廣東

林國紅

(作者單位：廣東省佛山市樂從中學)

關于考試大綱刪去“幾何證明選講”模塊的思考
——以解析幾何為例

廣東

林國紅

隨著新一輪高考和課程改革的逐步推進，高考數(shù)學考試大綱從2017年起作調整，從以前的三個選考模塊“極坐標和參數(shù)方程”“不等式選講”和“幾何證明選講”中刪去了“幾何證明選講”模塊，其余兩個選考模塊的內容和范圍不變，考生從剩下的兩個模塊中任選一個作答.

高考刪去“幾何證明選講”模塊是因為這部分內容考查的主要是初中平面幾何的知識，而高考中幾何的主要知識內容在立體幾何和解析幾何中均有體現(xiàn)，不需要再單獨列為專題考查，刪除這部分內容可以減少重復考查，強化學科體系的導向.“幾何證明選講”模塊不再單獨作為一道試題出現(xiàn)在高考試卷中，但是應該認識到這并不意味著學生不用學習平面幾何的知識，也不意味著教師不用再涉及這方面的知識.其實考試大綱刪去“幾何證明選講”模塊并不是要削弱幾何對推理論證能力的考查，在高考試卷中，這部分內容會以更隱蔽的形式“潛伏”在其他試題當中，比如融入到立體幾何試題或解析幾何試題當中.

下面筆者以幾道2017年高考的解析幾何題為例，了解平面幾何知識與解析幾何的融合，并以平面幾何的視角結合解析幾何的相關知識解決問題，希望可以達到拋磚引玉的效果.

( )

【評注】本題利用拋物線的定義，結合等邊三角形的判定及性質等平面幾何知識解答，此外還涉及解直角三角形，解題的關鍵是將已知信息“翻譯”成平面幾何信息.

【例2】(2017·全國卷Ⅱ理·16)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=________.

【評注】本題利用拋物線的定義，結合相似三角形的判定及性質，減少了運算量.此外本題還可以用平行線分線段成比例定理來解答.

(Ⅰ)求點P的軌跡方程；

【解析】(Ⅰ)略.P的軌跡方程為x2+y2=2.

①+②得(m+n)2+m2-n2=6，即m(m+n)=3.

【例4】(2017·全國卷Ⅲ文·20)在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1).當m變化時，解答下列問題：

(Ⅰ)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；

(Ⅱ)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.

(Ⅱ)設過A,B,C三點的圓與y軸相交于另一個點D(點D在x軸的下方)，根據(jù)相交弦定理，得|OC|·|OD|=|OA|·|OB|，即有1·|OD|=-x1x2，所以|OD|=2.因此過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為|CD|=|OC|+|OD|=1+2=3，是定值.

【評注】本題中的問題(Ⅱ)用到了圓的相交弦定理，思路巧妙，解法簡單快捷，相比于解析法，極大地減少了運算量.

從上面幾個例子可以看出，解答解析幾何問題時善用平面幾何知識，常常可以避開繁難的代數(shù)運算，簡化解題過程.其中挖掘試題背后有關的幾何性質是關鍵，這需要熟練掌握一些常見平面幾何圖形的性質，并將其與解析幾何的特征量相結合，尋找問題解決的切入點與突破口.因此對于解析幾何問題，要將解析法與平面幾何法相結合，從而得到解決問題的最優(yōu)解法.

所以，我們要正確解讀高考數(shù)學考試大綱中刪去“幾何證明選講”內容，這并不意味高考完全回避平面幾何的知識，而是將平面幾何內容與立體幾何或解析幾何有機整合，也就是說平面幾何知識考得更加隱蔽，更加靈活了.這就要求教師在平時的教學和復習備考當中，要適當加入平面幾何知識，并引導學生應用平面幾何知識去化解立體幾何或解析幾何的難度，從而更好地解決問題.

(作者單位：廣東省佛山市樂從中學)