☉江蘇省蘇州市西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 單景麗

高中數(shù)學(xué)全新課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)于2017年正式頒布，其中相比以往對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生提出了更為具體的要求，提出了學(xué)科核心素養(yǎng)，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)比以往僅有三個(gè)詞語(yǔ)（情感、態(tài)度、價(jià)值觀）描述數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)來得細(xì)化得多.對(duì)于教育部數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)制定組來說，從戰(zhàn)略層面指出了今后數(shù)學(xué)教學(xué)的重要發(fā)展方向，對(duì)于一線教師而言，我們需要的恰恰是如何將核心素養(yǎng)融合到課堂教學(xué)中，如何實(shí)現(xiàn)三年數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步提高學(xué)生的六個(gè)基本的核心素養(yǎng).

一、教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)教學(xué)模式一直以來依賴的是教師的啟發(fā)式教學(xué)，這在長(zhǎng)達(dá)幾十年的教學(xué)中成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方式，盡管期間陸陸續(xù)續(xù)有各種教學(xué)方式的提出，但是各種各樣的因素導(dǎo)致教學(xué)難有大的改變.原因很簡(jiǎn)單，在極為有限的時(shí)間內(nèi)如何盡可能掌握更多的基本技能、知識(shí)的熟練程度才能在應(yīng)試中獲得高分.這也導(dǎo)致了教學(xué)難度愈加愈大，課堂教學(xué)（特別是概念教學(xué)）時(shí)間被壓縮得越來越短，這種方式在新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下適得其反，從而改變教學(xué)觀念勢(shì)在必行.下面以《等差數(shù)列》概念的復(fù)習(xí)為例加以說明.

等差數(shù)列是一種特殊的數(shù)列，以往教學(xué)對(duì)其的復(fù)習(xí)更多依賴于習(xí)題訓(xùn)練，即知識(shí)點(diǎn)梳理下的反復(fù)訓(xùn)練，以鞏固知識(shí)在其頭腦中的地位.這種做法的優(yōu)勢(shì)是在短時(shí)間內(nèi)有一定的應(yīng)試效果，但是當(dāng)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量急劇增加時(shí)，這種方式往往顯得疲憊不堪.而核心素養(yǎng)觀下的教學(xué)恰恰是注重對(duì)知識(shí)的理解，即從知識(shí)的本質(zhì)視角出發(fā)，加強(qiáng)知識(shí)理解、注重知識(shí)點(diǎn)之間的銜接，有助于從整體性上理解數(shù)學(xué)、從而獲得較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).不妨對(duì)比來看：

例1 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap=q，aq=p，求ap+q的值.

初級(jí)解法 體會(huì)本質(zhì)因?yàn)?ap=q，aq=p，所以 a1+（q-1）d=p，a1+（p-1）d=q， 解 得a1=p+q-1，d=-1.所以 ap+q=0 d=ap-aq p-q=-1，所以 ap+q=ap+qd=0從第一種解法來看，運(yùn)用了基本量運(yùn)算策略，當(dāng)然思維含量上比較欠缺，是典型的初級(jí)解法抓住了等差數(shù)列其通項(xiàng)公式是一次函數(shù)的本質(zhì)，利用其本質(zhì)函數(shù)特性解決問題，減少了運(yùn)算量，體現(xiàn)思維的重要性

變式：等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，滿足S30=S60，則下列結(jié)論中正確的是______.

（1）S45是Sn中的最大值；（2）S45是Sn中的最小值；

（3）S45=0； （4）S90=0.

初級(jí)解法 體會(huì)本質(zhì)從等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差出發(fā)，利用條件前30項(xiàng)和等于前60項(xiàng)和，找到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，然后逐一進(jìn)行驗(yàn)證等差數(shù)列其和對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是y=Ax2+Bx（過原點(diǎn)），則由S30=S60可知，其對(duì)稱軸為n=45，公差d與二次函數(shù)的開口有關(guān)，但考慮到公差大小未知，因此顯然（1）、（2）、（3）均不正確，S90=S0=0.從第一種解法來看，運(yùn)用了基本量運(yùn)算策略，在思維量較少的前提下，運(yùn)用運(yùn)算解決問題，但是長(zhǎng)此以往勢(shì)必降低了學(xué)生的思維活躍度抓住了等差數(shù)列其和是二次函數(shù)（必過原點(diǎn)）的特點(diǎn)，利用其本質(zhì)函數(shù)特性解決問題，大大減少了逐一驗(yàn)證的運(yùn)算量，體現(xiàn)了數(shù)列是特殊函數(shù)的本質(zhì)

其實(shí)，等差數(shù)列其通項(xiàng)和和式都是函數(shù)本質(zhì)的體現(xiàn)，滿足下表：

數(shù) 列 通項(xiàng)公式 對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列 an=a1+（n-1）d=dn+a1-d y=kx+b（一次函數(shù)）數(shù) 列 求和公式 對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列 Sn=d 2n2+a1-d（ ）n y=Ax2+Bx（二次函數(shù)）2

