劉志高

（北京航天微系統研究所，北京100094）

0 引言

實際工程中，常需要從給定信號中提取微分信號，而獲得準確的微分信號對控制器設計，尤其對基于準確數學模型的現代控制理論設計的作用十分重要。獲取微分信號，通?？捎?階慣性環(huán)節(jié)或差分法，但是當信號中含有噪聲時，用如上兩種方法取得微分信號的同時，也會將噪聲放大（一般噪聲的變化率快于有用信號的變化率）。特別情況下，取得噪聲微分信號甚至會將所需信號的微分信號淹沒。文獻[1]利用2階最速開關系統構造了一種提取近似微分信號的機構，并據此提出了非線性跟蹤微分器的概念，給出了非線性跟蹤微分器的一般形式，所設計的非線性跟蹤微分器改變了以前采用1階慣性環(huán)節(jié)或差分法求微分的做法，能較好地跟蹤給定信號的微分信號。但該方法含有開關函數，不利于系統的證明及穩(wěn)定分析。據此，文獻[2]提出把文獻[1]中非線性跟蹤微分器中函數的指數，用分子、分母均大于零的奇數的分數形式表示，取代帶有開關函數的形式得出當時間尺度趨于正無窮大時輸出信號逐點跟蹤輸入信號的結論。該方法的優(yōu)點是在平衡點附近收斂速度較快，缺點是系統狀態(tài)在遠離平衡點時收斂速度卻較慢，導致初始階段跟蹤曲線抖振嚴重。文獻[3]設計了一種系統狀態(tài)在遠離和接近平衡點時，都能自動以較快速度收斂的全程快速非線性跟蹤微分器，雖然取得了有益的成果，但由于在系統極點附近使用了非光滑的分數指數函數，導致跟蹤信號發(fā)生了明顯震顫。文獻[4]和文獻[5]設計的跟蹤微分器雖然減小了這種震顫，但所設計的方法易產生復數解，其位于虛軸上的解使得跟蹤微分器系統處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，可能導致系統不穩(wěn)定或輸出結果有較大震顫[6-10]。

為改善跟蹤微分器性能，去除跟蹤微分器復數解，尤其是去除位于虛軸上的解，同時滿足跟蹤微分器全程收斂較快這一需求，不抖振[10-17]，本文設計了一種改進的跟蹤微分器。應用Lyapunov定理證明了改進后的跟蹤微分器的穩(wěn)定性，理論分析和仿真證明其在遠離平衡點和接近平衡點時均能加速收斂。

1 改進跟蹤微分器設計

設對于系統S1[1，7]，有：

式中，X（t）＝[x1（t），x2（t）]，有如下定理：

定理 1：對于系統S1，如果其解x1（t）、x2（t）滿足：，那么，會有系統S2對于任意給定的有界可積函數v（t）以及常數T，式（2）的解滿足：（或者－v（t）），。 證明見參考文獻[1]。

選取微分跟蹤器的關鍵是選取f[x1（t），x2（t）]，令：

則有如下定理：

定理2：對系統S3，當a1＞0、b1＞0、b2＞0、n＞0，且n為奇數時，式（5）的解滿足定理1中系統S1的結論，系統S3漸進穩(wěn)定，且穩(wěn)定于（x1，x2）T＝（0，0）T，

定理2的證明如下所示：

選擇Lyapuvov能量函數V，令V＝a1x1（t）2/2＋x2（t）2/2＋1，因a1大于 0，則函數V各項系數均大于 0，又因為xi（t）2≥ 0（i＝1，2），所以對于任意狀態(tài)的（x1，x2）T都有V＝a1x1（t）2/2＋x2（t）2/2＋1＞0。

對V兩邊求導，得：

又因為：

將式（8）和式（9）帶入式（7），有：

整理得：

因b1、b2、n均大于0，則函數?V各項系數均小于 0，又因為n為大于0 的奇數，故有x2（t）n＋1≥0，所以對于任意狀態(tài)的（x1，x2）T都有?V＝－b1x2（t）2－b2x2（t）n＋1≤0。 也就是說系統是漸進穩(wěn)定的，即可認為x1（t）最終趨于某個穩(wěn)定值不再變化，那么此時必有?x1≡0，x2＝?x1≡0。因為x2≡0，則有?x2≡0。

