福建

吳志鵬

(作者單位：福建省泉州市德化第一中學(xué))

如何求解古典概型的概率

福建

吳志鵬

古典概型是學(xué)生學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的起點(diǎn)，是一種重要的概率模型.

一、古典概型的兩個(gè)基本特征

1.所含的基本事件個(gè)數(shù)有限;

2.每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.

二、解決古典概型概率的基本步驟

1.分析具體問(wèn)題確定樣本空間;

2.確定樣本空間包含的基本事件的總數(shù)n;

3.確定事件A所包含的不同基本事件的個(gè)數(shù)m;

三、樣本空間的選擇

1.正確選取樣本空間：要保證所選取的樣本空間所含基本事件個(gè)數(shù)是有限的，且等可能發(fā)生.

【例1】先后擲兩枚骰子，求向上點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率.

【例2】射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊．試驗(yàn)的結(jié)果為：命中10環(huán)，命中9環(huán)，……，命中0環(huán)，求其命中8環(huán)以上的概率.

因?yàn)槊?0環(huán)，命中9環(huán)，……,命中0環(huán)不是等可能的．因此并非古典概型，不能用古典概型的概率公式求解.

2.樣本空間的選取是相對(duì)的而非絕對(duì)的

【例3】(2016·全國(guó)卷Ⅰ文·3)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是

( )

【答案】C

分析：對(duì)于樣本空間的選取可分為以下兩種方案：

兩種方案所選取的樣本空間是不一樣的，但結(jié)果卻都是正確的，這說(shuō)明基本事件總數(shù)與所研究事件包含的基本事件數(shù)必須在同一樣本空間中考慮，其結(jié)果也是相同的，因此樣本空間的選擇是相對(duì)的而非絕對(duì)的.

四、樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)

1.對(duì)于樣本空間所包含的基本事件(樣本點(diǎn))總數(shù)比較少時(shí)，對(duì)樣本點(diǎn)的記數(shù)可采用枚舉法或樹(shù)狀圖進(jìn)行表示，對(duì)于事件A所含的樣本點(diǎn)可從所羅列的圖表中標(biāo)記獲得，直觀而具體，但應(yīng)把握列舉的原則，不要出現(xiàn)重復(fù)和遺漏．

【例4】(2017·全國(guó)卷Ⅱ文·11)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

( )

解：法一，利用樹(shù)狀圖可以列出，從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，所有可能結(jié)果：

2.對(duì)于樣本空間所包含的基本事件(樣本點(diǎn))總數(shù)比較多時(shí)，用樹(shù)狀圖或列舉法羅列樣本點(diǎn)比較困難，需通過(guò)排列組合或利用加法原理與乘法原理求得.

(1)排列與組合：

②有放回的選取：從n個(gè)不同的元素中取出r個(gè)不同的元素進(jìn)行排列，總數(shù)有nr種.

(2)兩條原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同方法.每一種方法都能夠直接達(dá)成目標(biāo).

乘法原理:做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1·m2·…·mn種不同的方法.

【例5】如圖，在一個(gè)木制的棱長(zhǎng)為3的正方體表面涂上顏色，將它的棱3等分，然后從等分點(diǎn)把正方體鋸開(kāi)，得到27個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，將這些小正方體充分混合后，裝入一個(gè)口袋中．

(1)從這個(gè)口袋中任意取出1個(gè)小正方體，這個(gè)小正方體的表面恰好沒(méi)有顏色的概率是多少？

(2)從這個(gè)口袋中同時(shí)任意取出2個(gè)小正方體，其中1個(gè)小正方體恰好有1個(gè)面涂有顏色，另1個(gè)小正方體至少有2個(gè)面涂有顏色的概率是多少？

分析：該模型為古典概型，基本事件個(gè)數(shù)是有限的，并且每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的．題目(2)所涉及的基本事件總數(shù)比較多，所求事件中的基本事件的構(gòu)成比較復(fù)雜，既要分類(lèi)又要分步，融合了兩個(gè)原理及排列組合，因此學(xué)習(xí)時(shí)要注意理解原理并要掌握排列組合的方法.

【解】在27個(gè)小正方體中，恰好3個(gè)面都涂有顏色的共8個(gè)，恰好2個(gè)面涂有顏色的共12個(gè)，恰好1個(gè)面涂有顏色的共6個(gè)，表面沒(méi)涂顏色的1個(gè)．

五、從古典概型具體問(wèn)題中抽出的三個(gè)基本模型

1.隨機(jī)取數(shù)模型：從多個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，每個(gè)數(shù)字被取到的可能性相同.分為重復(fù)取得和不重復(fù)取得兩種情況.

【例6】(2016·全國(guó)卷Ⅲ文·5)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是

( )

【答案】C

【例7】(2015·全國(guó)卷Ⅰ文·4)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為

( )

【答案】C

分析：例6可轉(zhuǎn)化為兩次分別從3個(gè)和5個(gè)不同的數(shù)字中不放回地隨機(jī)取出1個(gè)不同的數(shù)進(jìn)行求解，例7則轉(zhuǎn)化為從5個(gè)不同的數(shù)字中不放回地隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)進(jìn)行求解.

2.摸球問(wèn)題：袋中有多種外形完全相同、顏色不同的球，現(xiàn)從袋中任取一球，任一球被摸到的可能性相同，分有放回和無(wú)放回的抽取兩種情況.

【例8】已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,…,m+n抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).

123…m+n

試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P.

3.分信問(wèn)題：n封不同的信等可能的被投到N個(gè)信箱中.

【例9】(2017·山東卷文·16改編)3名旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇1個(gè)國(guó)家去旅游.

(1)這3名旅游愛(ài)好者有多少種旅游方案可供選擇？

(2)若3名旅游愛(ài)好者從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)去旅游,求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率？

分析：(1)本題可轉(zhuǎn)化為將3封不同的信投到6個(gè)不同的信箱，則有6×6×6=216種；

(作者單位：福建省泉州市德化第一中學(xué))