☉江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 孫 長

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的理科.那么，我們?nèi)绾卧诮虒W(xué)中滲透這個(gè)“理”呢？筆者認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注理性思維的發(fā)展.筆者曾有幸聽了一節(jié)以理性思維發(fā)展為主線的數(shù)學(xué)公開課，下面結(jié)合具體的教學(xué)簡(jiǎn)錄，談一談筆者的思考.

一、教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

1.知識(shí)準(zhǔn)備

引題：已知集合A={x|x2-3x+2=0}和B={x|x-1=0}，判斷A、B之間的關(guān)系.

學(xué)生：由A={1，2}，B={1}知，B是A的真子集.

2.學(xué)以致用

例1 已知集合A={x|x2-3x+2=0}與B={x|ax+1=0，x∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的值.

師：這是類比引題中的思路所作出的解題過程，生1首先用列舉法表示了集合A、B，然后又結(jié)合B?A這一條件最終得出了a的值，方法看上去一點(diǎn)沒有錯(cuò)誤，但就是有一點(diǎn)問題，問題在哪里呢？

生2：a≠0……

很多學(xué)生產(chǎn)生疑惑：a≠0，但結(jié)果沒有0呢……

師：a=0是一種特殊情況，大家想到用哪個(gè)方式可以判斷呢？

生3：代入法.當(dāng)a=0時(shí)，0·x+1=0沒有實(shí)數(shù)解，即B=?，符合題意.

師（板書解題過程）：運(yùn)用單個(gè)數(shù)值進(jìn)行單獨(dú)處理的思路很不錯(cuò).那剛開始怎么會(huì)把a(bǔ)=0遺漏掉的呢？

生：解方程ax+1=0的時(shí)候?qū)⑾禂?shù)a除掉了.

師：很好.ax+1=0看上去像一次方程，事實(shí)上，當(dāng)a≠0時(shí)，它是的；但是，當(dāng)a=0時(shí)，它就不是了.因此，我們?cè)诮忸}時(shí)不能想當(dāng)然地用除以a來求解.所以，我們解題時(shí)應(yīng)進(jìn)行理性的思考并準(zhǔn)確把握研究對(duì)象的本質(zhì)屬性，輕易被某種形式迷惑后解題思路就會(huì)很容易產(chǎn)生偏差.

評(píng)注：質(zhì)疑是學(xué)習(xí)者進(jìn)行理性思考時(shí)最為突出的表現(xiàn)，因此，教師在教學(xué)中面對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤時(shí)不要簡(jiǎn)單修正，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑并及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的思維缺陷，質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、自主修正的過程能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的求真意識(shí).其次，思考a=0是否可行并不能僅憑讀題時(shí)的感覺來判斷，運(yùn)用代入檢測(cè)這一數(shù)學(xué)方法進(jìn)行確認(rèn)的過程才是最求真務(wù)實(shí)的.

3.思維鍛造

變式1：已知集合A={x|x2-3x+2=0}與B={x|x2-2x+2a-1=0，x∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的值.

生1：A={1，2}，

師：此題無解，同學(xué)們有意見嗎？

生2：不對(duì)，有解的.

由題意可知，B=?，{1}，{2}，{1，2}. 當(dāng)B=?時(shí)，Δ=4-8a+4＜0，即a＞1；當(dāng)B={1}時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得2a-1=1，即a=1；當(dāng)B={2}時(shí)，實(shí)數(shù)a不存在；當(dāng)B={1，2}時(shí)，實(shí)數(shù)a不存在.因此，a≥1.

師：分情況討論并逐一驗(yàn)證討論猜想才是最有依據(jù)、最可靠的，大家體會(huì)到利用求根公式求解的錯(cuò)誤了嗎？

生：求根公式在Δ＜0時(shí)不能用.師：當(dāng)Δ＜0時(shí)，B=?，即a＞1；

師：很好.大家再看此題：已知一個(gè)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，如果我們將條件中的“集合A={x|x2-3x+2=0}”改成“集合A={1，2，3}”，那么集合B又有多少種可能呢？

生（個(gè)別）：8種，7種.

生（笑）：有很多.

師：子集的數(shù)量會(huì)隨著元素的增多而“猛增”，因此進(jìn)行逐一討論自然是不夠現(xiàn)實(shí)可行的，那么大家可有更好的方法來減少討論的情況呢？回顧例1，能根據(jù)“A={1，2}，B?A”這一條件來斷定集合B中元素的大概取值嗎？

生：只能取到1、2.

師：很好，也就是說B=?或1∈B或2∈B，這樣能解得結(jié)果嗎？

生3：當(dāng)B=?時(shí)，Δ=4-8a+4＜0，

即a＞1；當(dāng)1∈B時(shí)，2a-2=0，

即a=1，此時(shí)B={1}?A；當(dāng)2∈B時(shí)，2a-1=0，

綜上所述，a≥1.

師：很好，根據(jù)這一解題思路來考慮，集合A中元素再多也沒有關(guān)系.

