劉 東，黃顯核，唐苑琳，王 艷

(1.電子科技大學(xué)自動化工程學(xué)院 成都 611731；2.西南石油大學(xué)電氣信息學(xué)院 成都 610500)

晶體諧振器廣泛應(yīng)用于振蕩器設(shè)計[1]、時頻控制[2]等領(lǐng)域。晶體諧振器也應(yīng)用于傳感器領(lǐng)域，如溫度傳感器[3]、石英晶體微天平[4-7]等。

1 介紹

晶體諧振器等效參數(shù)的測量方法很多，工程上通常先測量諧振頻率和負(fù)載諧振頻率，再求解等效參數(shù)。國際電工委員會(International Electrotechnical Commission, IEC)推薦采用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測量等效參數(shù)[8]，國內(nèi)也有采用網(wǎng)絡(luò)分析儀測量等效參數(shù)的報道[9-12]。這些方法都存在理論誤差，在諧振器Q值較低時，理論誤差變大。

本文提出了一種基于零相位頻率測量等效參數(shù)的方法，該方法沒有采用近似計算，而是采用正向計算過程，可以一次計算出4個參數(shù)，操作簡單。

2 晶體諧振器BVD模型的零相位頻率

圖1a為晶體諧振器BVD(Butterworth-Van Dyke)等效模型串聯(lián)負(fù)載電容CL。其中R1為動態(tài)電阻、L1為動態(tài)電感、C1為動態(tài)電容、C0為靜態(tài)電容。通常認(rèn)為晶體諧振器BVD等效模型的諧振頻率只與動態(tài)電感L1和動態(tài)電容C1有關(guān)，并且有：

式(1)中只包含L1和C1，因而，通過頻率只能求解L1和C1。通過推導(dǎo)，本文得到BVD等效模型零相位頻率的精確形式為：

式中，

式(2)中取正號即得到反諧振頻率[13-14]取負(fù)號即得到諧振頻率fr。由式(2)可知，頻率和4個等效參數(shù)都有關(guān)。因此，可以通過頻率求解4個等效參數(shù)，而不僅僅是兩個等效參數(shù)。由于有4個待解參數(shù)，除了fa、fr之外，還需要兩個頻率，以便于構(gòu)建四元方程組。這里選擇負(fù)載反諧振頻率fA與負(fù)載諧振頻率fR。

圖1 晶體諧振器串聯(lián)負(fù)載電容及其等效變換

為了簡化求解負(fù)載反諧振頻率與負(fù)載諧振頻率的過程，先做一個等效變換。圖1a模型可以等效變換為圖1b模型的形式，并且這種變換不受諧振器參數(shù)限制[15]，因而低Q值諧振器也適用于此種變換。變換之后，的函數(shù)。將變換關(guān)系帶入式(2)，即得到負(fù)載零相位頻率為：

式中,

式(4)中取正號即得到負(fù)載反諧振頻率fA，取負(fù)號即得到負(fù)載諧振頻率fR。

3 等效參數(shù)的測量方法

由fa、fr、fA、fR即可構(gòu)建四元方程組。觀察式(2)可見，fa、fr存在內(nèi)在聯(lián)系，其平方和就是式(3)的形式，即：

同理可得：

將式(6)帶入式(2)得到：

同理可得：

式(6)～式(9)組成新的方程組，便可簡化計算等效參數(shù)的過程。求解上述方程組，可依次得到：

4 ADS仿真驗證

本文采用安捷倫仿真軟件ADS(advanced design system)進行仿真，以驗證式(10)～式(13)。圖2是仿真原理圖，其中諧振器參數(shù)[16]設(shè)置為R1=13.764 ?、實測實驗中，串聯(lián)了負(fù)載電阻以削弱接觸電阻的影響。因此，仿真中串聯(lián)了負(fù)載電容Rx。

圖2 仿真原理圖

圖3 仿真結(jié)果

圖3 是仿真結(jié)果圖。通過圖3，可讀出兩個零相位頻率，即fr=80 003 222 Hz，fa=80 004 843 Hz。同理可得到串聯(lián)電容CL=10 pF時，fR=80 003 644 Hz，由于fa和fA有效位數(shù)不夠，導(dǎo)致fa=fA，實際它們是不一樣的。為了防止邏輯錯誤，增加了fa的有效位數(shù)，得到fa=80 004 843.5 Hz。將數(shù)據(jù)帶入式(10)～式(13)得到：R1=16.798 ?，計算參數(shù)和設(shè)置參數(shù)接近，但是有差距。增加頻率的有效位數(shù)至0.1 Hz，得到：R1=15.066 ?，L1= 27.878 mH，增加頻率的有效位數(shù)至0.001 Hz，得到R1=13.884 ?，L1=27.871 mH，可見頻率越精確，計算值與設(shè)定值越接近，即計算參數(shù)收斂于設(shè)定參數(shù)。因此，本文方法在理論上是正確的。

