擬退火算法對緩沖基座進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，得到復(fù)位精度最優(yōu)的基座結(jié)構(gòu)參數(shù)；第5節(jié)通過對比分析了利用模擬退火算法得到的優(yōu)化參數(shù)與傳統(tǒng)優(yōu)化算法得到的優(yōu)化參數(shù)構(gòu)建的緩沖基座模型的復(fù)位精度的優(yōu)劣，確定模擬退火算法的可行性；第6節(jié)得出結(jié)論。

1 復(fù)位精度的定義

緩沖基座的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

緩沖基座安裝于船艙安裝板上，光纖慣導(dǎo)安裝于緩沖基座的動平臺上。緩沖基座由動平臺、靜平臺，6根緩沖桿以及12個球鉸組成。6根緩沖桿長度相同且12個球鉸均勻分布，因此緩沖基座是一個對稱結(jié)構(gòu)。這種對稱的Stewart平臺形式叫作6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)[10]。由于6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個自由度[11]，因此緩沖基座能隔絕來自6個自由度方向的振動和沖擊。

上下平臺分別通過6個球鉸與緩沖桿連接，下平臺固定在載體上，沖擊由下平臺傳入，通過6根緩沖桿的減振阻尼裝置移動衰減，沖擊過后恢復(fù)到?jīng)_擊前的幾何結(jié)構(gòu)。在沖擊前后，緩沖桿復(fù)位誤差和球鉸磨損誤差是不可避免的，最終導(dǎo)致緩沖基座復(fù)位精度的降低。

2 緩沖基座復(fù)位精度建模

為構(gòu)建緩沖基座復(fù)位精度與緩沖桿復(fù)位精度誤差和球鉸磨損誤差的關(guān)系，如圖2所示建立坐標(biāo)系。

分別以下上平臺的質(zhì)心O和o依據(jù)右上定則建立固定坐標(biāo)系O-XYZ和o-xyz，下上平臺球鉸中心Bi和Ai在各自的固定和動坐標(biāo)系的坐標(biāo)為bi(i=1,2,…,6)和ai(i=1,2,…,6)，Si(i=1,2,…,6)表示緩沖桿的矢量。

為上平臺的位置矢量和姿態(tài)矢量時，q可以寫為

(1)

由于緩沖桿復(fù)位誤差以及球鉸磨損造成的廣義坐標(biāo)偏差寫為

(2)

其中，δl定義為緩沖桿復(fù)位誤差且δli(i=1,2,…,6)為每根桿的桿長誤差；δe定義為球鉸磨損誤差，同時用上下球鉸位置誤差δai(i=1,2,…,6)和δbi(i=1,2,…,6)來表達(dá)δe。因此誤差源δl和δe可以寫為

(3)

(4)

如圖2所示，緩沖桿矢量可以寫為

Si=p+Rai-bi

(5)

式中，R為o-xyz相對于O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣。o-xyz相對于O-XYZ的旋轉(zhuǎn)過程可以用歐拉角定義：先繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β，最后繞X軸旋轉(zhuǎn)α。因此，R寫為

(6)

由于復(fù)位精度足夠小，忽略二階小量，得到

(7)

當(dāng)si為緩沖桿的單位矢量，li為緩沖桿桿長，式(5)可以寫為

lisi=p+Rai-bi

(8)

對式(8)兩邊同時進(jìn)行全微分，得到

δlisi+liδsi=δp+δRai+Rδai-δbi

(9)

(10)

對式(10)各項進(jìn)行分析：

(11)

(12)

(13)

將式(11)、式(12)與式(13)代入式(10)，可以得到

(14)

用矩陣形式簡化式(14)如下

δl=Jqδq+Jeδe

(15)

式中，Jq和Je分別為：

(16)

(17)

(18)

(19)

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題

由式(19)可知，緩沖基座復(fù)位精度對緩沖桿復(fù)位誤差和球鉸磨損的關(guān)系完全取決于緩沖基座的結(jié)構(gòu)參數(shù)。因此，在緩沖桿復(fù)位誤差和球鉸磨損不可避免的情況下，對緩沖基座的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使這些誤差對復(fù)位精度的影響最小。

