陳媛媛,鄭 玲

(重慶大學汽車工程學院,機械傳動國家重點實驗室,重慶 400044)

前言

傳統(tǒng)的汽車碰撞安全研究方法為實車試驗法，但這種方法研究周期長，費用昂貴且對試驗設備和人員的要求較高。隨著計算機輔助分析技術的不斷發(fā)展和碰撞理論的逐漸成熟，汽車碰撞過程的有限元仿真得到實現(xiàn)，極大地縮短了開發(fā)周期。然而對于汽車碰撞這種復雜且存在高度非線性的動力學過程，有限元仿真技術無法滿足迭代優(yōu)化的計算要求，因此將代理模型應用于汽車碰撞安全優(yōu)化的方法得到發(fā)展。

1992年文獻[1]中首次利用代理模型對結(jié)構(gòu)的抗撞性能進行分析，隨后文獻[2]和文獻[3]中將其應用到結(jié)構(gòu)的抗撞性優(yōu)化中。經(jīng)過長期的發(fā)展和完善，多項式響應面模型、Kriging模型和徑向基函數(shù)模型等多種代理模型方法在碰撞安全領域得到廣泛應用。目前，如何構(gòu)造高精度的代理模型來替代有限元模型進行優(yōu)化已成為汽車碰撞安全性優(yōu)化的重點。文獻[4]中采用隨機抽樣、分層抽樣和拉丁超立方抽樣3種方法進行樣本點的選取并建立代理模型，通過比較其預測誤差平均值和方差發(fā)現(xiàn)，拉丁超立方抽樣法優(yōu)于另外兩種方式。文獻[5]中對多元二次(Multiquadric，MQ)徑向基函數(shù)和高氏(Gaussian)徑向基函數(shù)中形式參數(shù)c的選擇進行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)模型的擬合精度僅在合適的c值范圍內(nèi)提高。文獻[6]中將多項式響應面函數(shù)和徑向基函數(shù)應用于汽車前端部件的抗撞性優(yōu)化問題，擬合后發(fā)現(xiàn)通過方差分析后的二次多項式響應面函數(shù)可以很好地對結(jié)構(gòu)的能量吸收進行預測，而MQ徑向基函數(shù)對峰值加速度的預測能力更高，說明對于不同的擬合對象應該單獨分析，并選擇合適的代理模型。

針對多目標優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法迭代計算的周期長，優(yōu)化效率低，亟需一種快速的優(yōu)化計算模型來替代。本文中結(jié)合代理模型技術和多目標優(yōu)化算法，采用代理模型代替有限元模型，以某乘用車正面碰撞安全性為對象，對該車質(zhì)量、B柱加速度峰值和前圍板侵入量進行了優(yōu)化。

1 汽車正撞有限元模型

圖1為某乘用車有限元模型，它包含778個部件，約105萬個單元，93萬個節(jié)點，總質(zhì)量為1.642t。利用該模型建立100%正面碰撞仿真計算模型，采用LS-DYNA求解計算。圖2為座椅橫梁加速度響應均值的試驗結(jié)果與仿真對比。由圖可見，曲線的變化趨勢基本吻合，說明此碰撞模型是準確的，其計算結(jié)果可靠有效。

圖1 整車有限元模型

圖2 座椅橫梁加速度均值的試驗結(jié)果與仿真對比

2 目標代理模型的建立

2.1 代理模型的基本方法

代理模型的建立包括以下兩個方面：(1)采用試驗設計方法，在變量空間中選取樣本點的數(shù)量規(guī)模和分布位置；(2)利用數(shù)值模型(如有限元仿真模型)計算出各樣本點處的輸出響應值，得到代理模型可用的訓練數(shù)據(jù)集，并在此基礎上構(gòu)建出相應的近似代理模型。

試驗設計(design of experiment，DOE)是一種用來對多因素和響應變量關系進行處理和研究的科學方法[7]。目前常用的DOE方法有全因子試驗設計、正交試驗設計、拉丁超立方試驗設計等，這里采用拉丁超立方試驗設計方法。拉丁超立方試驗設計是一種隨機抽樣法，具有“空間填充”的特征，可以保證整個變量空間都被樣本點覆蓋。