評(píng)注：引導(dǎo)學(xué)生探求各種辦法來解題的過程將求真、求簡(jiǎn)、求新的數(shù)學(xué)精神完全展現(xiàn)了出來.學(xué)生利用求根公式求解實(shí)數(shù)根時(shí)展現(xiàn)了其思維的片面性而導(dǎo)致結(jié)果產(chǎn)生錯(cuò)誤，教師引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑與剖析錯(cuò)誤的過程是促使學(xué)生逐步體驗(yàn)求真務(wù)實(shí)精神的滲透教學(xué).教師在學(xué)生正確解題之后又及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生換角度思考問題并獲得更加簡(jiǎn)潔而新穎的解法，學(xué)生的研究意識(shí)、求簡(jiǎn)求新的理性精神在這一過程中也就得到了很好的培養(yǎng)與鍛煉.

練習(xí)：已知集合A={x|x2-3x+2=0}與B={x|x2-2ax+2a-1=0，x∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的值.

生1：A={1，2}，當(dāng)B=?時(shí)，

Δ=4a2-8a+4=4（a-1）2＜0，無解；

當(dāng)1∈B時(shí)，1-2a+2a-1=0恒成立，

即a∈R；

當(dāng)2∈R時(shí)，4-4a+2a-1=0，

綜上所述，a∈R.

師：“a∈R”這一條件告訴我們所有的實(shí)數(shù)a都是滿足題意的，大家以為呢？

生2：a=0就不行.

師：能夠找到反例就說明解題肯定有問題，那么問題究竟出在哪里了呢？

生3：x2-2ax+2a-1=0能因式分解，兩根為x=1，x=2a-1，B={1，2a-1}.因此a=1或

評(píng)注：在學(xué)生初步掌握本類問題解題方法之際及時(shí)布置練習(xí)能夠很好地幫助學(xué)生鞏固、辨析知識(shí)，這也正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理性精神應(yīng)該展現(xiàn)的地方.學(xué)生在鞏固練習(xí)中也明白了數(shù)學(xué)問題的解決常常有通法與特法的存在，學(xué)生在實(shí)際問題的解決中應(yīng)根據(jù)題意進(jìn)行靈活的選擇，“解無定法”的理性精神也在這一過程中得到了有意義的滲透.

4.沉淀結(jié)晶

變式2：已知集合A={x|x2-3x+2=0}與B={x|x2-2ax+m=0，x∈R}，如果B≠?且B?A，求實(shí)數(shù)a，m的值.

生1：A={1，2}，當(dāng)1∈B時(shí)，1-2a+m=0；當(dāng)2∈B時(shí)，4-4a+m=0.（再往后就解不下去了）

師：這一解題思路是存在著一定的道理的，那么聯(lián)立方程組又代表了怎樣的含義呢？

生：方程聯(lián)立表示1∈B和2∈B是同時(shí)成立的.

師：是不是只有B={1，2}呢？

生：不是.

師：很好，變式1中的第二種解題方法在這里又得到了很好的運(yùn)用，這可真是峰回路轉(zhuǎn)啊.

最后教師再引導(dǎo)學(xué)生從上述集合的包含關(guān)系的問題中進(jìn)行思考與總結(jié)，最終得出解決此類問題的基本思路.

評(píng)注：含有兩個(gè)字母參數(shù)的一元二次方程的求解比之前的題目相對(duì)更有難度，學(xué)生從集合B的元素角度對(duì)問題展開思考并得到了一個(gè)無法求解的二元一次方程，這時(shí)候看上去已經(jīng)無法繼續(xù)解題，聯(lián)立二元一次方程組成了唯一可以繼續(xù)的路，最終得到a，m的一組數(shù)值，這充分表現(xiàn)出高一新生經(jīng)常憑感覺做運(yùn)算而欠缺理性精神.

二、筆者的些許思考

事實(shí)上，剛剛步入高中的學(xué)生最不能適應(yīng)的往往就是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不適應(yīng)的原因有很多，其中最為重要的兩個(gè)因素為：①高一學(xué)生尚未建立高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好思維方式與學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)于高一數(shù)學(xué)所涉及的解題策略、表達(dá)格式與能力目標(biāo)等各方面內(nèi)容也知之甚少；②集合知識(shí)的高度抽象性令學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中時(shí)常感覺困難重重.

以集合的包含關(guān)系為載體的本課教學(xué)強(qiáng)調(diào)了集合的兩種表示方式，列舉法與描述法這兩種表示方式之間的轉(zhuǎn)化使得數(shù)學(xué)對(duì)象具體和抽象的特征得到了清晰的刻畫和體現(xiàn)，辯證的思想也得到了很好的滲透；元素和集合的關(guān)系在解題的過程中得到了靈活的運(yùn)用，個(gè)體和整體的意識(shí)也在解題的過程中得以滲透；由易到難的集合包含關(guān)系的變式將數(shù)學(xué)研究求真、求新的過程展現(xiàn)得淋漓盡致.學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣與理性思維的方式都在這樣的教學(xué)過程中得到了有意義的培養(yǎng)，不僅如此，學(xué)生對(duì)最優(yōu)解題策略的探索、解題與表達(dá)格式的規(guī)范等環(huán)節(jié)也都能在這樣的教學(xué)中一一達(dá)成.

由此可見，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理性精神的培養(yǎng)具有可操作性，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)理性選擇、利用教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行滲透理性精神的教學(xué)，理性教學(xué)策略與方法的合理運(yùn)用一定能夠保障數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)在效果.