對式(19)應(yīng)用矩陣的無窮范數(shù)相容性，得到

(20)

因此，結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

(21)

緩沖桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖3所示。

由于載體安裝尺寸的限制，下平臺的半徑被設(shè)定為

Rb=250mm

(22)

設(shè)計變量為

x=[Ra,α,β,h]T

(23)

受慣導(dǎo)的外形限制，Ra的范圍為

190mm≤Ra≤250mm

(24)

為避免球鉸支座的干涉，α和β的取值分別為

7°≤βs,αm≤15°

(25)

考慮到緩沖桿行程限制確定h的最小值，同時由總高度限制確定h的最大值：

0≤h≤290mm

(26)

至此，將緩沖基座的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為如下的數(shù)值優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)為

(27)

約束方程為：

(28)

4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題求解與對比

對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題有許多解法，傳統(tǒng)方法有不利用導(dǎo)數(shù)信息通過對比迭代點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值的直接法和利用導(dǎo)數(shù)信息尋找優(yōu)化方向的間接法。前者難以求解約束優(yōu)化問題，后者求解計算量大。

現(xiàn)代優(yōu)化算法是一類根據(jù)模仿生物行為或自然現(xiàn)象的自適應(yīng)優(yōu)化算法，可求解復(fù)雜的約束和非約束問題。其中，模擬退火算法是現(xiàn)代優(yōu)化算法中較新的一種方法，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中已經(jīng)有廣泛的應(yīng)用，并體現(xiàn)出極佳的性能[14-15]。

模擬退火算法模擬了退火過程的熱力學(xué)現(xiàn)象。將目標(biāo)函數(shù)作為內(nèi)能，隨退火過程內(nèi)能最低，即目標(biāo)函數(shù)最小，得到全局最優(yōu)解。其基本流程如圖4所示。

根據(jù)圖4，模擬退火算法的步驟如下：

1)參數(shù)初始化：設(shè)置初始溫度T0，設(shè)計變量初始值X0,精度收斂閾值ε，每個溫度點(diǎn)的迭代次數(shù)K；

2)k從1開始逐次增加計數(shù)循環(huán)3)～6)直至k=K+1跳出循環(huán)；

3)從設(shè)計變量Xi的領(lǐng)域中隨機(jī)產(chǎn)生Xj；

4)計算兩者3)中2個設(shè)計變量的目標(biāo)函數(shù)差值Δf=f(Xj)-f(Xi)；

6)判斷，若k≤K+1，轉(zhuǎn)回第2)步；

7)降低溫度，Tm+1=αTm，其中α<1；

8)判斷算法是否終止：Δf=|f(Xj)-f(Xi)|<ε終止。

最后得到了優(yōu)化結(jié)果。

為了驗證該方法的正確性，同時用擬牛頓法和步長加速法對緩沖基座進(jìn)行優(yōu)化求解，得到如表1所示的結(jié)果。

表1 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果對比

5 優(yōu)化結(jié)果仿真驗證

對優(yōu)化得到的結(jié)果進(jìn)行蒙特卡洛仿真驗證，把緩沖桿復(fù)位誤差設(shè)為幅值為±0.02mm的均勻分布，球鉸磨損誤差設(shè)為幅值為±0.01mm的均勻分布。得到各種方法的復(fù)位精度如表2所示。

表2 三種方法的復(fù)位精度

因此，由模擬退火算法得到的緩沖基座的復(fù)位精度最高。

6 結(jié)論

本文針對緩沖基座沖擊前后緩沖桿復(fù)位誤差和和球鉸磨損誤差造成的復(fù)位精度降低，推導(dǎo)了復(fù)位精度與緩沖桿復(fù)位誤差和球鉸磨損誤差的關(guān)系，通過確定目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量，利用復(fù)位精度模型將緩沖基座優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為數(shù)值優(yōu)化問題，最后通過模擬退火算法、擬牛頓和步長加速法分別求解優(yōu)化問題，通過對比發(fā)現(xiàn)模擬退火算法的結(jié)果最優(yōu)。為緩沖基座的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計給出理論指導(dǎo)。