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        邊界元法的應(yīng)用

        2018-07-18 05:37:38廉蒙蒙
        安陽工學(xué)院學(xué)報 2018年4期
        關(guān)鍵詞:源點元法邊界

        廉蒙蒙

        (安陽工學(xué)院機械工程學(xué)院,河南安陽455000)

        0 引言

        邊界元法是用于求解工程與科學(xué)問題的常用數(shù)值分析方法之一,它的基本思想是將經(jīng)典問題的基本解融入到邊界積分方程中,把微分方程的邊值問題歸化成邊界上的積分方程,并以其為控制方程,在借鑒有限元離散的基礎(chǔ)上,利用各種離散化技術(shù),通過將邊界進行插值離散后,邊界積分方程離散為代數(shù)方程組,再用數(shù)值方法求解代數(shù)方程組,從而得到原問題邊界積分方程的解[1-2]。邊界元法具有邊界積分方程非常深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),是繼有限元法之后興起的一種有效的數(shù)值方法,這種方法不僅可以用來分析彈性力學(xué)等固體力學(xué)的問題,同時也可應(yīng)用于流體力學(xué)、聲場,以及電磁場等其它的研究領(lǐng)域[3]。

        早在1963年M.A.Jaswon[4]首次通過有勢的理論對Laplace方程變換,建立了邊界積分方程的數(shù)值方法,即誕生了間接邊界元法,并求解了位勢問題。同年G.T.Symm也做了相關(guān)的工作[5]。Rizzo在1967年首次提出了直接邊界元法,并求解了二維彈性靜力學(xué)問題,這也是邊界元法文獻中第一篇關(guān)于直接邊界元法的文獻[6]。關(guān)于邊界積分方程法的專著是T.A.Cruse和F.J.Rizzo[7]于1975年出版的,并正式的命名此法為邊界積分方程方法,這也是邊界元中的第一本專著。C.A.Brebbia[8]于1986年編著了《工程師用的邊界單元法》,全面詳細地介紹了邊界元法的原理和應(yīng)用,并討論了位勢問題和二維彈性靜力學(xué)力學(xué)問題在邊界元方法中的應(yīng)用,并用FORTRAN語言編輯的程序來數(shù)值模擬相關(guān)問題,這標(biāo)志著邊界元方法已進入了系統(tǒng)性的研究。

        1 邊界積分方程

        邊界元法中運用Betti功能互等定理,得到著名的Somigliana等式,即區(qū)域內(nèi)點Y位移的積分表達式[9]

        當(dāng)Y→Γ時,得到彈性靜力學(xué)的位移邊界積分方程

        式中 ∫Γ(? ? ?)dΓ為沿邊界積分的Cauchy主值積分,x和y分別表示邊界上的場點和源點,如圖1所示。Cij(y)稱為位移奇異系數(shù),它依賴于邊界Γ上y點附近的幾何形狀與彈性常數(shù),對于光滑的邊界點處,Cij=δij2。但是在實際的計算中,并不是直接計算這一系數(shù),而是通過剛體位移求得。uj(x)和tj(x)分別表示邊界Γ上的位移分量和面力分量;Ui?j(x,y),Ti?j(x,y)為邊界積分方程的核函數(shù),亦稱為基本解,它們分別表示在無限彈性平面的一點y(源點)的i方向作用單位集中力時,在邊界上ui任意一點x(場點)的j方向上產(chǎn)生的位移和面力。對于平面應(yīng)變問題它們的具體形式為[10]

        式中,令xi和yi分別為場點和源點的坐標(biāo),則源點y到場點x的矢徑r→定義為

        采用線性單元離散邊界積分方程后,可以寫成

        把各節(jié)點的位移與面力分別記作單元位移矢量{u(e)}和單元面力矢量{t(e)}

        2數(shù)值計算

        例:受均勻壓力P=1的狹長薄板,如圖2所示,狹長板沿x軸的長度為L=2m,板的厚度h在1~10-10m之間變化,板的彈性剪切模量μ=8.0×1010Pa,泊松比υ=0.2,當(dāng)y=0時,邊界條件ux=uy=0。

        圖2 受均勻壓力的狹長板

        圖3 A點的應(yīng)力

        圖4 A點的應(yīng)力σy

        圖3和4的數(shù)據(jù)表明,本文所計算的結(jié)果即使是在h=10-10m時,依然與精確解非常的吻合。表1、表2的數(shù)據(jù)表明,本文即使沒有進行近奇異積分的處理,但是所計算的結(jié)果依然和精確解十分吻合。

        3 結(jié)論

        本文應(yīng)用邊界元法所計算的結(jié)果即使沒有處理近奇異積分,依然比較精確,究其原因是Mathe?matica軟件數(shù)值精度比較高,其次是智能積分,通常會采用自適應(yīng)算法計算積分的近似值,對積分區(qū)間進行遞歸分割,直到達到指定的準確度為止。以往近奇異積分的處理即坐標(biāo)變換是為了將變化比較劇烈的曲線變得比較平緩,這樣用Gauss積分法計算近奇異積分式子才能達到很高的精度。由此可見,計算近奇異積分,對于高級的程序語言來說,其智能的積分計算功能已經(jīng)完全能夠勝任近奇異積分計算這項工作,不需要再做任何的處理。

        表1 直線x=1.8上內(nèi)點應(yīng)力σx的計算結(jié)果(h =10-9m)

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