說明：等差數(shù)列通項(xiàng)以及求和公式的復(fù)習(xí)，勢(shì)必要體現(xiàn)出函數(shù)本質(zhì)的思考，從這里看來，再多的基本量運(yùn)算也替代不了教師對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的訓(xùn)練，從核心素養(yǎng)的角度來說，數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù)的思維挖掘，恰恰體現(xiàn)了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，將這樣的素養(yǎng)在具體概念教學(xué)中，通過問題滲透、加強(qiáng)概念理解才是真正的核心素養(yǎng)教學(xué)的落地.因此，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要緊緊抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，改變以往的就題論題式的課堂教學(xué)，只追求“解決”，而不關(guān)注“解好”的教學(xué)理念已經(jīng)不滿足于當(dāng)下新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，亟需教師自身的教學(xué)觀念的新發(fā)展.

二、注重多解的培養(yǎng)

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)也呈現(xiàn)出一種“快餐化”的發(fā)展，每天不停地高容量訓(xùn)練、高密度操作，也導(dǎo)致了教師對(duì)學(xué)生的教學(xué)來不及深入，學(xué)生的學(xué)也僅僅停留在表面.筆者以為核心素養(yǎng)觀下的教學(xué)，是為了在課堂教學(xué)中滲透六大核心素養(yǎng)，是為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)整體能力.因此要改變這種不易消化的“快餐式”教學(xué)，就需要從深入研究問題做起，這種研究以多解教學(xué)為依據(jù)，在慢條斯理中獲得思維的發(fā)散、素養(yǎng)的提升，是符合課程標(biāo)準(zhǔn)的課堂教學(xué).

分析：本題是前年同濟(jì)大學(xué)的一道自主招生試題，從試題難度來說，要解決本題并非特別困難，但是問題的難處在于學(xué)生是否有足夠的發(fā)散思維，獲得三種以上的解決方式.筆者以為，大學(xué)自主招生問題的特別之處恰在于考查學(xué)生的學(xué)習(xí)是否僅僅是為了解決問題本身？還是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中關(guān)注的是思維本身？將問題在課堂中給筆者自己的學(xué)生試一試，發(fā)現(xiàn)能提供三種以上方法的學(xué)生完全沒有，可見我們自身的教學(xué)是缺乏培養(yǎng)思維發(fā)散性的，而更多的是關(guān)注如何解一道數(shù)學(xué)題，這樣的教學(xué)顯然跟課程理念提供的核心素養(yǎng)教學(xué)要求背道而馳，亟需改變.

圖1

思路1：可以從斜率公式的角度出發(fā)進(jìn)行思考，我們知道這樣的問題是可以從直線斜率的角度入手思考.如圖1，不妨令，因此可以將此式看成單位圓x2+y2=1上的點(diǎn)與定點(diǎn)（-2，0）的斜率的取值，利用解析幾何中點(diǎn)到直線的距離等于半徑，可得一種常見的思路是借助幾何直觀，利用圖形化的策略解決問題是常見的思路.

思考2：既然有幾何直觀的思考方式，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生的是如何從代數(shù)的視角解決問題.中學(xué)數(shù)學(xué)主要是兩種方式，其一代數(shù)，其二幾何，這兩種方式?jīng)Q定了學(xué)生問題解決的思維層面.可以這么說，代數(shù)注重的是核心素養(yǎng)中邏輯推理的素養(yǎng)，而幾何注重的是核心素養(yǎng)中直觀想象的素養(yǎng)，兩者結(jié)合提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).從代數(shù)化的角度思考.2y+ysinθ=cosθ，2y=cosθ-ysinθ=φ），由|cos（θ+φ）|≤1，故顯然，代數(shù)的嚴(yán)密性在這一過程中體現(xiàn)的較為合理，借助代數(shù)化可以看出邏輯推理素養(yǎng)的落實(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為方程，進(jìn)而通過三角合一變形公式獲得約束，因此往往代數(shù)化嚴(yán)密的邏輯推理過程成為問題解決的通法.

思路3：從模型的角度去思考問題的解決，可以建立函數(shù)的模型，但是這里需要一定的換元技巧.不難發(fā)現(xiàn)分子分母是齊次式，借助半角萬能公式，可以將問題轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)問題，令，這樣函數(shù)的模型被建立起來，解決這一值域問題的方法多種多樣，可以利用判別式法較為快捷，易得.這種解決問題的方式顯然提示我們，中學(xué)數(shù)學(xué)最核心的知識(shí)內(nèi)容依舊是函數(shù)板塊，因此如何獲得函數(shù)模型是問題解決的關(guān)鍵，三角函數(shù)也可以和一般函數(shù)建立互相轉(zhuǎn)化的視角，即核心素養(yǎng)中建模素養(yǎng)的實(shí)施是不斷觀察、總結(jié)實(shí)施的結(jié)果.

