☉江蘇省宿遷中學(xué) 張滿成

創(chuàng)新問題是培養(yǎng)學(xué)生能力、優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的極好素材.數(shù)學(xué)考綱中明確要求：以數(shù)學(xué)知識為載體，從具體數(shù)學(xué)問題的條件入手，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點來組織材料，把握數(shù)學(xué)學(xué)科的整體意義與數(shù)學(xué)內(nèi)涵，側(cè)重體現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的理解、掌握和應(yīng)用，尤其是對數(shù)學(xué)綜合知識的靈活應(yīng)用.同時以此來檢測學(xué)生將數(shù)學(xué)知識遷移到不同知識、生活情境中去的思維與能力，從而檢測出學(xué)生的個體理性思維的廣度、深度和維度等，以及進一步學(xué)習(xí)的潛能，為終身學(xué)習(xí)提供條件.當(dāng)然統(tǒng)計知識的創(chuàng)新問題也是高考創(chuàng)新題重點考查的一種類型.

一、抽樣方法中的創(chuàng)新問題

好題1 根據(jù)天氣預(yù)報，某市在接下來的三天內(nèi)，每一天降雨的概率估計均為40%.為了估計這三天內(nèi)恰有兩天降雨的概率，現(xiàn)在采用隨機模擬試驗的方法來處理：先利用計算器產(chǎn)生數(shù)字0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，其中，用數(shù)字1，2，3，4表示降雨，用數(shù)字5，6，7，8，9，0表示不降雨；接著再以每三個隨機數(shù)作為一組數(shù)據(jù)，代表這三天內(nèi)的降雨情況.經(jīng)隨機模擬試驗產(chǎn)生了如下的20組的隨機數(shù)：

917 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

（1）根據(jù)條件估計，這三天中恰有兩天降雨的概率估計為______；

（2）根據(jù)條件估計，這三天中至少有一天降雨的概率估計為______.

分析：利用隨機數(shù)表的引入，通過對隨機數(shù)的分析，結(jié)合古典概型的概率公式、對立事件的概率等加以分析與處理.

解析：由題意知，模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，

（1）設(shè)事件A=“這三天中恰有兩天降雨”，

在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天降雨的有：191、271、932、812、393，共5組隨機數(shù)，

在20組隨機數(shù)中表示三天中均不下雨的有：966，569，556，989，共4組隨機數(shù)，

故填答案：（1）0.25；（2）0.8.

好題點睛：本題主要考查隨機數(shù)表法的應(yīng)用，古典概型的概率公式與對立事件的概率公式等.此創(chuàng)新問題設(shè)置在最簡單的隨機數(shù)表上，問題比較簡單，綜合與數(shù)據(jù)、概率的公式等，加以巧妙設(shè)置，達到考查知識與能力的目的.

二、統(tǒng)計圖表中的創(chuàng)新問題

好題2 以下三個圖表，表示的都是某工廠在一到三月的生產(chǎn)產(chǎn)值情況，那么其中圖表______表示的產(chǎn)值最高.

圖（A）

圖（B）

圖（C）

分析：通過統(tǒng)計數(shù)表的分析，注意到三個圖表橫、縱坐標(biāo)的不同意義，不難發(fā)現(xiàn)三個圖表在圖形上看雖然是一樣的，但對應(yīng)表示的產(chǎn)值意義是有很大不同的.

解析：圖（A）中，一月份、二月份、三月份的產(chǎn)值分別為：10萬元，20萬元，30萬元，那么由此可知，前三個月的產(chǎn)值合計是10+20+30=60萬元.

圖（B）中，一月末、二月末、三月末的產(chǎn)值分別為：10萬元，20萬元，30萬元，那么由此可知，二月份的產(chǎn)值是20-10=10萬元，同時對于一月末的產(chǎn)值，不一定是一月份的產(chǎn)值，也可能是從頭一年某個時間起累積的產(chǎn)值，這樣計算下來，前三個月的產(chǎn)值最多也就30萬元.

圖（C）中，一月份、二月份、三月份的增長值分別為：10萬元，20萬元，30萬元，那么可知，在不考慮出現(xiàn)負產(chǎn)值的情況，則一月份的產(chǎn)值至少有10萬元，二月份的產(chǎn)值至少有30萬元，三月份的產(chǎn)值至少有60萬元，由此可見，該圖表表示的產(chǎn)值至少有10+30+60=100萬元.

綜上可知，圖（C）對應(yīng)的產(chǎn)值最高.故填答案：（C）.

好題點睛：本題主要考查統(tǒng)計的圖表信息與應(yīng)用.不同的統(tǒng)計圖表所能傳遞的信息會有所不同.有些圖表傳遞的信息可能會比其他圖表傳遞的信息更多，有些圖表所傳遞的信息是一樣，但有的圖表可能會比其他的圖表表示更直觀一些.一方面給我們提供了多種統(tǒng)計圖表的制作方法，另一方面也要求我們在分析理解統(tǒng)計圖表時要進行全面的分析，不僅對圖表中的數(shù)值予以足夠的重視，對數(shù)值所對應(yīng)的意義也要認真分析.

三、統(tǒng)計特征數(shù)中的創(chuàng)新問題

好題3 已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，方差為s2，那么另一組數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，ax3+b，…，axn+b，a x+b（a≠0）的平均數(shù)為______，方差為______.

分析：先根據(jù)已知數(shù)據(jù)的特征值建立相應(yīng)的關(guān)系式，再結(jié)合新數(shù)據(jù)的特征通過計算加以分析與處理.

解析：設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x′，方差為s′2，

好題點睛：本題主要考查統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)特征及其應(yīng)用.新數(shù)據(jù)中通過增加一個數(shù)據(jù)，并在新數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加一個倍數(shù)并再加上一個相等的數(shù)，利用平均數(shù)與方差的定義與公式來變式與計算，達到探究與應(yīng)用的目的.

四、統(tǒng)計綜合中的創(chuàng)新問題

好題4 為了了解學(xué)習(xí)“中國夢”講話精神的情況，在某單位的一個部門隨機抽取10人進行問卷測評，10人的得分為：（單位：分）5，5，6，6，6，7，7，8，10，10.把這10人的得分看成一個總體.

（1）求該總體的平均數(shù)；

（2）用簡單隨機抽樣的方法從這10人中抽取2名，他們的得分組成一個樣本，求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.

分析：通過對應(yīng)的數(shù)據(jù)，結(jié)合總體的平均數(shù)的計算公式加以運算，并通過古典概型問題中對基本結(jié)果的羅列，結(jié)合古典概型的概率公式加以應(yīng)用.

（2）設(shè)“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”為事件A，

從總體中用簡單隨機抽樣的方法抽取2個個體的全部可能 的 基 本結(jié)果有：（5，5），（5，6），（5，6），（5，6），（5，7），（5，7），（5，8），（5，10），（5，10），…，（10，10），共9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個基本結(jié)果，

事件A包括的基本結(jié)果有：（5，8），（5，10），（5，10），（5，8），（5，10），（5，10），（6，7），（6，7），（6，8），（6，7），（6，7），（6，8），（6，7），（6，7），（6，8），（7，7），（7，8），（7，8），共有18個基本結(jié)果，

好題點睛：本題主要考查統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)處理問題，古典概型的概率問題等.通過統(tǒng)計與概率的知識交匯，同時在利用概率公式計算過程中又圍繞統(tǒng)計的相關(guān)知識，真正達到兩者有機結(jié)合與綜合應(yīng)用的目的.J