使用代理模型替代有限元模型時，首先需要保證代理模型的預測結(jié)果與有限元仿真計算結(jié)果足夠接近，必須通過精度評估指標來提高代理模型在整個設計空間的響應預測能力。本文中利用檢驗樣本點的平均相對誤差作為模型的誤差分析指標，其表達式為

RE的值越小越靠近0，說明模型的精度越高。

2.2 優(yōu)化目標和設計變量

汽車碰撞過程是一種非常復雜的非線性動態(tài)過程，其響應是多種的，可被作為優(yōu)化目標的變量也是多樣的，如加速度、速度、力和位移等。汽車碰撞安全性優(yōu)化的目的是，當汽車碰撞事故發(fā)生時，盡量保護乘員不受傷害或?qū)⑹艿降膫Τ潭冉档阶畹停虼?，作為?yōu)化的目標函數(shù)必須能表征乘員的安全狀態(tài)或傷害程度。本文中以B柱加速度峰值和前圍板侵入量最小化為優(yōu)化目標，同時考慮輕量化的要求，將整車質(zhì)量作為約束條件，三者的初始值分別為35.3g，138.54mm 和 1.642t。

在汽車碰撞過程中，主要的受力和吸能部件都在前端，因此選擇碰撞過程中變形較大的前端板件作為優(yōu)化的對象。將汽車前端12個板件厚度作為優(yōu)化變量，根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，可簡化為8個變量。表1為各板件的初始厚度和優(yōu)化取值范圍。

2.3 優(yōu)化目標代理模型的建立

為研究樣本數(shù)量對代理模型精度的影響，并得到相對明顯的優(yōu)化效果，采用拉丁超立方試驗設計方法，共抽取了174組樣本，用其中的150組數(shù)據(jù)作為訓練樣本集，剩余的24組數(shù)據(jù)作為檢驗樣本點，并將其隨機分為1和2兩組檢驗樣本，各12組數(shù)據(jù)，研究檢驗樣本點變化對模型誤差的影響。

2.3.1 測試點評價法構(gòu)造代理模型

用150組訓練樣本集數(shù)據(jù)中不同數(shù)量的樣本點分別建立各優(yōu)化目標4種類型的代理模型，且每個代理模型的精度都用兩組檢驗樣本進行驗證，得到模型預測值與仿真計算值之間的平均相對誤差，作為模型精度的評價指標。圖3～圖5分別給出了兩組不同檢驗樣本點下各優(yōu)化目標代理模型的誤差變化曲線，圖中SVD為二次多項式響應面模型，RBF_GS為高斯徑向基函數(shù)模型，kriging為克里金模型，RBF_MQ為多元二次徑向基函數(shù)模型。由于建立完全形式的二次多項式需要的最小樣本數(shù)量為45組，因此多項式響應面模型的樣本數(shù)量從45組開始變化，其余模型樣本數(shù)量從30組開始變化。

圖3 整車質(zhì)量的代理模型精度比較

從圖中可以看出，在兩組檢驗樣本點下，當樣本數(shù)量增加時，SVD模型的擬合精度變化最明顯，擬合誤差減小而精度提高，但波動也較大。與Kriging模型、RBF_GS模型和RBF_MQ模型相比，SVD模型的擬合精度較低，而當樣本數(shù)量足夠時，SVD模型也能達到較高的擬合精度。對Kriging模型和徑向基函數(shù)模型而言，由于模型本身的擬合精度較高，樣本數(shù)量的增加對模型精度的影響不大。這說明對于某些代理模型，即使增加樣本點數(shù)量，也不能達到提高模型精度的目的，反而會花費大量計算時間。同時，由于整車質(zhì)量的線性程度較高，各類型代理模型的擬合精度都較好，而對于B柱加速度峰值和前圍板侵入量這種非線性程度較高的問題，代理模型的擬合誤差都較大。

