江蘇

常 蓮

(作者單位：江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)國(guó)際分校)

淺析兩大類型的復(fù)合方程及其解題策略

江蘇

常 蓮

以復(fù)合方程為載體的問題一直是高考的一大熱點(diǎn).這類復(fù)合方程問題有效考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生作圖、計(jì)算與邏輯推理等綜合能力，進(jìn)而能夠很好地提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).一般地，設(shè)y=f(u),u=g(x),當(dāng)x在u=g(x)的定義域Dg中變化時(shí)，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域Df內(nèi)變化，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為y=f(u)=f(g(x))稱為復(fù)合函數(shù)，其由外函數(shù)y=f(u)和內(nèi)函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成.其中x稱為自變量,u為中間變量,y為因變量(即函數(shù)).

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義，我們把形如“關(guān)于x的方程f(g(x))=m(m為實(shí)常數(shù))”稱為復(fù)合方程，其由外方程f(u)=m和內(nèi)方程u=g(x)復(fù)合而成.下面主要介紹復(fù)合方程中的兩大類型及解題策略，使學(xué)生較好的掌握兩大復(fù)合方程的類型以及相應(yīng)的解題策略，教師在教學(xué)中可以不斷地滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，從而較好的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、同種復(fù)合方程迭代

“f(f(x))=m”型復(fù)合方程，其由外方程f(u)=m和內(nèi)方程f(x)=u復(fù)合而成，內(nèi)方程和外方程都是采用同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，研究這類復(fù)合方程的根的情況，通?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生按照由外而內(nèi)原則思考，流程如下圖：

外方程f(u)=m根的情況

研究函數(shù)y=f(u)與函數(shù)y=m的圖象的交點(diǎn)情況

由m的情況，確定交點(diǎn)坐標(biāo)中u的取值情況

研究方程f(x)=u根的情況

研究函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=u的圖象的交點(diǎn)情況

【解析】令f(x)=u，

∴原方程可化為f(u)=m恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

將研究方程f(u)=m根的情況轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=f(u)與函數(shù)y=m的圖象的交點(diǎn)情況.

綜上，0

【解析】令f(x)=u，

∴原方程可化為f(u)=-1有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

【評(píng)注】因?yàn)橥N復(fù)合方程的內(nèi)方程和外方程采用同樣的對(duì)應(yīng)法則，所以解題時(shí)共用的是同一個(gè)函數(shù)y=f(x) 的圖象，此時(shí)正確作圖與理解圖象就顯得至關(guān)重要，然后充分利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論，合理地建立分類標(biāo)準(zhǔn)，問題就會(huì)迎刃而解.

二、不同種復(fù)合方程迭代

“g(f(x))=m”型復(fù)合方程，其由外方程g(u)=m和內(nèi)方程f(x)=u復(fù)合而成，內(nèi)方程和外方程采用不同的對(duì)應(yīng)法則，筆者研究此類復(fù)合方程發(fā)現(xiàn)，除了采用由外而內(nèi)原則，多數(shù)內(nèi)方程f(x)=u的根的情況確定，此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生按照由內(nèi)而外原則思考，流程如下圖：

1.“af2(x)+bf(x)+c=0”型復(fù)合方程，外方程是二次方程

【解析】令f(x)=u∈R，∴2u2+2bu+1=0恰有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,+∞).

【評(píng)注】因?yàn)橥夥匠淌嵌畏匠痰膹?fù)合方程，所以教師在講解此類題時(shí)，應(yīng)該充分運(yùn)用二次方程根的判別特征，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題.

2.“f(g(x))=m”型復(fù)合方程，外方程不是二次方程

【解析】令f(x)=u,u∈(-∞,1]，則g(u)=m，

【變式】已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=3x2-x, 若方程g(f(x))=m在x∈[0,2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(作者單位：江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)國(guó)際分校)