安徽

顏 軍

浙江

余繼光

(作者單位：安徽省滁州市明光市第二中學 浙江省紹興市柯橋中學)

引導學生關注數(shù)學運算能力的自育
——例談培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng)的實踐

安徽

顏 軍

浙江

余繼光

一、數(shù)學運算能力的現(xiàn)象與關注

1.最近根據(jù)某校高三多項統(tǒng)考數(shù)學解答題答題卡(幾千份)仔細逐題逐個思維鏈的研究統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，80%以上的解題失誤是由于運算出錯(數(shù)字計算、代數(shù)式計算、方程求解、不等式求解、運算性質的運用、計算方法的繁雜等).

2.為什么會出現(xiàn)大面積如此嚴重的數(shù)學運算能力下降現(xiàn)象？一是低年級階段計算器的普遍使用，數(shù)字運算中的結構意識未訓練，小學數(shù)字運算還沒有畢業(yè)就升學到初中；二是初中階段，在減負指標促使下，減少了代數(shù)式變形的訓練，代數(shù)式運算的結構意識也非常弱，初中數(shù)學代數(shù)式運算還沒有畢業(yè)就升學到高中；初高中雖有一周時間的銜接，但無法在短時間內彌補指數(shù)運算和對數(shù)運算需要螺旋上升才能進入學生的腦海中的現(xiàn)狀.為此特呼吁教材專家在課程大綱制定中進行調整，使小學、初中、高中直到大學，整體上設計好數(shù)學知識層次要求，傾聽一線數(shù)學教師的實踐要求.

3.數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果.運算是構成數(shù)學抽象結構的基本要素，是演繹推理的重要形式，是得到數(shù)學結果的重要手段.數(shù)學運算是計算機解決問題的基礎.通過數(shù)學運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學生能夠提高解決數(shù)學問題和實際問題的能力，提升邏輯推理能力，形成程序化思考問題的習慣，養(yǎng)成實事求是、一絲不茍的科學精神.

二、數(shù)學運算能力的引導與策略

為了彌補上述已經(jīng)出現(xiàn)在數(shù)學運算中的嚴重問題，一線教師在課堂教學中采取了一系列的補救措施，使教學目標能夠艱難地落實.

1.引導學生關注自己的運算能力

不同層次的學生運算能力不同，統(tǒng)計調查表明，特別優(yōu)秀的學生(如春季生、實驗班、競賽班等)在運算能力方面明顯優(yōu)于普通學生，因此，對于普通學生引導其關注自身的運算能力，如運算過程在草稿上落筆，以便發(fā)現(xiàn)自己是在“運算法則、運算方向、運算方法、運算程序”中的哪一個環(huán)節(jié)上問題更多，以便采取對策，及時糾正或調整.

2.在關鍵處強化學生的運算能力

在方程、不等式求解中，既強化規(guī)則，又提倡靈活；在函數(shù)性質教學中，加大代數(shù)式變形能力的訓練量；在指數(shù)與對數(shù)運算教學中，加大教學力度與訓練量；在三角函數(shù)教學中，加大三角恒等變換與變形的訓練量；在平面向量教學中，注意形的運算不能代替數(shù)的運算；在空間圖形教學中，三大角的坐標數(shù)字運算要快準；在圓錐曲線的方程與性質教學中，強化代數(shù)式運算.

3.估算、簡算、計算順序不能變

識字是語文的基礎，運算是數(shù)學的基礎，沒有了基礎，問題層出不窮.識字的關鍵是拼音，運算的關鍵是順序，比如加減乘除與括號的混合運算，就要按照運算規(guī)則的順序執(zhí)行，數(shù)學運算中能心算就不要筆算，能估算就不要計算，能簡算就不要繁算，如要計算不錯盡量落地(草稿)生根，持之以恒，運算的正確率才能提升！

