廉蒙蒙

（安陽工學(xué)院機械工程學(xué)院，河南安陽455000）

0 引言

邊界元法是用于求解工程與科學(xué)問題的常用數(shù)值分析方法之一，它的基本思想是將經(jīng)典問題的基本解融入到邊界積分方程中，把微分方程的邊值問題歸化成邊界上的積分方程，并以其為控制方程，在借鑒有限元離散的基礎(chǔ)上，利用各種離散化技術(shù)，通過將邊界進行插值離散后，邊界積分方程離散為代數(shù)方程組,再用數(shù)值方法求解代數(shù)方程組,從而得到原問題邊界積分方程的解[1-2]。邊界元法具有邊界積分方程非常深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),是繼有限元法之后興起的一種有效的數(shù)值方法，這種方法不僅可以用來分析彈性力學(xué)等固體力學(xué)的問題,同時也可應(yīng)用于流體力學(xué)、聲場,以及電磁場等其它的研究領(lǐng)域[3]。

早在1963年M.A.Jaswon[4]首次通過有勢的理論對Laplace方程變換，建立了邊界積分方程的數(shù)值方法，即誕生了間接邊界元法，并求解了位勢問題。同年G.T.Symm也做了相關(guān)的工作[5]。Rizzo在1967年首次提出了直接邊界元法，并求解了二維彈性靜力學(xué)問題，這也是邊界元法文獻中第一篇關(guān)于直接邊界元法的文獻[6]。關(guān)于邊界積分方程法的專著是T.A.Cruse和F.J.Rizzo[7]于1975年出版的，并正式的命名此法為邊界積分方程方法，這也是邊界元中的第一本專著。C.A.Brebbia[8]于1986年編著了《工程師用的邊界單元法》，全面詳細地介紹了邊界元法的原理和應(yīng)用，并討論了位勢問題和二維彈性靜力學(xué)力學(xué)問題在邊界元方法中的應(yīng)用，并用FORTRAN語言編輯的程序來數(shù)值模擬相關(guān)問題，這標(biāo)志著邊界元方法已進入了系統(tǒng)性的研究。

1 邊界積分方程

邊界元法中運用Betti功能互等定理，得到著名的Somigliana等式，即區(qū)域內(nèi)點Y位移的積分表達式[9]

當(dāng)Y→Γ時，得到彈性靜力學(xué)的位移邊界積分方程

式中 ∫Γ(? ? ?)dΓ為沿邊界積分的Cauchy主值積分，x和y分別表示邊界上的場點和源點，如圖1所示。Cij(y)稱為位移奇異系數(shù)，它依賴于邊界Γ上y點附近的幾何形狀與彈性常數(shù)，對于光滑的邊界點處，Cij=δij2。但是在實際的計算中，并不是直接計算這一系數(shù)，而是通過剛體位移求得。uj(x)和tj(x)分別表示邊界Γ上的位移分量和面力分量；Ui?j(x,y)，Ti?j(x,y)為邊界積分方程的核函數(shù)，亦稱為基本解，它們分別表示在無限彈性平面的一點y(源點)的i方向作用單位集中力時，在邊界上ui任意一點x(場點)的j方向上產(chǎn)生的位移和面力。對于平面應(yīng)變問題它們的具體形式為[10]

式中，令xi和yi分別為場點和源點的坐標(biāo),則源點y到場點x的矢徑r→定義為

采用線性單元離散邊界積分方程后，可以寫成

把各節(jié)點的位移與面力分別記作單元位移矢量{u(e)}和單元面力矢量{t(e)}

2數(shù)值計算

例：受均勻壓力P=1的狹長薄板，如圖2所示，狹長板沿x軸的長度為L=2m，板的厚度h在1～10-10m之間變化，板的彈性剪切模量μ=8.0×1010Pa，泊松比υ=0.2，當(dāng)y=0時，邊界條件ux=uy=0。

圖2 受均勻壓力的狹長板

圖3 A點的應(yīng)力

圖4 A點的應(yīng)力σy

圖3和4的數(shù)據(jù)表明，本文所計算的結(jié)果即使是在h=10-10m時，依然與精確解非常的吻合。表1、表2的數(shù)據(jù)表明，本文即使沒有進行近奇異積分的處理，但是所計算的結(jié)果依然和精確解十分吻合。

3 結(jié)論

本文應(yīng)用邊界元法所計算的結(jié)果即使沒有處理近奇異積分，依然比較精確，究其原因是Mathe?matica軟件數(shù)值精度比較高，其次是智能積分，通常會采用自適應(yīng)算法計算積分的近似值，對積分區(qū)間進行遞歸分割，直到達到指定的準確度為止。以往近奇異積分的處理即坐標(biāo)變換是為了將變化比較劇烈的曲線變得比較平緩，這樣用Gauss積分法計算近奇異積分式子才能達到很高的精度。由此可見，計算近奇異積分，對于高級的程序語言來說，其智能的積分計算功能已經(jīng)完全能夠勝任近奇異積分計算這項工作，不需要再做任何的處理。

表1 直線x=1.8上內(nèi)點應(yīng)力σx的計算結(jié)果(h =10-9m)