楊軍康敏

南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，南京，210031

0　引言

散光是眼睛的一種屈光不正常表現(xiàn)，研究發(fā)現(xiàn)，正常人群中大約有8%～15%的人存在散光，白內(nèi)障患者中角膜散光的人群比例更大［1］，對散光眼的測量精度直接影響患者術(shù)前視覺質(zhì)量的評估以及術(shù)后的視覺效果。環(huán)曲面在兩個(gè)相互垂直的方向上具有不同的曲率，可形成兩個(gè)深淺不同的屈光度，基于這一特性，環(huán)曲面被廣泛地應(yīng)用于眼科醫(yī)療器械行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中［2］。

環(huán)曲面屬于非軸對稱非球面，加工較為困難，目前用于非球面創(chuàng)成的方法有自由曲面研磨、微銑削、飛刀銑削、基于快刀伺服或慢刀伺服的金剛石車削等。慢刀伺服車削因其較高的加工面形精度及加工效率，被廣泛應(yīng)用于非球面光學(xué)元件的加工［3-5］。針對環(huán)曲面的慢刀伺服加工及其刀具路徑規(guī)劃已有一些研究。王興盛等［6-7］采用適于IMAC系統(tǒng)的Hermite插值法對包括環(huán)曲面在內(nèi)的復(fù)雜光學(xué)曲面進(jìn)行刀具路徑規(guī)劃，相比IMAC系統(tǒng)提供的B-Spline插值方法，使用Hermite插值法更利于精確控制運(yùn)動(dòng)軌跡，但Hermite插值法僅能保證一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，無法保證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。牛恒泰等［8］基于Zernike多項(xiàng)式對離散曲面刀觸點(diǎn)進(jìn)行局部擬合，實(shí)現(xiàn)對環(huán)曲面和漸進(jìn)多焦點(diǎn)曲面的加工，但文中使用等角度法離散刀觸點(diǎn)，外圈離散誤差較大，導(dǎo)致加工精度降低。

本文以慢刀伺服加工技術(shù)為基礎(chǔ)，對環(huán)曲面加工的刀具路徑生成進(jìn)行優(yōu)化。

1　環(huán)曲面加工的刀具路徑規(guī)劃

在幾何上，環(huán)曲面是指半徑為a的基弧繞一軸線以R為半徑旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面（R＞a），該軸線與基弧處于同一平面但不通過基弧的圓心，環(huán)曲面示意圖見圖1，圖1b為圖1a中的圓圈區(qū)域。

圖1　環(huán)曲面示意圖Fig.1　Scheme diagram of toric surface

根據(jù)車削加工原理可知，刀具軌跡的生成由主軸轉(zhuǎn)角θ和刀觸點(diǎn)（CC）距工件中心的距離d決定，建立圓柱坐標(biāo)系來描述環(huán)曲面，見圖2。

圖2　圓柱坐標(biāo)系下的環(huán)曲面Fig.2　Scheme diagram of toric surface in cylindrical coordinate

環(huán)曲面加工的刀具路徑規(guī)劃主要包括刀觸點(diǎn)軌跡規(guī)劃、刀具補(bǔ)償和刀位點(diǎn)（CL）插補(bǔ)3個(gè)步驟，相關(guān)流程見圖3。

1.1　刀觸點(diǎn)軌跡規(guī)劃

圖4　綜合離散示意圖Fig.4　Scheme diagram of the integrated discretization method

機(jī)床的布置方式?jīng)Q定了刀具軌跡呈螺旋形，當(dāng)前采用的觸點(diǎn)離散方法主要包括等角度離散和等弧長離散。等角度離散算法簡單，易于實(shí)現(xiàn)，但外圈離散誤差較內(nèi)圈離散誤差大。此外，當(dāng)工件直徑較大時(shí)，為保證離散精度需要采用較小的離散角度，導(dǎo)致離散點(diǎn)個(gè)數(shù)增多，加工程序冗長。等弧長離散中相鄰刀觸點(diǎn)之間的弧長是相等的，這樣可以保證外圈離散誤差不會(huì)過大。它的缺點(diǎn)在于：靠近工件中心時(shí)相鄰刀觸點(diǎn)間的離散角度會(huì)顯著增大，導(dǎo)致離散誤差增大。本文綜合等角度離散與等弧長離散的優(yōu)點(diǎn)，提出綜合離散方法，即外圈采用等弧長離散，避免相鄰離散點(diǎn)之間距離過大，靠近工件圓心處的內(nèi)圈采用等角度離散，避免靠近圓心的內(nèi)圈離散誤差過大，示意圖見圖4。在使用綜合離散法對刀觸點(diǎn)進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)需要設(shè)定離散弧長Δl和離散角Δθ，這2個(gè)參數(shù)通過刀具步長分析后計(jì)算獲得。當(dāng)相鄰刀觸點(diǎn)的夾角大于Δθ時(shí)，等弧長離散停止，進(jìn)行離散角為Δθ的等角度離散。

