任澤宇，羅丁利，于迎春

(西安電子工程研究所 專業(yè)5部，陜西 西安 710100)

在雷達(dá)系統(tǒng)信號處理器設(shè)計過程中，常對數(shù)據(jù)進(jìn)行抽取處理，以實(shí)現(xiàn)降低數(shù)據(jù)率、降低系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)難度的目的[1]。工程應(yīng)用中需利用幅相特征提取有用信息，然而僅根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行抽取會對幅相的絕對值造成影響。相關(guān)文獻(xiàn)對抽取的研究主要集中在譜線展寬、避免頻譜嚴(yán)拓及保留原始信息成分方面[2-7]，對抽取導(dǎo)致的信號絕對幅相變化規(guī)律分析較少，不足以解釋工程實(shí)現(xiàn)所遇問題，因此探究其變化規(guī)律是有必要、有意義的。

傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)可實(shí)現(xiàn)信號時/頻域轉(zhuǎn)換[8]。本文首先介紹DFT原理，并得出點(diǎn)頻信號傅里葉變換后峰值處幅度、相位計算表達(dá)式，并分析不同頻率信號幅相取值范圍及頻譜泄露情況；隨后進(jìn)行理論分析，獲得p倍抽取后幅相的變化規(guī)律；最后通過仿真手段進(jìn)行驗(yàn)證并對變化規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。

1 信號頻域幅相分析

為了分析抽取后的絕對幅相變化規(guī)律，首先需要獲得信號經(jīng)傅里葉變換后頻域幅度、相位的表達(dá)式。本文采用點(diǎn)頻信號做分析，暫不考慮噪聲影響。點(diǎn)頻信號頻譜表現(xiàn)為單根譜線，故分析最值處幅相即可。設(shè)角頻率為w0的復(fù)信號表示為x(t)=A·ej·w0·t)，A為信號幅度，w0=2·π·f0，f0為信號頻率。數(shù)字信號處理中需要對信號進(jìn)行采樣，設(shè)采樣率為fs，離散信號表示為x(n)=A·ej·2πf0·n/fs)，n=0,1,2…為離散的采樣點(diǎn)，歸一化頻率定義為f0/fs[9]。對該復(fù)正弦信號進(jìn)行N點(diǎn)傅里葉變換的計算式[8]為

(1)

其中k=0,1,2…N-1，式(1)可視為一個等比序列求和的問題，則可表示為

(2)

對式(2)做進(jìn)一步變換得

(3)

(4)

根據(jù)正余弦相關(guān)定理[10]，進(jìn)一步推導(dǎo)得

(5)

工程實(shí)現(xiàn)中采樣率、DFT點(diǎn)數(shù)N根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)確定后將保持不變，針對不同的信號頻率公式(4)中剩余不同，傅里葉變換后頻譜峰值將在最大、最小值區(qū)間變化，最大值即對應(yīng)為N點(diǎn)DFT的理論增益，對于公式(4)中k無法取整數(shù)情況下增益有所降低，即出現(xiàn)了一定的頻譜泄漏[12]。

經(jīng)理論分析及相應(yīng)的推導(dǎo)，獲得本文第一項(xiàng)結(jié)論：不同采樣率、信號頻率情況下，幅度最大增益比最小增益大π/2倍，此結(jié)論亦可表述為DFT存在頻譜泄漏時，最大的頻譜泄露功率為3.922 dB。對于信號存在初相θ情況，僅在X(k)表達(dá)式中增加一復(fù)數(shù)項(xiàng)ej·θ其模值為1，本結(jié)論不變。

2 抽取后幅相變化規(guī)律分析

(6)

根據(jù)上述分析，k′同樣存在取得整數(shù)或小數(shù)情況，剩余不同則點(diǎn)頻信號頻譜峰值處幅相絕對值將發(fā)生改變。由于本文分析的是點(diǎn)頻窄帶信號，為防止發(fā)生頻譜混疊，抽取前應(yīng)該進(jìn)行低通濾波處理[14]。工程實(shí)現(xiàn)中于下變頻后也應(yīng)進(jìn)行低通濾波處理。

接下來，分析抽取后幅度的變化規(guī)律：由于p倍抽取后相位被約束于某一區(qū)間內(nèi)，相位線性變化規(guī)律將體現(xiàn)為鋸齒狀。

根據(jù)規(guī)律(2)中分析未進(jìn)行抽取時式(4)中k取為k1，p倍抽取后式(6)中k′取為k2。將公式(8)帶入式(3)得抽取后幅度表達(dá)式為

(10)

其中n=p·m-k2′，-0.5≤n≤0.5，對于不同的信號頻率、抽取率，剩余在(-0.5,+0.5)區(qū)間內(nèi)變化，即幅度將按照相位變化周期規(guī)律起伏，幅度的取值被限制在(|X(k)|min,|X(k)|max) 區(qū)間。初相θ僅在式(3)中增加一復(fù)數(shù)項(xiàng)ej·θ，不影響幅度的變化規(guī)律及變化區(qū)間。

經(jīng)理論分析及相應(yīng)的推導(dǎo)，獲得本文第二項(xiàng)結(jié)論：抽取后相位按線性規(guī)律變化，幅度與相位同周期變化；初相影響相位變化區(qū)間，初相不影響幅度變化區(qū)間；初相不影響幅度、相位的變化規(guī)律。