5 實測實驗

圖4是安捷倫網(wǎng)絡(luò)分析儀E5062A實測的晶體諧振器相位-頻率曲線，所測晶體為10 MHz、SC切石英晶體。供應(yīng)商提供的參數(shù)為：R1=69.78 ?，L1=1 407.29 mH，C1=0.18 pF，C0=2.11 pF。其Q值較大，因而本文方法測量結(jié)果應(yīng)該和標(biāo)稱結(jié)果很接近。圖中，相位偏移為-45.7°，這是由于導(dǎo)線長度等問題產(chǎn)生的。

圖4 安捷倫E5062A實測相位-頻率曲線

由圖4可見，相位-頻率曲線在諧振點附近的斜率很大，在1 Hz以內(nèi)相位可以變化幾度。如，距離fa最近兩點的相位分別為10.02°和-5.57°。它們和零相位仍有較大差距，所以本文采用線性插值的方法來間接測量零相位頻率。此時測得：fr=9 999 717.0 Hz，fa=10 000 095.3 Hz。同理可得，fR=9 999 957.9 Hz，fA=10 000 088.1 Hz。同時，為了消弱接觸電阻對測量的影響，本文串聯(lián)了一個電阻RX=27 ?。

實測過程中發(fā)現(xiàn)存在一個隨機漂移頻率fx使本文選擇相頻曲線在fr和處的導(dǎo)數(shù)方程來修正此隨機頻率。導(dǎo)數(shù)方程為：

式中，

式中，Z是諧振器的阻抗；R0是網(wǎng)絡(luò)分析儀的內(nèi)阻，這里R0=100 ?。

由式(10)～式(15)組成了六元非線性方程組，即可求解等效參數(shù)以及隨機頻率fx和負(fù)載電容CL。本文采用二維搜索法求解此方程組。

圖5 解非線性方程組流程圖

其具體的過程為：

1)和有限元解法類似，首先生成一個包含fx和的二維網(wǎng)格。初始值為間距為f_bu。CL初始值為間距為則網(wǎng)格上的點為

3)由等效參數(shù)計算相頻曲線，由相頻曲線得到諧振點的導(dǎo)數(shù)γ1NM和γ2NM。

4)計算誤差：β1NM=γ1NM–1Δ，β2NM=γ2NM–2Δ。則，網(wǎng)格上的每個點都有對應(yīng)點(β1NM,β2NM)。

5)尋找(β1NM,β2NM)中的兩組點(β1nm,β2nm)和(β1xy,β2xy)同時滿足下列兩個條件：β1nmβ1xy＜0，其中，(β1nm,β2nm)對應(yīng)點對應(yīng)點

7)判斷這兩個點的距離是否足夠小，并滿足精度要求。滿足計算結(jié)束，不滿足以這兩個點為基礎(chǔ)重新設(shè)置fx和CL的范圍。縮小間距再次生成網(wǎng)格。重復(fù)流程2)～6)，直到滿足要求為止。

上述過程的流程圖如圖5所示。

圖6 實測與復(fù)現(xiàn)相頻曲線

串聯(lián)180 ?電阻，即RX=180?時所測量參數(shù)為：

兩組實驗的測量值和標(biāo)稱值都很接近，RX=180 ?時更接近標(biāo)稱值。這可能是因為還有接觸電阻等不確定電阻的存在，串聯(lián)電阻越大，不確定電阻的影響越小。測量值與標(biāo)稱值之間略有差距，可能是由于測試環(huán)境(如測試溫度、測試夾具的靜電容等)與供應(yīng)商測試環(huán)境不一致。

6 結(jié)束語

本文推導(dǎo)了晶體諧振器零相位頻率與負(fù)載零相位頻率的精確形式，提出了一種基于4個零相位頻率測量諧振器等效電參數(shù)的方法。該方法的理論正確性通過ADS仿真實驗得到驗證，實測實驗也表明該方法是可行的。該方法沒有通常測量動態(tài)電阻中的往復(fù)測量過程，因而操作簡便。該方法不包含近似計算，因而也適用于諧振器Q值較低的情況，如石英晶體微天平、微機電系統(tǒng)等。