綜上所述，笛卡兒坐標(biāo)系下，使用綜合離散法的刀觸點(diǎn)軌跡可表示為

式中，（rw，θw，zw）為圓柱坐標(biāo)系下的刀觸點(diǎn)坐標(biāo)；af為每圈進(jìn)給量；D為工件直徑；zw=f（rw，θw）為所加工曲面的柱坐標(biāo)方程；rw為刀觸點(diǎn)距工件圓心的距離；θi為第i個(gè)刀觸點(diǎn)處的累計(jì)旋轉(zhuǎn)角度。

在綜合離散法中，θi可通過下式求解：

同時(shí)設(shè)定相鄰刀觸點(diǎn)之間的最大Z向距離Δz以減小因相鄰刀觸點(diǎn)間的速度波動(dòng)對加工質(zhì)量的影響。當(dāng)相鄰刀觸點(diǎn)間Z向距離Δzi大于給定的最大值時(shí)，對該段刀觸點(diǎn)軌跡上的刀觸點(diǎn)進(jìn)行細(xì)分處理，見圖5，圖中n的取值為［Δzi+1/Δz］+1。

圖5　細(xì)分刀觸點(diǎn)示意圖Fig.5　Diagram of cutting contact points subdivision

整個(gè)綜合離散法的流程圖見圖6。

1.2　刀具補(bǔ)償

刀具補(bǔ)償包括刀尖圓弧半徑補(bǔ)償、前角補(bǔ)償和后角補(bǔ)償?shù)?。加工時(shí)采用的車刀前角一般為零，根據(jù)文獻(xiàn)［9］的方法，選擇后角參數(shù)即能保證刀具后角不會(huì)與工件面形發(fā)生干涉，故本文只需要考慮刀尖圓弧半徑補(bǔ)償。圖7為刀尖圓弧半徑補(bǔ)償模型，其中刀具與工件的接觸點(diǎn)為P，曲面上該點(diǎn)法向矢量為n，在刀具切削面內(nèi)引入P點(diǎn)的單位法矢量nP和切矢量tP。由幾何關(guān)系可知n·tP=0及nP·tP=0，進(jìn)一步推導(dǎo)可求出nP。按單位外法線方向nP對刀具圓弧半徑Rt補(bǔ)償后可計(jì)算出刀位點(diǎn)：

從圖7中可以看出,法向補(bǔ)償使刀具在X向和Z向都有偏移，這會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)性能不好的X軸產(chǎn)生更大的跟蹤誤差，降低加工精度。由此，本例中選擇將所有的補(bǔ)償集中在Z向上完成，即選用Z向刀具補(bǔ)償法。具體做法為：首先求出所有刀觸點(diǎn)對應(yīng)的法向補(bǔ)償點(diǎn)，然后對其進(jìn)行插值得到刀位點(diǎn)曲線CL的表達(dá)式，將P點(diǎn)的X向坐標(biāo)代入，即可求出Z向補(bǔ)償?shù)段稽c(diǎn)L′的Z向坐標(biāo)值。

圖6　綜合離散流程示意圖Fig.6　Flowchart of Integrated discretization method

圖7　刀尖圓弧半徑補(bǔ)償模型Fig.7　Model of tool radius compensation

1.3　刀位點(diǎn)插補(bǔ)

位置、速度、時(shí)間（position velocity time，PVT）插補(bǔ)模式可根據(jù)位置p、速度v和時(shí)間t參數(shù)自由控制運(yùn)動(dòng)軌跡，生成唯一的三階位置曲線，有利于運(yùn)動(dòng)軌跡的緊湊和精確控制［7］，見圖8，其中，A表示加速度。PVT插補(bǔ)除了要指定刀位點(diǎn)位置外，還需要指定每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的速度值，相鄰刀位點(diǎn)之間的時(shí)間間隔和刀位點(diǎn)處的速度被稱為PVT入口參數(shù)，入口參數(shù)計(jì)算方法的好壞直接影響PVT插補(bǔ)的精度。常用的入口參數(shù)生成法有面積法、恒速法、三點(diǎn)法等［1］，下面簡單介紹面積法與三點(diǎn)法。

圖8　PVT插補(bǔ)示意圖

Fig.8Schematic diagram of PVT interpolation

（1）面積法。引入比例系數(shù)c代表插補(bǔ)周期中速度變化的趨勢，每個(gè)刀位點(diǎn)的速度可由下式算出：

式中，c∈［0，1］；Δtk=tk+1-tk，為指定的第k個(gè)刀位點(diǎn)和第k+1個(gè)刀位點(diǎn)之間的時(shí)間間隔；設(shè)初始刀位點(diǎn)速度v0=0。

