山東

王希紅

(作者單位：山東省聊城市東阿縣實(shí)驗(yàn)高中)

注重解后反思 尋求最優(yōu)解法
——一道極坐標(biāo)和參數(shù)方程題的多種解法

山東

王希紅

當(dāng)我們解完一道題目后，認(rèn)真分析、仔細(xì)揣摩，聯(lián)系涉及的知識要點(diǎn)和所采用的方法，及時(shí)反思總結(jié)，深刻領(lǐng)會解題方法，才能把數(shù)學(xué)的知識與技能轉(zhuǎn)化為分析問題與解決問題的能力.極坐標(biāo)與參數(shù)方程作為全國高考中一道二選一的選做題，通常是學(xué)生首選的一道題，因此教師要對高考中?？嫉闹R點(diǎn)與解題方法進(jìn)行深入的研究，在高考備考中潛移默化地讓學(xué)生理解極坐標(biāo)與參數(shù)方程的本質(zhì)，使學(xué)生領(lǐng)悟其解題方法，從而達(dá)到熟練應(yīng)用的目的.現(xiàn)以一綜合題為例，利用多種方法，體會直線參數(shù)方程的靈活應(yīng)用.

【知識要點(diǎn)點(diǎn)撥】直線的參數(shù)方程

(1)當(dāng)a2+b2=1且b>0時(shí)，直線參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)式，所以t有明確的幾何意義，即|t|=|M0M|；

(1)寫出直線l的一般方程及圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P(-1,1),直線l和圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求||PA|-|PB||的值.

解：(1)直線l的一般方程為x-2y+3=0，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=4.

(2)易知點(diǎn)P(-1,1)在直線l上，且在圓內(nèi).

反思：直線l的參數(shù)方程為一般式，可以化為直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式，利用參數(shù)絕對值的幾何意義來做，計(jì)算量比較小.

得5t2+8t+1=0，Δ=82-4×5=44>0,

反思：直線參數(shù)方程的一般式中雖然t沒有具體的幾何意義，但可以代入圓的普通方程解出t的具體值，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式代入，也可求出.

反思：解法二中的t也可以不解出，利用韋達(dá)定理表示出兩根的關(guān)系，然后用兩點(diǎn)間的距離公式求線段長度，為了去絕對值要判斷(tA+1)·(tB+1)的符號，這點(diǎn)小技巧，不容小覷.

反思：把極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程都化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線與圓的普通方程解出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.這種解法是學(xué)生最熟悉的方法，但是計(jì)算量比較大，并且最后線段長度的計(jì)算式展開后為無理根式，若不會配完全平方公式，結(jié)果就無法最簡.

反思：此法也是轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程，但是并沒解A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，而是充分利用數(shù)形結(jié)合，用圓心到直線的距離，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為D,連接OD，利用勾股定理求得|DP|，結(jié)合圖象可知||PA|-|PB||=2|DP|，從而求得.靈活性強(qiáng)，思維度高.

【思路方法總結(jié)】極坐標(biāo)與參數(shù)方程問題一般的解題思路：若方程幾何意義不明顯，一般把極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程都化為直角坐標(biāo)方程,用普通方程的方法解決；若方程的幾何意義明顯，用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程比較簡單.

【高考命題視點(diǎn)】近幾年極坐標(biāo)與參數(shù)方程的考題難度逐年加大，考查逐漸向方程幾何意義靠攏，化為普通方程做計(jì)算量大，思維的難度也大，切實(shí)體現(xiàn)了極坐標(biāo)與參數(shù)方程的優(yōu)越性.

(1)寫出直線l的一個(gè)參數(shù)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;

(2)若點(diǎn)P(1,1)，設(shè)圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最小值.

解：(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.

(2)易知點(diǎn)P(1,1)在直線l上，且在圓內(nèi).

得t2+2(sinα-cosα)t-2=0，Δ=4(sinα-cosα)2+8>0,

設(shè)t1,t2是方程的兩個(gè)根，則t1+t2=-2(sinα-cosα)，t1·t2=-2,

解法二：點(diǎn)P(1,1)在直線l上，且在圓內(nèi).|PA|+|PB|=|AB|, 求|PA|+|PB|的最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到直線l的距離最長時(shí)，求弦長|AB|.

化普通方程為xsinα-ycosα+cosα-sinα=0,

(x-2)2+y2=4的圓心為點(diǎn)(2，0)，到直線l的距離是

(作者單位：山東省聊城市東阿縣實(shí)驗(yàn)高中)