時(shí)保吉

(新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453006)

滾動(dòng)軸承服役期間的溫度變化狀態(tài)直接影響主軸系統(tǒng)的工作性能和使用壽命。摩擦熱使軸承溫升嚴(yán)重，熱膨脹會(huì)使軸承軸向移動(dòng)、徑向伸長(zhǎng)，改變主軸系統(tǒng)的剛度，進(jìn)而影響主軸精度及后續(xù)加工質(zhì)量，嚴(yán)重情況下會(huì)使軸承損壞，整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)無(wú)法正常工作。由于滾動(dòng)軸承向著低摩擦、長(zhǎng)壽命、高轉(zhuǎn)速等方向發(fā)展，軸承溫度的實(shí)時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)逐漸成為用戶普遍關(guān)心的問(wèn)題，只有掌握了在不同工況下軸承系統(tǒng)內(nèi)部的溫度區(qū)間分布及其穩(wěn)定性演變規(guī)律，才能對(duì)軸承進(jìn)行合理的維修與預(yù)測(cè)[1-3]。

隨著對(duì)軸承溫度指標(biāo)的不斷重視，有必要對(duì)其發(fā)熱機(jī)理、溫度波動(dòng)及穩(wěn)定性進(jìn)行分析探討。軸承溫度的區(qū)間波動(dòng)直接關(guān)系到軸承工作期間能否充分發(fā)揮其性能，溫度時(shí)間序列伴隨有軸承性能本身的固有演變規(guī)律，從中可提取有用信息進(jìn)行穩(wěn)定性變異分析，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)間段內(nèi)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)性能有無(wú)故障隱患。所以，滾動(dòng)軸承的工作溫度區(qū)間預(yù)測(cè)和穩(wěn)定性分析研究可及時(shí)發(fā)現(xiàn)軸承故障隱患且具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[4-6]。同時(shí)還可以引導(dǎo)對(duì)設(shè)計(jì)方案、工藝流程或結(jié)構(gòu)材料進(jìn)行合理的改進(jìn)，提高軸承的壽命和可靠性[7]。

目前從軸承動(dòng)力學(xué)角度研究滾動(dòng)軸承的摩擦熱計(jì)算是研究重點(diǎn)[8-10]，而文中在軸承溫度試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，基于溫度性能數(shù)據(jù)的時(shí)間序列，通過(guò)灰自助法[11-13]建立軸承溫度區(qū)間預(yù)測(cè)模型，分析其隨時(shí)間演變的區(qū)間波動(dòng)情況；基于模糊集合理論[14-15]進(jìn)行軸承溫度穩(wěn)定性分析，將原始數(shù)據(jù)分段處理并評(píng)估每段時(shí)間數(shù)據(jù)序列的演變跡象，綜合討論軸承溫度的穩(wěn)定性變化情況。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 灰自助法

1.1.1 溫度的灰自助預(yù)測(cè)模型

設(shè)軸承工作溫度的時(shí)間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(n),…,x(N))，

(1)

式中：x(n)為溫度時(shí)間序列中第n個(gè)數(shù)據(jù)；N為總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。從X中按一定規(guī)律，等概率可放回地抽樣，抽取N次，得到第1個(gè)自助樣本，該樣本包含N個(gè)數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B次，得到B個(gè)自助再抽樣樣本，表示為

Ψ=(Ψ1,Ψ2,…,Ψb,…,ΨB)，

(2)

Ψb=(ψb(1),ψb(2),…,ψb(N))，

(3)

式中：Ψb為自助樣本的第b個(gè)樣本。

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，設(shè)Ψb的一次累加生成序列向量為

Γb=(γb(1),γb(2),…,γb(n),…,γb(N)) ，

(4)

(5)

則灰色預(yù)測(cè)模型定義為

(6)

式中：c1，c2為待定系數(shù)。

設(shè)均值生成序列向量為

Zb=(zb(2),zb(3),…,zb(n),…,zb(N))，

(7)

zb(n)=(0.5γb(n)+0.5γb(n-1))；

n=2,3,…,N。

(8)

利用初始條件γb(1)=ψb(1)，得到灰微分方程的最小二乘解為

(9)

(10)

D=(-Zb,Ι)T，

(11)

Ι=(1,1,…,1)。

(12)

根據(jù)累減生成，則軸承溫度序列n+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值為

(13)

在n+1時(shí)刻有B個(gè)數(shù)據(jù)，可以構(gòu)成序列向量

(14)

由于B很大，因此可以用Y建立n時(shí)刻關(guān)于軸承溫度屬性x的頻率函數(shù)