（2）三點(diǎn)法。相鄰三個(gè)刀位點(diǎn)的位置和時(shí)間為（pk-1，tk-1）、（pk，tk）和（pk+1，tk+1），設(shè)初始點(diǎn)和最終點(diǎn)的速度為0，可由下式計(jì)算第k個(gè)刀位點(diǎn)的速度vk：

上述兩種算法都可以方便地計(jì)算出每個(gè)刀位點(diǎn)處的速度，滿足加工需要，但只能保證速度連續(xù)，并不能保證加速度也連續(xù)，故用該兩種算法計(jì)算出來的插值曲線誤差較大，且不夠光滑。

區(qū)間［xi-1，xi］上的三次插值多項(xiàng)式如下［10］：

式中，i為插值節(jié)點(diǎn)的代號(hào)，i=1，2，…，n，插值節(jié)點(diǎn)的總數(shù)為 n+1；mi為 xi點(diǎn)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值；fi為xi點(diǎn)的函數(shù)值。

PVT插補(bǔ)的實(shí)質(zhì)就是區(qū)間［xi-1，xi］上的分段三次Hermite插值公式，因此當(dāng)多項(xiàng)式（6）滿足

時(shí)，就可進(jìn)行Hermite插值，保證速度連續(xù)。

當(dāng)需要插值方法保證速度與加速度的連續(xù)時(shí)，多項(xiàng)式（6）需滿足以下條件：

通過使用待定系數(shù)法分別待定一階系數(shù)或二階系數(shù)，即可求得對應(yīng)的插值函數(shù)。這里令二階系數(shù)為待定系數(shù)，即令S''(xi)=Mi，求解插值節(jié)點(diǎn)速度值，該方法稱為三彎矩法。

根據(jù)S''(x)在區(qū)間［xi-1，xi］上是一個(gè)線性函數(shù)的特點(diǎn)，令hi=xi-xi-1，可得

對式（9）積分兩次，并利用S(xi-1)=f(xi-1)和S(xi)=f(xi)，確定其中的兩個(gè)積分常數(shù)，即可得出用Mi表示的三次樣條插值函數(shù)：

利用S'(x)在節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,…,n-1)處連續(xù)的條件，即

建立方程式，對式（11）兩邊關(guān)于x求導(dǎo)一次，并整理可得

引入邊界條件，令

該矩陣為三對角矩陣，利用追趕法可快速求解出該n-1個(gè)方程，最終得到插值節(jié)點(diǎn)速度。

2　環(huán)曲面加工的仿真分析

環(huán)曲面的方程可以表示為［9］

正交弧半徑R和基弧半徑a決定其曲面面型，r和θ為極坐標(biāo)下曲面上某一點(diǎn)的極徑和極角，z為該點(diǎn)的矢高。在MATLAB中對前文所述的環(huán)曲面方程、刀觸點(diǎn)離散方法、刀具補(bǔ)償與刀位點(diǎn)插值進(jìn)行編程，然后使用表1中的參數(shù)進(jìn)行仿真分析。

表1　環(huán)曲面刀具路徑仿真參數(shù)表Tab.1　Parameters used in tool path simulation of toric surface

將表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（15），利用MATLAB軟件編程，可得環(huán)曲面的理論面型，見圖9。

圖9　仿真環(huán)曲面的理論面型示意圖Fig.9　Theoretical surface of toric surface used in simulation

對不同刀觸點(diǎn)離散方法的相鄰刀觸點(diǎn)Z向距離和離散誤差進(jìn)行仿真分析，結(jié)果見圖10。對于相鄰刀觸點(diǎn)，等弧長離散的最大Z向距離小于等角度離散的最大Z向距離，通過設(shè)定最大允許Z向距離，相鄰點(diǎn)間Z向距離曲線的峰底值由等角度離散的0.1 mm減小至綜合離散后的0.04 mm，曲線變化更加平緩，有利于減小刀具Z向運(yùn)動(dòng)的加速度，從而降低Z向運(yùn)動(dòng)對加工的影響。從圖10中可以發(fā)現(xiàn)：在等角度離散方法中，外圈的相鄰離散點(diǎn)之間距離較遠(yuǎn)，導(dǎo)致離散誤差較大，隨著離散點(diǎn)逐漸靠近工件中心，離散誤差相應(yīng)減小；在等弧長離散中，相鄰刀觸點(diǎn)之間的弧長相等，導(dǎo)致外圈的離散誤差分布較為均勻，在工件中心附件，由于離散半徑變小，相同的離散弧長對應(yīng)的離散角會(huì)顯著增大，離散誤差因此增大；綜合離散中外圈采用等弧長離散，內(nèi)圈采用等角度離散，整體離散誤差較小，并且離散誤差分布較均勻。

