陳 鑫，賈有軍，郜 婕，李 偉，李錄賢

(1.西安交通大學 航天航空學院，機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室/陜西省先進飛行器服役環(huán)境與控制重點實驗室，西安 710049；2.中國航天科技集團四院四十一所，西安 710025)

0 引言

固體推進劑發(fā)動機具有大推力、高可靠性、方便使用維護等優(yōu)點，已成為航天運載火箭的主要動力推進裝置，在世界各國航天運載技術(shù)發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。固體推進劑是固體火箭發(fā)動機的能源材料，也是結(jié)構(gòu)材料，其力學性能直接影響著整個發(fā)動機的性能。

固體推進劑力學性能的主要研究內(nèi)容之一是固體推進劑的本構(gòu)關(guān)系。固體推進劑在制造、貯存、使用等過程中，其力學性能受到溫度、應(yīng)變率的影響[1]。目前，國內(nèi)外學者已經(jīng)根據(jù)各種實驗對固體推進劑的力學性能進行了廣泛深入的研究，并建立相應(yīng)的本構(gòu)模型，但由于固體推進劑的力學性能十分復雜，已有的相關(guān)研究與實際需求仍然存在較大差距。如Ho[2]建立了考慮損傷、溫度和應(yīng)變率因素的非線性本構(gòu)模型，能夠預測固體推進劑高應(yīng)變率下的非線性粘彈性力學響應(yīng)，但溫度較低時，預測效果不是很好。朱-王-唐本構(gòu)模型[3-4]雖較好地考慮了準靜態(tài)和動態(tài)條件，被大量運用于高聚物、炸藥等脆性材料中，但只適用于變形小于20%的情況，對于高達80%以上的應(yīng)變，仍需進一步完善。Schapery課題組[5-7]、孟紅磊等[8]、姚東等[9]在這方面也做了大量工作，其采用宏觀物理量的變化來描述固體推進劑變形時所表現(xiàn)出的非線性行為，回避了對微觀結(jié)構(gòu)的復雜分析。但是，這些非線性本構(gòu)模型中一般都含有多個物理意義含糊的材料參數(shù)，且所采用的是與線性本構(gòu)模型基本無關(guān)的另一套體系。

固體推進劑是典型的粘彈性材料，其粘彈性行為因應(yīng)變率不同而顯著不同。實驗表明，不同應(yīng)變率下固體推進劑的拉伸曲線差異非常明顯?；谠搶嶒灛F(xiàn)象，本文從線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，研究應(yīng)變率對固體推進劑材料力學性能的影響，擬發(fā)展一種參數(shù)數(shù)量少、物理意義明確的固體推進劑材料的唯象非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系，以描述固體推進劑的實驗結(jié)果，方便應(yīng)用于藥柱結(jié)構(gòu)的實際分析，為高裝填比固體火箭發(fā)動機裝藥結(jié)構(gòu)設(shè)計提供支持。

1 線性粘彈性基本理論

單軸應(yīng)力狀態(tài)下材料的線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系用積分形式可表示為

(1)

式中σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；t為時間；E(t)為材料的松弛模量。

松弛模量E(t)可通過將式(1)應(yīng)用于松弛實驗來獲得。松弛實驗是在初始時刻給定一個突變的初始應(yīng)變并予以保持、然后測取應(yīng)力隨時間變化的實驗。也就是說，在松弛實驗中，其應(yīng)變變化為

ε(t)=ε0H(t-0)

(2)

式中H(t-t0)為Heaviside函數(shù)。

這樣，松弛實驗的應(yīng)變率為

(3)

式中δ(t-t0)為Dirac delta函數(shù)。

將式(3)代入式(1)，對于松弛實驗，得

(4)

一般地，松弛模量可用Prony級數(shù)表示：

在給定環(huán)境溫度下，對于ε0=5%，松弛實驗得到的松弛模量隨時間的變化如圖2中實線所示。

圖1 廣義Maxwell模型Fig.1 Generalized Maxwell model

圖2 松弛模量的實驗值與理論計算值Fig.2 Relaxation modulus from test and theory

(6)

將式(6)中的參數(shù)值代入式(5)中，即得到松弛模量的表達式，預測的松弛模量如圖2中各點所示。可以看出，與實驗值吻合良好。

得到松弛模量后，就建立起了如式(1)的線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系。下面將該關(guān)系用于常應(yīng)變率拉伸實驗。

(7)

式(7)即為依據(jù)線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系得到的常應(yīng)變率時的應(yīng)力隨時間變化關(guān)系。