對比兩組檢驗樣本點下的模型誤差，用兩組樣本點檢驗模型精度時，模型的誤差有較大差別，說明采用測試點評價方法來對模型精度進行評估時，由于該方法是以檢驗樣本點的平均相對誤差作為評價指標，評價的結(jié)果在很大程度上取決于測試點的數(shù)目和位置，用隨機產(chǎn)生的有限測試點可能很難對代理模型在整個設計空間的精度進行有效評價，導致出現(xiàn)較大的隨機性和偏差。

圖4 B柱加速度峰值的代理模型精度比較

2.3.2 交叉驗證法構(gòu)造代理模型

交叉驗證是一種簡單的模型精度評價、模型選擇方法，可以充分利用樣本點信息對模型進行檢驗。其中，k-折交叉驗證是最常用的方法，將樣本集隨機劃分為大小相同的k份，其中k-1份作為訓練集以構(gòu)造子代理模型，剩下的1份作為驗證集，然后依次輪換訓練集和驗證集，共進行k次子代理模型的構(gòu)造和驗證。將k次子代理模型的精度進行數(shù)據(jù)處理，通常采用求平均值的方法，得到整個模型的精度，而驗證誤差最小的模型即為所求模型。

本文中采用1次10折交叉驗證法來對各優(yōu)化目標的代理模型進行選擇。將仿真計算得到的150個樣本點隨機劃分為10組，每組15個，利用其中的9組構(gòu)建子模型，則有135個樣本點，剩下的15個樣本點進行檢驗，如此進行10次。表2～表4分別給出了整車質(zhì)量、B柱加速度峰值和前圍板侵入量的不同類型代理模型的10組子模型的驗證誤差及其平均值，其中驗證誤差為檢驗樣本點處預測值與仿真值的平均相對誤差。

圖5 前圍板侵入量的代理模型精度比較

表2 整車質(zhì)量子代理模型的交叉驗證誤差

從表2可以看出，在樣本數(shù)量足夠的條件下，對于整車質(zhì)量這種非線性程度較低的問題，多項式響應面模型、Kriging模型和徑向基函數(shù)模型均表現(xiàn)出較好的擬合效果，各子代理模型的驗證誤差都在0.2%以內(nèi)，具有較高的精度，其中第3組RBF_MQ模型的驗證誤差最小，僅為0.038%。4種代理模型中，RBF_MQ模型的精度最高，Kriging模型其次，多項式響應面模型再次，而高斯徑向基函數(shù)模型最差。

表3 B柱加速度峰值子代理模型的交叉驗證誤差

表4 前圍板侵入量子代理模型的交叉驗證誤差

通過表3和表4可以看出，相比整車質(zhì)量，B柱加速度峰值和前圍板侵入量的非線性程度較高，代理模型的擬合精度相對較低，而前圍板侵入量的非線性程度又高于B柱加速度峰值，誤差更明顯。B柱加速度峰值的子代理模型最大誤差為3.46%，而前圍板侵入量的子代理模型最大誤差為9.23%，兩個目標函數(shù)各子模型的最小誤差也在1%以上。無論是B柱加速度峰值，還是前圍板侵入量，擬合精度最高的子模型都是第2組RBF_MQ模型，誤差分別為1.15%和1.26%；4種代理模型中，都是RBF_MQ模型精度最高，Kriging模型其次，多項式響應面模型再次，而RBF_GS模型最差。

綜上所述，不論對于非線性程度較高，還是線性程度較高的問題，RBF_MQ模型和Kriging模型都表現(xiàn)出較優(yōu)的擬合效果。其中RBF_MQ模型的精度更高，因此可優(yōu)先選擇。在樣本數(shù)量充足時，多項式響應面對非線性問題的擬合精度也可達到要求，而高斯徑向基函數(shù)模型的使用則可根據(jù)實際問題的需要和樣本規(guī)模的大小進行選擇。

3 正撞安全性多目標優(yōu)化

3.1 優(yōu)化目標代理模型的選擇

表5給出采用兩種模型評價方法時，3個優(yōu)化目標代理模型的精度比較。可以看出，采用交叉驗證方法構(gòu)造的代理模型的最小誤差更小，模型精度更高。因此，將表2中的第3組RBF_MQ模型、表3中的第2組RBF_MQ模型以及表4中的第2組RBF_MQ模型分別作為整車質(zhì)量、B柱加速度峰值以及前圍板侵入量的優(yōu)化代理模型。