將x2≡0，?x2≡0帶入式（5）中，則有：

解得：

即系統穩(wěn)定值為：

至此，定理2得證。

綜合定理1和定理2，可得改進跟蹤微分器的形式：

式中，a1＞0，b1＞0，b2＞0，n＞0，n是奇數。

對于任意給定的有界可積函數v（t）和常數T，

需要對式（15）所示的改進跟蹤微分器做出如下3點說明：

1）對于式（15），當 e＝x1（t）－v（t）較大時，加速度信號?x1（t）（或x2（t））亦會較大，使系統能以較快速度跟蹤v（t），滿足這時，起主要作用，使（x1－v，x2）T→（0，0）T，加速跟蹤v（t）過程。

2）當e＝x1（t）－v（t）較小時，即x1（t）接近v（t）時，x1（t）變化趨緩，也即斜率變小，加速度信號?x1（t）（或x2（t））變小，這時仍需要加速度盡量大，才能使系統以較快速度跟蹤v（t），滿足

這時，恰有b1x2（t）/R＞b2x2（t）n/Rn（此時（x1－v，x2）T→（0，0）T，b2x2（t）n/Rn斜率貼近x軸），b2x2（t）/R起主要作用。

綜合1）和2）可知，所設計的改進跟蹤微分器使得狀態(tài)量在遠離平衡點和接近平衡點時均能加速收斂。

3）若令：

f＝－a1x1（t）－a2x1（t）m－b1x2（t）－b2x2（t）n，是不是可以保證式（15）在e＝x1（t）－v（t）較大時，除依靠b2x2（t）n/Rn外，同 時 也 依 靠 非 線 性 環(huán) 節(jié)－a2x1（t）m加速跟蹤v（t）的過程，使系統能以較快速度跟蹤v（t），滿足呢？答案是否定的，從理論上計算可知，（x1，x2）T除了收斂于（0，0）T外，還收斂于 [（－a1/a2）1/（m－1），0]T（其 中，a1、a2、m大 于 0，m為 正 奇 數，則（－a1/a2）1/（m－1）是復數解，位于虛軸上，致使跟蹤微分器系統處于臨界穩(wěn)定。選Lyapuvov能量函數V，令V＝a1x1（t）2/2＋a2x1（t）m＋1/（m＋1）＋x2（t）2/2，可證得使系統收斂的兩個解是x1（t）＝0，x1（t）＝（－a1/a2）1/（m－1））。

2 改進微分跟蹤器仿真

2.1 改進微分跟蹤器與非線性跟蹤微分器效果比較

仿真中，讓改進微分器和文獻[1]經典的非線性跟蹤微分器比較，其參數設置如下：ADRC的TD設置[1]為r＝12、d＝0.05。

改進跟蹤微分器設置：R＝5、a＝5、b1＝b2＝1、n＝3。

如圖1、圖2所示，改進跟蹤微分器跟蹤效果平穩(wěn)，且抖振小，同時跟蹤的微分信號其值較大，符合階躍信號瞬間變化時，其變化率極大的情形。

2.2 改進微分跟蹤器估計系統狀態(tài)性能仿真

研究對象為：

輸入信號：階躍信號，幅值為10，起始時間為1s；研究內容：研究改進的3階微分器估計系統狀態(tài)x1、1、2，3的性能（據此法，將2階跟蹤微分器拓展為三階跟蹤微分器）。

如圖3～圖5所示，當輸入幅值10的階躍信號時，系統實際狀態(tài)變量x1、1（或x2）、2（或x3），與以y＝x1作為輸入信號v（t）的改進跟蹤微分器輸出的估計值1、1（或2）、2（或3）幾乎重合，這也證明了改進微分器在估計系統狀態(tài)變量時的有效性。

3 結論

本文所設計的改進跟蹤微分器是Lyapunov意義下穩(wěn)定的系統，具有全局穩(wěn)定性和快速收斂性。通過仿真比較及驗證，證明了改進跟蹤微分器具有較好的跟蹤效果，且其形式簡單，跟蹤時無抖振現象，是一款較好的跟蹤微分器。