考察應(yīng)變率為0.02 s-1的情形，實驗獲得的應(yīng)力-時間曲線如圖3中的實線所示，根據(jù)式(7)預測的應(yīng)力-時間曲線如圖3中的虛線所示?？梢钥闯?，二者只在6%以內(nèi)的小變形階段具有較好的一致性；在其余的較大應(yīng)變范圍內(nèi)，二者出現(xiàn)較大偏差。因而，需要研究非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系，以期在更寬應(yīng)變范圍或整個過程與實驗結(jié)果一致。

圖3 常應(yīng)變率實驗結(jié)果與線性粘彈性理論計算結(jié)果對比Fig.3 Comparison of the results from the constant- strain-rate test and the theory

2 非線性粘彈性基本理論

2.1 推進劑材料非線性性能的影響因素

在第1節(jié)中，利用松弛實驗獲得松弛模量，進而建立了線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系。但是，如此得到的線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系對常應(yīng)變率拉伸實驗預測的效果并不理想，只在小變形階段適用。隨著應(yīng)變增大，線性本構(gòu)關(guān)系與實驗曲線出現(xiàn)明顯差異，而且越來越大，說明線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系不再適用。

雖然根據(jù)式(6)的松弛模量參數(shù)獲得的常應(yīng)變率應(yīng)力時間關(guān)系式(7)不能很好描述實驗結(jié)果，但分析式(7)函數(shù)的基本形態(tài)是一件饒有興趣的事。直接采用式(7)對0.02 s-1的實驗結(jié)果進行擬合，得到的參數(shù)值為

(8)

式(7)表示的應(yīng)力隨時間變化規(guī)律將如圖4所示?？梢钥闯?，以式(8)代替式(6)、式(7)與實驗曲線的吻合程度在整個變形過程都得到了顯著改觀。

圖4 改進預測與實驗對比Fig.4 Comparison of the results from the improved theory and the test

由此看來，在廣義Maxwell模型中采用恰當?shù)膹椥阅Ａ亢驼承韵禂?shù)，就可很好預測常應(yīng)變率實驗結(jié)果，進而獲得相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。由于這種本構(gòu)關(guān)系中材料參數(shù)是根據(jù)常應(yīng)變率實驗結(jié)果擬合而得，與松弛實驗獲得的相應(yīng)參數(shù)并不相同，其機理可解釋為粘彈性元件中的彈簧和粘壺性能因應(yīng)變率效應(yīng)發(fā)生了改變，因而，將基于常應(yīng)變率實驗擬合得到的參數(shù)(如式(8))所對應(yīng)的粘彈性本構(gòu)關(guān)系稱為應(yīng)變率相關(guān)的非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系。

2.2 非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系

由2.1節(jié)分析可知，應(yīng)變率效應(yīng)使得粘彈性元件的材料參數(shù)發(fā)生變化，引起了材料的非線性粘彈性行為。據(jù)此，仿照積分型線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系，提出積分型非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系為

(9)

式中ER(t)為非線性松弛模量，由常應(yīng)變率實驗確定。

仿照式(5)，ER(t)也可表示為

(10)

為便于實際應(yīng)用并保證精度，對式(10)仍取二項三參數(shù)形式，即

(11)

其物理意義可表示為如圖5所示的非線性三參量固體。

σ(t)=at+b(1-e-ct)

(12)

根據(jù)式(7)，不難得到

(13)

根據(jù)式(13)，可反演得到材料參數(shù)為

(14)

圖5 非線性三參量固體材料參數(shù)的物理解釋Fig.5 Physical interpretation of the three nonlinear parameters

式(12)的函數(shù)形式可描述多種不同形態(tài)的變化關(guān)系。例如，當b=5、c=0.1及a=-0.01時，式(12)可描述先增加后減小的形態(tài)，如圖6(a)所示；當b=5、c=0.1及a=0時，式(12)可描述先增加、然后基本保持不變的形態(tài)，如圖6(b)所示；當b=5、c=0.1及a=+0.01時，式(12)可描述單調(diào)增加的形態(tài)，如圖6(c)所示。需要特別指出的是，這三種基本形態(tài)幾乎涵蓋了常應(yīng)變率實驗結(jié)果中應(yīng)力隨時間變化的各種規(guī)律，因而可用來刻畫應(yīng)變率對材料性能的影響。

3 非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系的應(yīng)用

3.1 本構(gòu)參數(shù)識別方法

由于具有應(yīng)變率相關(guān)性，雖然與線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系具有相同的函數(shù)形式，但非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系的材料參數(shù)不能再借助于松弛實驗獲得，而是通過常應(yīng)變率實驗結(jié)果擬合得到，以實現(xiàn)更寬應(yīng)變范圍或整個變形過程中與實驗結(jié)果一致。