Fw=Fw(x)，

(15)

式中：Fw為灰自助頻率函數(shù)或灰自助分布。

1.1.2 區(qū)間估計(jì)

當(dāng)顯著性水平為α∈[0,1]，其置信水平為

P=(1-α)×100%。

(16)

置信水平為P時(shí)，根據(jù) (15) 式的頻率函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)

[XL,XU]=[Xα/2,X1-α/2]，

(17)

式中：Xα/2為對(duì)應(yīng)頻數(shù)為α/2的參數(shù)值x；X1-α/2為對(duì)應(yīng)頻數(shù)為1-α/2的參數(shù)值x；XL為估計(jì)區(qū)間的溫度下限值；XU為估計(jì)區(qū)間的溫度上限值。

1.2 模糊關(guān)系穩(wěn)定系數(shù)求取

1.2.1 模糊等價(jià)關(guān)系及其意義

在進(jìn)行軸承溫度性能穩(wěn)定性分析時(shí)使用的是模糊等價(jià)關(guān)系，然而在工程問(wèn)題中得到的常常是模糊相似關(guān)系，因此，必須人為地將模糊相似關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槟：葍r(jià)關(guān)系。用模糊集合理論的傳遞閉包法可獲得軸承溫度時(shí)間序列的模糊等價(jià)關(guān)系，求解方法如下。

將軸承溫度數(shù)據(jù)分為m組，即每套軸承的溫度數(shù)據(jù)可分為m個(gè)樣本

Zi=(Zi1,Zi2,…,Zil,…,Zis)；

l=1,2,…,s；i=1,2,…,m，

(18)

從而構(gòu)成一個(gè)集合

(19)

式中：m為樣本數(shù)；s為每個(gè)溫度的樣本量；Zil為第i個(gè)樣本的第l個(gè)數(shù)據(jù)。

對(duì)于任意的模糊關(guān)系R，如果存在

T(R)=Rh-1=Rh=…；h=1,2,3,… ，

(20)

式中：T(R)為模糊等價(jià)關(guān)系，并按照上式依次可以求出，步驟為

第1步，求出R2=R○R；

第2步，求出R4=R2○R2；

……

第q步，直到求出R2q=Rq為止。其中，運(yùn)算符“○”為矩陣的模糊運(yùn)算M(∧,∨)，“∨”表示“或”運(yùn)算取最大，“∧”表示“與”運(yùn)算取最小。如A=(0.7,0.4,0.2)，B=(0.3,0.6,0.4)，則A○B(yǎng)T=(0.7∧0.3)∨(0.4∧0.6)∨(0.2∧0.4)= 0.3∨0.4∨0.2=0.4。

則Rq就是要求得的模糊等價(jià)關(guān)系T(R)，即模糊集合理論的傳遞閉包

T(R)=Rq，

(21)

且

(22)

其中，0≤αil≤1，

(23)

式中：αil表示軸承溫度原始數(shù)據(jù)中第i個(gè)溫度樣本Zi和第l個(gè)溫度樣本Zl的模糊等價(jià)關(guān)系，亦即Zi特征和Zl特征的符合程度，也叫模糊等價(jià)關(guān)系性系數(shù)。

αil的意義為：

1)若αil接近于1，則說(shuō)明Zi和Zl這2個(gè)樣本的特征符合程度極高，兩者之間的變異程度小。

2)若αil接近于0，則說(shuō)明Zi和Zl這2個(gè)樣本的特征符合程度極低，兩者之間的變異程度大。

3)特別地，當(dāng)αil=1時(shí)，則說(shuō)明Zi和Zl完全一樣，不存在任何的性能差異；當(dāng)αil=0時(shí)，Zi和Zl毫不相干，兩者存在著明顯的變異。

據(jù)此可以進(jìn)行軸承溫度穩(wěn)定性的診斷和分析。在實(shí)際工程中，αil=1和αil=0是幾乎不存在的。此時(shí)可以依據(jù)模糊數(shù)概念、最優(yōu)水平λ或λ水平截集來(lái)診斷軸承溫度退化情況存在的顯著性。

1.2.2 穩(wěn)定性判斷依據(jù)

在模糊集合論中，0和1可以分別表示事件的真和假2個(gè)極端狀態(tài)，0表示事件中的2個(gè)實(shí)體是毫無(wú)關(guān)聯(lián)的，1表示2個(gè)實(shí)體絕對(duì)的緊密關(guān)聯(lián)或關(guān)系絕對(duì)清晰，可以用λ水平或λ水平截集來(lái)診斷軸承溫度穩(wěn)定性變異存在的顯著性。

