湖南

陳 健

(作者單位：湖南省株洲市第十三中學(xué))

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考備考
——談全國卷解析幾何解答題

湖南

陳 健

2014年3月30日，教育部印發(fā)了《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，其中“核心素養(yǎng)體系”引人關(guān)注，研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛、家國情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐.核心素養(yǎng)體系是深化課程改革、落實(shí)立德樹人目標(biāo)的基礎(chǔ)，也是下一步深化工作的“關(guān)鍵”因素.

從雙基教學(xué)的產(chǎn)生，到情感態(tài)度價(jià)值觀、學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)等一系列理念的提出、研究和實(shí)施，教育教學(xué)目標(biāo)的實(shí)施逐步具體、明確、可操作.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是相對(duì)于其他素養(yǎng)而言的，是專指一個(gè)人在事情處理過程中體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)與水平的高低，或者是情境中某些因素激發(fā)了個(gè)人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使得個(gè)人更多地從數(shù)學(xué)角度來看待問題.素養(yǎng)離不開具體的情境，數(shù)學(xué)素養(yǎng)只有在解決問題中才能體現(xiàn)出來.近幾年全國高考數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)(包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)，對(duì)深化課程改革、教材更新、引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)等起到了積極的導(dǎo)向作用.

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其思想和方法貫穿了中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程，可以有效地承載數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，所以每年高考全國卷無一例外至少有兩小一大三個(gè)解析幾何問題，22分以上.通過對(duì)解析幾何解答題的深入研究，分析其典型試題的試題命制、解答過程、探究推廣，能更具象化地揭示其所蘊(yùn)含或要求的核心素養(yǎng)，也有利于強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念.

一、試題命制蘊(yùn)含核心素養(yǎng)

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

該題讓學(xué)生利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì).橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，進(jìn)而由條件確定四個(gè)點(diǎn)中的哪三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，這是解析幾何的核心、靈魂.第二問是直線過定點(diǎn)問題，是典型的用代數(shù)方法研究幾何問題，最終回歸幾何問題.既考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，又考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.通過試題的解答過程，可進(jìn)一步體會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、試題解析體現(xiàn)核心素養(yǎng)

【解析】(Ⅰ)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn).

(Ⅱ)解法1：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.

由題設(shè)知k1+k2=-1，故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.

解法2：由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在，不妨設(shè)直線P2A的方程為y=kx+1，直線P2B的方程為y=(-1-k)x+1.

將直線P2A的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得(4k2+1)x2+8kx=0,將直線P2B的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得(4k2+8k+5)x2-(8k+8)x=0.

解法3：在坐標(biāo)系中將原點(diǎn)O(0,0)平移到P(0,1)，

由于直線l不經(jīng)過O′(0,0)，可設(shè)直線l在坐標(biāo)系x′O′y′中的方程為mx′+ny′=1.

而直線l在坐標(biāo)系x′O′y′中的方程為mx′+ny′=2m-2n，因此直線l在坐標(biāo)系x′O′y′中過定點(diǎn)(2，-2)，該點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(2，-1)，故直線l過定點(diǎn)(2，-1).

【評(píng)析】解法1是解析幾何的常規(guī)方法，利用相關(guān)條件，聯(lián)立橢圓與直線方程得到直線l方程中k與m的關(guān)系，求出定點(diǎn)，運(yùn)算量較大.解法2通過直接設(shè)直線P2A的斜率，避免了對(duì)直線l的斜率是否存在的討論，也減少了參數(shù)的個(gè)數(shù)，簡化了運(yùn)算.解法3將兩直線的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)使直線斜率和的代數(shù)形式變得簡單，再聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系找到m與n的等量關(guān)系，得出定點(diǎn).三種解答都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)解題思路的引領(lǐng)，解法都通過數(shù)學(xué)抽象，分別建立了對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再逐步進(jìn)行邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算來簡化問題，最后使問題得以解決.

(4)紙漿洗滌過程t時(shí)刻的工藝指標(biāo)為o(t)=[o1(t), o2(t), o3(t)]。其中，o1(t)為紙漿洗滌質(zhì)量，o2(t)為出漿產(chǎn)量，o3(t)為耗損費(fèi)用。

三、試題探究培育核心素養(yǎng)

本題具有很好的教育價(jià)值，不應(yīng)僅僅停留在問題的解答上，可以進(jìn)一步挖掘其深層次的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探究：

1.若將斜率之和為-1換為任意實(shí)數(shù)m，是否也有類似結(jié)論

2.將點(diǎn)P(0,1)換成橢圓其他頂點(diǎn)是否有類似結(jié)論

3.若將橢圓方程一般化，可否得到類似的結(jié)論

4.若點(diǎn)P換為橢圓上任一點(diǎn)，是否有更一般的結(jié)論

5.類比雙曲線，是否也有類似的結(jié)論

6.對(duì)于拋物線，是否也有類似的結(jié)論

探究的過程由淺入深，從具體數(shù)到字母，從特殊到一般，從橢圓到雙曲線和拋物線，通過變式教學(xué)、類比推廣，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行研究探索，不斷揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成一般結(jié)論，在此過程中數(shù)學(xué)抽象能力得到不同程度的發(fā)展與提升.通過逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，從而有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提高.

四、對(duì)高考復(fù)習(xí)備考的啟示

1.積極主動(dòng)地推進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是應(yīng)試教育所培養(yǎng)的“低級(jí)素養(yǎng)”，如死記硬背的素養(yǎng)、題海戰(zhàn)術(shù)的素養(yǎng)等.為此，在教法上要變直接講授為分析問題的依存關(guān)系，再選擇合適解法，突出講練的實(shí)效性，克服完全依賴教輔資料的習(xí)慣，使課堂充滿思辨、充滿生機(jī).

2.建立學(xué)科思想，提高課堂效率

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容多、時(shí)間短、任務(wù)重，但解決問題的方法絕不單純是“串講”加“練習(xí)”，而應(yīng)該是學(xué)科思想與重點(diǎn)訓(xùn)練相結(jié)合，讓學(xué)生在理性思維的引領(lǐng)下，有意識(shí)、有目的地高效練習(xí)，讓我們的學(xué)生滿腔熱情地投身到火熱的高三備考中來.

3.研究考綱和試題，提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性

(作者單位：湖南省株洲市第十三中學(xué))