Step-1：將給定應(yīng)變率下的應(yīng)力-時間實驗結(jié)果準備成Excel格式；

Step-2：在MATLAB軟件的Curve Fitting中自定義形如式(12)的函數(shù)；

Step-3：將Step-1中Excel格式的實驗結(jié)果通過Import Data接口輸入到MATLAB中；

Step-4：啟動MATLAB中Curve Fitting的Fit功能，獲得式(12)中參數(shù)a、b和c的值；

(a)先增加后減小的形態(tài)

(b)基本保持不變的形態(tài)

(c)單調(diào)增加的形態(tài)

3.2 常應(yīng)變率拉伸實驗預測

某環(huán)境溫度下不同常應(yīng)變率時的實驗結(jié)果如圖7中實線所示。

按照3.1節(jié)中的參數(shù)識別方法，根據(jù)圖7的實驗曲線，對式(12)中的3個參數(shù)a、b和c分別進行識別，再利用式(12)預測得到圖7中虛線所示的理論值?？梢钥闯?，非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系在0.000 1～0.1 s-1的5個不同常應(yīng)變率條件下，100%應(yīng)變范圍內(nèi)，預測的應(yīng)力-時間關(guān)系都與實驗結(jié)果吻合良好。

(a) 應(yīng)變率為0.000 1 s-1 (b) 應(yīng)變率為0.000 4 s-1 (c) 應(yīng)變率為0.01 s-1

(d) 應(yīng)變率為0.02 s-1 (e) 應(yīng)變率為0.1 s-1

3.3 參數(shù)值統(tǒng)計

按照3.1節(jié)方法識別得到的函數(shù)參數(shù)和根據(jù)式(14)反演得到的非線性材料參數(shù)如表1所示。

(15)

表1 識別得到的3個非線性材料參數(shù)值Table1 Identified values of the three nonlinear constants

將式(15)通過式(11)代入式(9)，最終得到某溫度下考慮應(yīng)變率效應(yīng)的非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系為

(16)

隨應(yīng)變率變化隨應(yīng)變率變化隨應(yīng)變率變化

3.4 討論

應(yīng)力-時間的關(guān)系(式(12))具有如圖6所示的基本變化形態(tài)，但是，圖7(e)所示的實驗曲線在應(yīng)變較大時呈現(xiàn)出了略微的起伏變化，因而，與其他相比，式(12)對圖7(e)變化的描述尚待進一步改進。

實際上，在式(12)基礎(chǔ)上再增加一項，可使應(yīng)力-時間關(guān)系變?yōu)?/p>

σ(t)=at+b(1-e-ct)+nt2

(17)

利用3.1節(jié)的識別方法和圖7(e)的實驗數(shù)據(jù)，得到函數(shù)參數(shù)值分別為

(18)

圖9 式(17)的改進預測結(jié)果Fig.9 Improved prediction by Eq.(17)

式(17)的預測與實驗結(jié)果比較如圖9所示，與式(12)預測值(圖7(e)中的虛線)相比，式(17)的預測(圖9中的虛線)與實驗結(jié)果符合更好。

此時，令

(19)

對式(19)兩邊求導得材料的非線性松弛模量:

(20)

但式(20)再不能像式(14)那樣反演得到具有明確物理意義的材料參數(shù)。但從實際使用角度，數(shù)量很有限的唯象參數(shù)a、b、c及n仍可方便地用于實際的工程結(jié)構(gòu)分析。

4 結(jié)論

(1) 對因應(yīng)變率引起的非線性粘彈性行為，可通過引入材料的非線性松弛模量概念，由線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系發(fā)展成為非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系。

(2) 非線性本構(gòu)關(guān)系的材料參數(shù)雖然由實驗數(shù)據(jù)唯象地擬合得到，但在物理上可解釋為三參數(shù)固體中的非線性彈簧系數(shù)和非線性粘壺系數(shù)。

(3) 應(yīng)變率效應(yīng)可用較少(例如3個)的材料參數(shù)對整個變形過程予以描述，符合工程領(lǐng)域設(shè)計的簡單性要求。

由于實驗數(shù)據(jù)量的限制及較大的應(yīng)變率跨度，本文非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系材料參數(shù)隨應(yīng)變率的變化規(guī)律尚不明晰，需要更多實驗的支持。實際上，假以豐富的大溫度范圍多個常應(yīng)變率拉伸實驗數(shù)據(jù)，本文非線性粘彈性本構(gòu)關(guān)系的研究思想也可進一步延伸，以考慮對推進劑材料性能顯著影響的溫度因素。