若αil>λ，

(24)

則溫度樣本Zi和Zl在λ水平下彼此之間不存在穩(wěn)定性變異。

若αil≤λ，

(25)

則溫度樣本Zi和Zl在λ水平下彼此之間存在明顯的穩(wěn)定性變異。

根據(jù)模糊集合理論，λ為研究對(duì)象從一個(gè)極端屬性過(guò)渡到另一極端屬性的邊界值。當(dāng)λ=0.5時(shí)軸承的2個(gè)溫度樣本模糊性達(dá)到最大，介于較難分辨的真與假之間；當(dāng)λ≥0.5時(shí)溫度樣本Zi和樣本Zl關(guān)系趨于清晰，相似度較高且兩者之間未發(fā)生穩(wěn)定性變異[16]。實(shí)際計(jì)算分析中一般令λ=0.4～0.5，當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少時(shí)(如n≤200)，λ=0.4是真實(shí)可行的。所以，為軸承運(yùn)轉(zhuǎn)更加安全可靠考慮，數(shù)據(jù)分析時(shí)取λ=0.5。

1.2.3 穩(wěn)定性演變的模糊特征

定義穩(wěn)定系數(shù)集合為

U=(u1,u2,…,uj,…,um-1)，

(26)

(27)

式中：uj為穩(wěn)定系數(shù)，即模糊等價(jià)關(guān)系αil的分段均值；m為樣本含量；j為各樣本采樣的時(shí)間先后順序，即時(shí)間序號(hào)。

根據(jù)穩(wěn)定系數(shù)uj判斷軸承溫度的性能演變跡象，當(dāng)uj>λ=0.5，表明軸承工作期間溫度性能保持良好的運(yùn)轉(zhuǎn)特性；uj﹤λ=0.5，表明軸承運(yùn)轉(zhuǎn)期間穩(wěn)定性下降，溫度變化趨勢(shì)較為明顯(溫度快速上升)，即溫度發(fā)生顯著變異，應(yīng)當(dāng)立即發(fā)出警報(bào)，停止軸承運(yùn)行，及時(shí)檢查，尋找隱患，避免惡性事故發(fā)生。

2 試驗(yàn)研究

以滾動(dòng)軸承壽命強(qiáng)化試驗(yàn)為例，試驗(yàn)機(jī)型號(hào)為ABLT-1A，試驗(yàn)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為4 950 r/min，室溫為26 ℃，濕度為53%，施加徑向載荷為13.2 kN。試驗(yàn)時(shí)間及軸承溫度信息由計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)自動(dòng)累積顯示，溫度信號(hào)采集頻率為每10 min采樣1次，試驗(yàn)一共進(jìn)行2次，2套試驗(yàn)軸承型號(hào)均為H7008C，分別標(biāo)記為軸承A和軸承B。計(jì)算機(jī)累積采集50次信號(hào)，即試驗(yàn)共進(jìn)行500 min，所得滾動(dòng)軸承溫度信號(hào)的時(shí)間序列如圖1、圖2所示。

圖1 軸承A溫度原始數(shù)據(jù)序列

圖2 軸承B溫度原始數(shù)據(jù)序列

由圖可知，滾動(dòng)軸承溫度-時(shí)間序列呈現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性，與時(shí)間的關(guān)系是非線性的。溫度灰自助預(yù)測(cè)模型的最大優(yōu)點(diǎn)是能有效地預(yù)報(bào)出該類具有明顯不確定性時(shí)間序列的區(qū)間波動(dòng)，并將其穩(wěn)定性情況量化分析，進(jìn)而準(zhǔn)確地挖掘出滾動(dòng)軸承性能退化的內(nèi)在演變機(jī)制。

2.1 區(qū)間預(yù)報(bào)

取前n=6 個(gè)數(shù)據(jù)，用灰自助法預(yù)報(bào)滾動(dòng)軸承溫度變化的區(qū)間，并用剩余的 50-n=44 個(gè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)靜態(tài)預(yù)報(bào)的可靠性，找到超出預(yù)報(bào)區(qū)間的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到誤報(bào)率?；易灾ㄗ畲筇攸c(diǎn)是允許小樣本事件，且概率分布及趨勢(shì)變化均未知的乏信息問(wèn)題。設(shè)置信水平P=97.73%,用灰自助法預(yù)報(bào)時(shí)，取B=10 000，N=6，預(yù)報(bào)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 2套軸承溫度區(qū)間預(yù)報(bào)分析