表5 兩種評價方法的模型精度比較

3.2 多目標優(yōu)化建模與求解

汽車正面碰撞安全性多目標優(yōu)化的數(shù)學模型可表示為

式中：M(x)為整車質(zhì)量；A(x)為B柱加速度峰值；D(x)為前圍板入侵量；x1～x8為待優(yōu)化板件的厚度。

在Modefrontier軟件中搭建優(yōu)化流程，采用NSGA-II優(yōu)化算法進行100次迭代尋優(yōu)，得到176組Preto最優(yōu)解。圖6給出了Preto解集的氣泡圖。從圖中可以看出：當整車質(zhì)量處于較低水平時，B柱加速度峰值和前圍板侵入量都處于較高水平，甚至超過了初始值，不符合優(yōu)化設計的初衷；而當整車質(zhì)量處于較高水平時，B柱加速度峰值雖然處于較低水平，前圍板侵入量又顯然偏大，不滿足安全性的設計要求。出于對安全性和輕量化的考慮，首先滿足對B柱加速度峰值和前圍板侵入量的優(yōu)化和降低程度，選擇B柱加速度峰值和前圍板侵入量都處于較低水平的Preto解作為最終的優(yōu)化方案，如圖中箭頭所指。表6給出了該方案中各板件的厚度值和優(yōu)化目標的優(yōu)化解。

圖6 優(yōu)化目標的Preto解數(shù)值變化關系

表6 多目標優(yōu)化的初始值與優(yōu)化值

代理模型的預測結(jié)果的準確性需要通過有限元計算來進行驗證，表7給出了優(yōu)化解的預測值與仿真值對比。3個優(yōu)化目標的相對誤差都在可接受的范圍內(nèi)，說明本文中構(gòu)造的代理模型滿足精度要求，可對仿真結(jié)果進行預測。優(yōu)化后，整車質(zhì)量為1.637 9t，減少了4.1kg；B柱加速度峰值為32.32g，比優(yōu)化前降低了8.44%；前圍板侵入量為130.19mm，比優(yōu)化前降低了6.03%。

表7 優(yōu)化解的預測值與仿真值對比

4 結(jié)論

結(jié)合有限元法和代理模型方法，對某乘用車100%正面碰撞安全性進行了優(yōu)化，研究了樣本數(shù)量對代理模型精度的影響，并比較了測試點評價方法和交叉驗證法對模型精度評估的不同效果，得出結(jié)論如下。

(1)隨著樣本點數(shù)量的增加，代理模型的精度有提高的趨勢，但當樣本數(shù)量達到一定規(guī)模時，模型的精度不再隨數(shù)量的增加而提高，此時擴大樣本數(shù)量只會增加計算成本而達不到提高模型精度的目的。

(2)對于線性程度較高的問題，多項式響應面模型、Kriging模型和徑向基函數(shù)模型都有較好的擬合效果；對于非線性程度較高的問題，宜采用MQ徑向基函數(shù)模型和Kriging模型，若樣本數(shù)量足夠，多項式響應面模型也能達到較好的擬合效果。

(3)采用測試點評價方法對模型精度進行評估時，產(chǎn)生的結(jié)果在很大程度上取決于測試點的數(shù)目和位置，測試點不同，模型精度的評估結(jié)果可能會有較大的差異。由于測試點是有限的，如本文中只用了12個測試點來計算模型誤差，因此使用隨機選取的有限的測試點可能很難對代理模型在整個設計空間的精度進行有效評價，這種評價方法存在較大的隨機性和偏差。而交叉驗證法無需產(chǎn)生額外的檢驗點，通過充分利用現(xiàn)有樣本點信息，可以確定出能對問題進行準確描述的主要成分，建立更高精度的替代模型。

(4)本文中的優(yōu)化結(jié)果達到了碰撞安全性和整車輕量化的要求，且預測值與仿真值誤差較小，說明構(gòu)造的代理模型是準確的。說明將有限元法與代理模型技術相結(jié)合的方法可用于汽車碰撞的優(yōu)化，對降低設計周期，提高工程優(yōu)化設計效率具有重要意義。