三、數(shù)學運算能力的自育與體驗

數(shù)學運算能力的自我培養(yǎng)就是在教師的引導下，學生學會自己監(jiān)控數(shù)學運算中可能出現(xiàn)的障礙，如數(shù)字加減乘除時不守規(guī)則；代數(shù)式變形運算時不化簡而繁算；解方程與不等式時不化簡且不檢驗；指數(shù)與對數(shù)運算時不遵守運算規(guī)則；三角函數(shù)求值或三角恒等變換時不注意運算方向；所有運算不在草稿紙上落筆等，并及時糾正，學會比較一個問題的兩種算法(繁算與簡算)；養(yǎng)成先化簡后計算的習慣；面對復雜結構運算時先識別再計算；多種運算途徑時，先明確方向再計算；當算式繁雜時，整體把握簡化運算.

1.繁算與簡算比較

解法二：設C(x1,y1)，D(x2,y2)，

【解讀】解法一，從代數(shù)角度理解題意，借助于方程思想求解，過程繁雜，但彰顯通法運算能力；解法二，抓住切線方程的特點，借助于代數(shù)與幾何關系，減少了部分運算，更顯示綜合分析能力，直線與圓錐曲線的綜合問題離不開復雜的運算過程，只有駕馭了這一能力，才能遇“事”(運算障礙)不慌！

2.先化簡后再計算

【解讀】這是2016年浙江高考數(shù)學圓錐曲線題中的一個片段，專家多次強調要在圓錐曲線問題中檢測考生的運算能力，其中解方程與解不等式是主旋律，上述的每一步都是學生在初高中數(shù)學學習中必須掌握的內容，但在綜合運算時，由于運算方向不明確，變形能力弱而導致止步不前，失分嚴重.

【學習對策】不論是方程求解還是代數(shù)式變形，復雜的代數(shù)式運算中，第一有公因式要首先提出來或約去；第二遇無理式化有理式、分式化整式、多元化一元都是必須堅持的優(yōu)先原則；第三不斷地觀察所面對的復雜代數(shù)式中的特點，以便采取下一步的運算方向.

3.先識別后再計算

代數(shù)式的結構識別，比如方程組中是否有特殊結構，它隱藏著什么？

解法一：代入消元思想(求解過程相當復雜).

解法二：加減消元思想.

【解讀】這是一個在探求長腿上樓梯的方法數(shù)時遇到的一個方程組，此方程組最大特點是字母具有對稱性或稱輪換式，不僅如此，每個方程之間聯(lián)系緊密，結構特點明顯，開始求解時，若運用代入消元思想，不僅過程相當復雜，而且難到無法表達問題解的程度，此例充分說明方法對于求解方程組或不等式的重要性.

4.明確方向再運算

( )

分析：根據(jù)題意，設PF1=r1，PF2=r2，可列方程組

現(xiàn)象二：配方出錯為4c2=(r1-r2)2-3r1r2.

【解讀】初中學到的解方程及代數(shù)式變形方法，到高中后，由于方程或代數(shù)式的復雜程度提升，在變形過程中每一個細小的失誤都可能導致大的解題失敗，上述三個現(xiàn)象都說明了這一點.

【對策】把握運算方向；正確使用運算規(guī)則；時時觀察代數(shù)式的結構特點，不論所面對的數(shù)學運算式子有多復雜，都要堅持這三條.

5.整體把握并檢驗

(Ⅱ)若sinC+sin(B-A)=3sin2A，求△ABC的面積.

則a=2RsinA=2，b=2.

這種方法運算量大，運算過程復雜，若挖掘條件時整體把握運算方向，可簡化過程.

解得a=b=2.

(Ⅱ)因為sinC=sin(B+A)，所以sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=2sinBcosA，

所以2sinBcosA=3sin2A=6sinAcosA(*)

因此cosA=0或sinB=3sinA，

【解讀】高三統(tǒng)考此題，解方程(*)中有78.6%的學生漏掉cosA=0，一方面可能有許多學生錯誤地判斷cosA≠0，另一方面可能許多學生已經(jīng)養(yǎng)成約分習慣，因此，整體把握試題并進行檢驗很重要.

四、總結

(作者單位：安徽省滁州市明光市第二中學 浙江省紹興市柯橋中學)