思路4：解決函數(shù)最值問題，有一種相對(duì)而言較為寬泛的方式——導(dǎo)數(shù).盡管導(dǎo)數(shù)不見得一定簡(jiǎn)單，但是作為較為萬能的方式，其具備一定的任意模型的可操作性，值得一試.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則以這么說，導(dǎo)數(shù)的確為解決函數(shù)最值帶來了普遍性，但是有時(shí)較為煩瑣的過程勢(shì)必影響我們問題解決的心情，因此并非是首推的方式.

說明：上述五中解決方式，對(duì)于學(xué)生而言需要至少三種才能過自主招生一關(guān).筆者以為，數(shù)學(xué)教學(xué)要轉(zhuǎn)變教學(xué)的觀念，不能僅僅以問題的解決為終點(diǎn)，相反這才是剛剛起步的起點(diǎn)，我們需要更為關(guān)注的是思維的培養(yǎng)，這才是核心素養(yǎng)在一線教學(xué)真正落地的開始.

三、思維方式的提升

課程標(biāo)準(zhǔn)致力于對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的提升、思維方式的提升，那么素養(yǎng)提升的高境界必須依賴思想方法的滲透，缺失了數(shù)學(xué)思想對(duì)于學(xué)生而言是無法在思維上有進(jìn)一步的提升空間.華東師大張奠宙教授認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)屬于初等數(shù)學(xué)，初等數(shù)學(xué)較好的解決方式是需要初等思想的輔助，如數(shù)形結(jié)合、分類討論等等，再進(jìn)一步在意識(shí)形態(tài)上的方法如轉(zhuǎn)化與化歸等，而最高的思維提升方式是將數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)文化等融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維中，各種思想的融合是提升學(xué)生思維的好武器.

例3 數(shù)學(xué)文化的角度產(chǎn)生思維的發(fā)散（函數(shù)奇偶性案例）值域.眾所周知，函數(shù)奇偶性是函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中較為重要的環(huán)節(jié)，但這一知識(shí)點(diǎn)教學(xué)卻并非讓教師滿意，學(xué)生對(duì)于形式化概念中的“任意”、“恒有”等都沒有完全清晰的認(rèn)知.從核心素養(yǎng)的視角來說，我們需要致力于知識(shí)的延伸、知識(shí)的運(yùn)用.

設(shè)計(jì)1：請(qǐng)學(xué)生觀察圖2所示的圖片，談一談感受.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：奇偶性教學(xué)是函數(shù)性質(zhì)抽象的綜合體現(xiàn)，若僅僅以傳統(tǒng)方式教學(xué)，對(duì)任意的變量恒有f（-x）=f（x）的理解對(duì)于高一學(xué)生來說，是難以一步到位的.因此設(shè)計(jì)這樣的圖片欣賞環(huán)節(jié)，從數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美中去思辨對(duì)稱存在的普遍性，對(duì)于學(xué)習(xí)對(duì)稱是有意義的.

圖2中的圖片展現(xiàn)了對(duì)稱美：中國(guó)1977年河姆渡遺址出土的雙鳥朝陽(yáng)紋象牙蝶形，數(shù)千年前的中國(guó)古代就已經(jīng)對(duì)軸對(duì)稱的美有了足夠的認(rèn)識(shí)；國(guó)際著名快餐巨頭麥當(dāng)勞的商標(biāo)呈現(xiàn)對(duì)稱美的設(shè)計(jì)；中國(guó)古代太極八卦呈現(xiàn)中心對(duì)稱美的設(shè)計(jì)；自然界中蝴蝶呈現(xiàn)軸對(duì)稱的美學(xué).

設(shè)計(jì)2：請(qǐng)學(xué)生繪制簡(jiǎn)單的具備對(duì)稱性的函數(shù)圖像.

設(shè)計(jì)意圖：從具體到抽象，為實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)的落地作好鋪墊.學(xué)生繪制函數(shù)圖像諸如：f（x）=x2，f（x）=x3，f（x）=|x+1|-|x-1|等等.（圖略）

設(shè)計(jì)3：請(qǐng)學(xué)生說一說，奇偶性概念如何歸納比較合理？

設(shè)計(jì)意圖：有了上述感性的認(rèn)知，數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)文化的鋪墊，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解有了一定的深度，對(duì)于學(xué)科抽象素養(yǎng)與知識(shí)的融合有了更好的聯(lián)系，讓這種聯(lián)系緊緊圍繞課堂教學(xué)本身，以便獲得更多的學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.

總之，新課標(biāo)下的課堂教學(xué)已經(jīng)不同于以往，如何在教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)是當(dāng)下教學(xué)的主流和關(guān)鍵，轉(zhuǎn)變觀念、不急功近利追求結(jié)果，注重教學(xué)的過程才是有意義的數(shù)學(xué)教學(xué).核心素養(yǎng)觀下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，已經(jīng)不再僅限于傳統(tǒng)啟發(fā)式教學(xué)模式，需要教師注重知識(shí)的多角度、多維度，讓課堂教學(xué)變得更有意義、更符合時(shí)代的發(fā)展.