通過(guò)對(duì)上述軸承溫度的試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，在無(wú)需概率分布的任何信息和數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很少的情況下，灰自助法可以真實(shí)預(yù)報(bào)軸承溫度參數(shù)的總體波動(dòng)特征。由表1可知，在P=97.73%的置信水平下，使用灰自助法區(qū)間預(yù)報(bào)的上下限差值較小，軸承A的區(qū)間差值為1.52，軸承B的區(qū)間差值稍大，但僅為4.52，說(shuō)明預(yù)報(bào)精度較高。

另外，在利用后44個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證過(guò)程中，2套軸承超出預(yù)報(bào)區(qū)間的個(gè)數(shù)均極少,軸承A，B的超出個(gè)數(shù)分別為1和3，表明預(yù)測(cè)結(jié)果理想可靠，可用于工程實(shí)際中的在線監(jiān)測(cè)?；诨易灾ǖ膮^(qū)間誤報(bào)率最高僅為6.82%，最低為2.27%，即此次溫度區(qū)間預(yù)報(bào)的可靠程度在93.18%～97.73%，所以該方法進(jìn)行軸承溫度區(qū)間預(yù)報(bào)時(shí)能夠保持較好的正確性與可靠性。

2.2 穩(wěn)定性分析

2.2.1 軸承A試驗(yàn)案例

樣本個(gè)數(shù)為m=10，每個(gè)樣本的樣本含量為s=5，共有50個(gè)數(shù)據(jù)。

Z1=[40.9 41.2 41.9 41.6 41.6]，

Z2=[41.6 40.9 41.3 40.8 41.6]，

Z3=[41.2 41.8 41.4 41.2 41.5]，

Z4=[41.2 41.5 41.8 42.0 41.5]，

Z5=[41.4 41.4 41.6 41.8 41.6]，

Z6=[41.4 41.3 41.6 41.9 41.4]，

Z7=[41.6 41.5 41.6 41.9 41.7]，

Z8=[41.8 42.0 41.2 41.5 41.5]，

Z9=[41.8 41.1 41.3 41.6 41.8]，

Z10=[42.1 41.5 42.0 41.9 41.7]。

計(jì)算后得到模糊等價(jià)關(guān)系矩陣為

穩(wěn)定系數(shù)集合為

U=[ 0.733 0.723 0.723 0.708 0.712 0.707 0.663 0.662 0.714]，

結(jié)果如圖3所示。

圖3 軸承A溫度序列的穩(wěn)定系數(shù)

由圖1軸承A溫度的原始數(shù)據(jù)分布可知，原始數(shù)據(jù)的一般規(guī)律基本符合均勻分布，每組數(shù)據(jù)之間的差異很小，即數(shù)據(jù)之間的關(guān)系為穩(wěn)定的(由原始數(shù)據(jù)直接得到)。

為準(zhǔn)確量化這一穩(wěn)定性特征，根據(jù)模糊集合理論得到軸承A的穩(wěn)定系數(shù)u(圖3)。由圖1可知，隨著j的變化，uj的變化很小，且uj min=0.662>λ=0.5，即軸承運(yùn)轉(zhuǎn)期間溫度沒(méi)有明顯的增大趨勢(shì)，表明該時(shí)間段內(nèi)軸承服役狀態(tài)良好，各分組樣本之間保持良好的一致性。因此，軸承A各分組樣本之間不存在穩(wěn)定性變異，溫度保持穩(wěn)定的變化態(tài)勢(shì)，進(jìn)而說(shuō)明軸承保持著高度穩(wěn)定的運(yùn)轉(zhuǎn)性能。

2.2.2 軸承B試驗(yàn)案例

樣本個(gè)數(shù)為m=10，每個(gè)樣本的樣本含量為s=5，共有50個(gè)數(shù)據(jù)。

Z1=[37.8 36.6 35.9 36.5 37.6]，

Z2=[36.1 36.5 37.7 38.0 37.9]，

Z3=[37.7 37.8 38.2 37.2 36.5]，

Z4=[36.1 37.0 37.0 37.3 38.3]，

Z5=[38.2 38.0 37.6 37.1 36.5]，

Z6=[36.3 37.0 37.1 37.1 37.2]，

Z7=[37.4 36.6 37.6 37.0 36.8]，

Z8=[37.9 37.3 36.7 37.1 36.9]，

Z9=[36.9 37.2 37.4 37.3 37.7]，

Z10=[38.2 38.9 39.5 41.4 43.1]。

計(jì)算后得到模糊等價(jià)關(guān)系矩陣為

穩(wěn)定系數(shù)集合為

U=[ 0.633 0.660 0.636 0.615 0.620 0.577 0.552 0.479 0.366]，

結(jié)果如圖4所示。

圖4 軸承B溫度序列的穩(wěn)定系數(shù)

