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        賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的某些特殊可補(bǔ)子空間的存在條件

        2018-07-19 09:03:30段麗芬莊彩彩
        關(guān)鍵詞:補(bǔ)子中都同構(gòu)

        段麗芬,莊彩彩,高 晶

        對于賦Luxemburg范數(shù)和Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間中存在與l∞,c0,l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間的條件均已獲得[1-2],本文根據(jù)廣義Orlicz范數(shù)的特征,給出了賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間中存在與l∞,c0,l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間的條件.

        1 預(yù)備知識

        定義1[3]設(shè) M 是Banach空間 X 的閉子

        定義2[2]設(shè) X 和Y 是Banach空間,如果對任給ε>0,X中都存在與Y同構(gòu)的可補(bǔ)子空間X0,使得其同構(gòu)映射T滿足1+ε,則稱Y與X的可補(bǔ)子空間X0幾乎等距同構(gòu).

        定義3[2]若偶函數(shù)M是非負(fù)連續(xù)凸函數(shù),且u=0?M(u)=0,則稱映射 M:R→[0,∞)為Orlicz函數(shù).稱滿足的Orlicz函數(shù)為N-函數(shù).

        設(shè)(G,Σ,μ)為一無原子測度空間,L0表示定義在G上的所有可測實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合.對任意 x∈L0,定義 ρM(x)=∫GM(x(t))dt為 x(t)關(guān)于M的模.

        M∈Δ2指如存在常數(shù) k≥2和 x0>0,當(dāng)時(shí) ,滿 足 M(2x)≤kM(x).M∈?2?N∈Δ2.

        2 幾個(gè)引理

        引理1[2](詹森不等式)設(shè) M 是 N 一函數(shù),x∈L*M,且ρM(x)<∞,則

        引理2 設(shè)M是N一函數(shù),M?Δ2,則對任給 ε∈(0,1),都存在 xn=unχGn∈L*M,其中un>0, μGn>0,Gi?Gj=Φ(i≠j),n=1,2,… ,使得,且對任何1<p<∞,都有

        證明 i)因 M?Δ2,存在 un>0,un↑∞ 及具有正測度兩兩互不相交的子集列{Gn},使得

        記 xn=unχGn,則

        3 主要結(jié)果

        定理1 設(shè)M是N一函數(shù),M?Δ2,則對任何1<p<∞,有

        i)LM,p中都存在與l∞幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        ii)EM,p中都存在與c0幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        證明 i)設(shè)ε∈(0,1),xn與引理2中所取相同,定義,及T:l∞→X,使得顯然 T是同構(gòu)映射,且由引理2之ii)知.下面證明 X是 LM,p中的可補(bǔ)子空間.

        事實(shí)上,定義 P:LM,p→LM,p,使得

        顯然P是線性算子,且P2=P.現(xiàn)只需證明P是有界的且PLM,p=X即可.

        因?yàn)閷θ我鈑>0及 x∈LM,p,利用引理1得

        現(xiàn)證明PLM,p=X.因?qū)θ魏?x∈X,都有Px=x ,說明 PLM,p?X.另一方面,設(shè)則 P(x)=.故

        ii)將上面i)證明過程中的 X換成 X0=,則 X?E.相應(yīng)T 定0M,p義為T:c0→X0,使得顯然T同樣是同構(gòu)映射,1+2ε.在證明X0是EM,p中的可補(bǔ)子空間時(shí),只要注意到,則由不等式(1)可得從 而

        定理2 設(shè)M是N一函數(shù),則對任何1<p<∞,下列命題等價(jià):

        i)M??2.

        ii)LM,p中都存在與l∞幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        iii)EM,p中都存在與c0幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        證明 根據(jù)定理1,只需證明iii)? i)即可.由iii)可知,LM,p中存在子空間與c0拓?fù)渫瑯?gòu),利用范數(shù)的等價(jià)性,LM存在子空間與c0拓?fù)渫瑯?gòu),結(jié)合文獻(xiàn)[1]定理1.90立即可得結(jié)論.

        定理3 設(shè)M是N一函數(shù),M??2,則對任何1<p<∞,LM,p和EM,p中都存在與l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        證明 設(shè) ε∈(0,1),利用引理 2,存在yn=vnχGn∈L*N,其中 vn>0,μGn>0,Gi?Gj=?(i≠j),n=1,2,…,使得,且對任何1<p<∞,都有.因 yn∈EN,q,利用引理3,存在xn=unχGn(un>0),使得<xn,yn> =unvnμGn.置則對任意,都有.利用文獻(xiàn)[4]中引理2立即可得,x∈EM.這說明X?EM.

        定義T:l1→X,使得.顯然T是同構(gòu)映射,且,即‖T‖≤1.另一方面,

        事實(shí)上,定義P:LM,p→LM,p,使得 P(x)=

        定理1中已經(jīng)證明P是有界線性算子,且P2=P,PEM,p?X,現(xiàn)只需證明PLM,p?X即可.

        定理4 設(shè)M是N一函數(shù),則對任何1<p<∞,下列命題等價(jià):

        i)M??2.

        ii)LM,p中都存在與l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        iii)EM,p中都存在與l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

        證明 結(jié)合定理3,只需證明ii)?i)即可.因?yàn)長M,p中存在與l1同構(gòu)的可補(bǔ)子空間的充要條件是其共軛空間L′M,p=LN,q⊕F中存在與c0同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.利用定理1可知,當(dāng)M∈?2,即N∈Δ2時(shí),LN,q中不存在與c0同構(gòu)的可補(bǔ)子空間,結(jié)合文獻(xiàn)[1]中引理4和定理5,結(jié)論得證.

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