3 仿真驗(yàn)證

本文通過仿真手段印證理論分析結(jié)論的正確性，仿真參數(shù)的選取主要以分析處理方便為目的。對于其他信號頻率、采樣率及DFT點(diǎn)數(shù)本文所得結(jié)論不變。

仿真參數(shù)設(shè)計為：信號形式為點(diǎn)頻信號，采樣率固定取為8 192 MHz，DFT點(diǎn)數(shù)N=8 192，理想信號未加噪聲。信號頻率分別取為30 MHz、30.208 712 5 MHz、30.5 MHz、30.808 712 5 MHz、-30.208 712 5 MHz，抽取率按照1、2、3…100變化，初相取為0。為分析初相的影響取頻率30.808 712 5 MHz，初相π/3做對比分析。

首先仿真分析采樣率固定、DFT點(diǎn)數(shù)N=8 192固定，不同信號頻率對應(yīng)不同剩余n(-0.5≤n≤0.5)條件下，最值處幅相變化規(guī)律。

圖1 不同剩余n下傅里葉變換最大值處幅相變化

從圖1中可以看出：不同剩余下傅里葉變換的最大增益是不同的，具體數(shù)據(jù)印證了本文第一項(xiàng)結(jié)論：不同信號頻率DFT最大頻譜泄露為3.922 dB，即最大增益比最小增益大π/2倍。在工程實(shí)現(xiàn)中系統(tǒng)采樣率固定、DFT點(diǎn)數(shù)固定的條件下，輸入信號頻率不同，DFT所得增益與理論值相比最大偏差不超過3.922 dB。接下來仿真驗(yàn)證第二項(xiàng)結(jié)論。由第2節(jié)的分析(2)可知，若式(4)可取得整數(shù)，則該頻率點(diǎn)頻信號抽取后幅度、相位均無變化。圖2分析30 MHz信號驗(yàn)證了這一點(diǎn)，對不同的抽取率，k′均取得整數(shù)。仿真分析圖中，每一抽取率對應(yīng)的幅相值表現(xiàn)為獨(dú)立的點(diǎn)，將其連線處理可以更直觀的觀測變化規(guī)律。

圖2 30 MHz信號抽取引起的絕對幅相變化

圖3 30.208 712 5 MHz信號抽取引起的絕對幅相變化

對于頻率為30.808 712 5MHz的信號，式(7)中剩余m=-0.191 3，根據(jù)第二項(xiàng)結(jié)論相位隨抽取率的變化曲線斜率為負(fù)，并按照鋸齒狀變化，如圖4所示。對于頻率為30.5MHz信號根據(jù)式(6)，對于不同的抽取率，剩余僅取為0或0.5，此時幅相值隨抽取率變化僅在兩個值間跳變，如圖5所示。

圖4 30.8087125MHz信號絕對幅相變化

圖5 30.5 MHz信號絕對幅相變化

接下來分析初相對抽取后幅相的影響。圖6為頻率30.808 712 5 MHz，初相π/3信號抽取后絕對幅相變化圖。與圖4相比幅度變化規(guī)律相同，相位變化變化規(guī)律相同、斜率不變但區(qū)間改變，圖6中絕對相位各點(diǎn)取值在圖4基礎(chǔ)上增加π/3。與第二項(xiàng)結(jié)論相一致：初相影響相位變化區(qū)間，初相不影響幅度變化區(qū)間；初相不影響幅度、相位的變化規(guī)律。通過圖4和圖6的對比亦可說明兩路信號經(jīng)過相同的處理，幅相的相對關(guān)系沒有發(fā)生變化。圖7仿真說明負(fù)頻信號亦按所得規(guī)律變化，負(fù)頻信號對應(yīng)工程中負(fù)多普勒頻率信號，出現(xiàn)在目標(biāo)相對運(yùn)動遠(yuǎn)離情況[15]。

圖6 初相為π/3信號絕對幅相變化

圖7 -30.208 712 5 MHz信號絕對幅相變化

通過圖2～圖7的分析，充分說明抽取率將導(dǎo)致信號幅相絕對值的改變，變化規(guī)律與式(9)和式(10)相吻合。逐條逐項(xiàng)對所得第一、第二結(jié)論進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果進(jìn)一步說明了本文研究所獲幅相變化規(guī)律的正確性。

4 結(jié)束語

本文通過理論分析及充分的仿真驗(yàn)證得出如下結(jié)論：(1)相位隨抽取率線性規(guī)律變化，幅度與相位同周期變化；(2)初相僅影響相位變化區(qū)間，初相不影響幅度變化區(qū)間；(3)初相不影響幅度、相位的變化規(guī)律。與已有文獻(xiàn)資料中對抽取的研究角度不同，本文著重對幅相絕對變化規(guī)律進(jìn)行分析，所得結(jié)論與工程實(shí)際結(jié)果相吻合，為工程實(shí)現(xiàn)提供了理論支撐。本研究得出獲得DFT處理最大頻譜泄露為3.922 dB的結(jié)論，闡釋了工程中對不同頻率信號處理結(jié)果起伏的可能原因，為工程實(shí)現(xiàn)提供了設(shè)計依據(jù)和理論參考。