由圖2軸承B溫度的原始數(shù)據(jù)分布可知，數(shù)據(jù)的一般規(guī)律為：前400 min軸承溫度的上下波動(dòng)比較平穩(wěn)，分布趨勢(shì)雖然具有明顯的隨機(jī)性，但溫度都是在均值附近上下波動(dòng)；后100 min軸承溫度明顯的非線性上升，此時(shí)軸承內(nèi)部可能存在故障隱患(由原始數(shù)據(jù)直接得到)。

為具體量化這一退化規(guī)律，各時(shí)間段的穩(wěn)定系數(shù)如圖4所示，穩(wěn)定系數(shù)呈現(xiàn)出下降態(tài)勢(shì)，表明軸承溫度序列逐漸趨于不穩(wěn)定：前7個(gè)穩(wěn)定系數(shù)均大于閾值0.5，后2個(gè)穩(wěn)定系數(shù)小于閾值0.5，則說(shuō)明后兩段溫度序列已發(fā)生十分明顯的惡性變異，軸承B運(yùn)轉(zhuǎn)已不再穩(wěn)定可靠，后100 min的溫度性能存在明顯的穩(wěn)定性變異，此時(shí)應(yīng)當(dāng)立即發(fā)出警報(bào)，停止軸承運(yùn)行。軸承運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定性的量化結(jié)果與原始數(shù)據(jù)直接分析結(jié)果保持良好的一致性。

2.3 小結(jié)

綜上，軸承溫度的區(qū)間預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度高、可靠性強(qiáng)、誤報(bào)率低，能較好地反映軸承溫度波動(dòng)情況，有效預(yù)報(bào)出軸承未來(lái)工作狀態(tài)下的溫度信息，為實(shí)現(xiàn)軸承溫度的在線測(cè)量評(píng)估提供理論依據(jù)。另外，2套軸承的穩(wěn)定系數(shù)很好地識(shí)別出其溫度信號(hào)的演變規(guī)律，軸承A穩(wěn)定系數(shù)較高，運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定，溫度性能未發(fā)生變異；軸承B穩(wěn)定系數(shù)逐漸降低，最后兩小段低于0.5，運(yùn)轉(zhuǎn)不穩(wěn)定，后100 min的溫度性能發(fā)生明顯變異，需要及時(shí)檢查，尋找隱患，避免惡性事故的發(fā)生。因此，所提出的灰自助法可以有效地預(yù)測(cè)軸承溫度區(qū)間波動(dòng)狀態(tài)，模糊關(guān)系的穩(wěn)定系數(shù)可準(zhǔn)確的監(jiān)控軸承溫度時(shí)間序列的退化狀況。

3 結(jié)論

1)基于灰自助法和模糊穩(wěn)定系數(shù)法提出的時(shí)間數(shù)據(jù)序列的溫度區(qū)間預(yù)測(cè)和穩(wěn)定性分析模型，可在研究對(duì)象的性能參數(shù)、先驗(yàn)信息、概率密度、趨勢(shì)項(xiàng)均未知的情況下，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軸承溫度區(qū)間波動(dòng)和穩(wěn)定性變異狀況，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承組件在運(yùn)轉(zhuǎn)期間溫度的狀態(tài)估計(jì)。

2)在溫度區(qū)間預(yù)報(bào)過(guò)程中，實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出兩軸承溫度區(qū)間波動(dòng)變化情況：軸承A的誤報(bào)率為2.27%，軸承B的誤報(bào)率稍高，但僅為6.82%，進(jìn)而驗(yàn)證了溫度預(yù)報(bào)方法的正確性與可靠性。

3)軸承A的uj min=0.662 >λ=0.5，說(shuō)明該軸承工作期間保持良好的穩(wěn)定性，未發(fā)生性能變異；軸承B的uj min=0.366﹤λ=0.5，表明該時(shí)刻軸承運(yùn)轉(zhuǎn)情況惡劣，運(yùn)行狀況發(fā)生明顯變異，當(dāng)立即發(fā)出警報(bào)，停止軸承運(yùn)行，及時(shí)檢查，尋找隱患。

4)結(jié)合軸承溫度預(yù)測(cè)區(qū)間和穩(wěn)定系數(shù)變化曲線，可實(shí)時(shí)評(píng)估軸承溫度性能的演變過(guò)程，對(duì)軸承服役狀態(tài)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的在線自我監(jiān)測(cè)。