圖11為環(huán)曲面最外兩圈的X軸軌跡圖，可以看出：若采用Z向補(bǔ)償，則所有的補(bǔ)償集中在Z軸上，X軸做勻速運(yùn)動(dòng)，其軌跡為一條斜直線；若采用法向補(bǔ)償，刀具在X向有微小的補(bǔ)償量，則X軸的軌跡有小幅度的往復(fù)偏擺運(yùn)動(dòng)，這種偏擺運(yùn)動(dòng)使X軸一直處在不停的加減速過程中，增大了跟蹤誤差，影響環(huán)曲面加工的面型精度。

圖12為不同的PVT入口算法下，最外圈Z軸速度曲線圖，可以看出：采用面積法（c=1/2）時(shí)，速度曲線的波動(dòng)比較明顯，而面積法（c=2/3）、三點(diǎn)法和三彎矩法都能夠獲得較光滑的速度曲線，三彎矩法對應(yīng)的速度曲線最大幅值較小。

圖10　不同刀觸點(diǎn)離散方法Z向間距與離散誤差Fig.10　Distance in Z direction and discretization error of different cutting points discretization methods

圖11　不同刀具半徑補(bǔ)償時(shí)的X軸運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.11　The motion trajectory of X axis with using different tool radius compensation methods

圖12　不同插值算法對應(yīng)的最外圈刀位點(diǎn)Z向速度Fig.12　The Z-direction velocity of the most outer toollocation points corresponding to different interpolation algorithms

圖13　環(huán)曲面PVT插補(bǔ)不同入口參數(shù)Z軸插補(bǔ)誤差分析圖Fig.13　The error in Z-axis for the interpolation of toric surface using different interpolation methods

圖13為上文所述4種PVT入口參數(shù)生成算法的插補(bǔ)誤差分析圖，選取前1 000個(gè)刀位點(diǎn)的插補(bǔ)誤差進(jìn)行分析。由圖9可以得到各種算法的最大插補(bǔ)誤差為：面積法（c=1/2）0.35μm，面積法（c=2/3）0.25μm，三點(diǎn)法0.048μm，三彎矩法0.001 2μm。由該仿真分析結(jié)果可知，在不同的PVT入口參數(shù)生成算法中，三彎矩法的插值誤差最小，其次是三點(diǎn)法，面積法的插補(bǔ)精度較前兩者較差。

3　試驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證所提出方法的可行性，在實(shí)驗(yàn)室自主研制的金剛石車削機(jī)床上進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)，金剛石車削機(jī)床示意圖見圖14。該機(jī)床機(jī)械部分包括兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)軸X軸、Z軸以及一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸C軸，兩直線軸呈T字形分布，刀具固定在Z軸的托板上，C軸安裝在X軸的托板上。工件安裝在C軸上，通過同時(shí)控制X、Z、C三軸的運(yùn)動(dòng)即可加工出復(fù)雜曲面。

試驗(yàn)所加工曲面即為上文構(gòu)造的正交弧半徑為140 mm、基弧半徑為100 mm的環(huán)曲面，鏡片直徑D=40 mm，工件材料為聚甲基丙烯酸甲酯（polymethyl methacrylate，PMMA），刀具材料為聚晶金剛石（polycrystalline diamond，PCD），刀尖圓弧半徑 Rt=0.5 mm，前角為 0°，后角為 10°。切削時(shí)采用Z向刀具補(bǔ)償，PVT入口參數(shù)生成算法分別為面積法（c=1/2）、面積法（c=2/3）、三點(diǎn)法以及三彎矩法，切削條件為干切削。粗加工的加工工藝參數(shù)為：主軸轉(zhuǎn)速n=120 r/min，每圈進(jìn)給量af=0.025 mm/r，切削深度ap=0.02 mm，離散角Δθ=5°，離散弧長Δl=1 mm。圖15為所加工環(huán)曲面面型和刀位點(diǎn)軌跡仿真圖，為保證視圖清晰，作圖時(shí)取af=0.5 mm/r。

圖15　環(huán)曲面面型及加工刀位點(diǎn)軌跡示意圖Fig.15　The machining toric surface and tool path

圖16a為采用刀觸點(diǎn)綜合離散法和三彎矩法作為PVT入口參數(shù)生成算法時(shí)，加工出的環(huán)曲面實(shí)物圖。利用JB-4C型接觸式表面粗糙度儀測量出表面粗糙度Ra=0.095μm，見圖16b。利用MQ686型三坐標(biāo)測量儀測量實(shí)際加工面形，并與理論面形進(jìn)行比較，得出面形誤差分布圖（圖16c）。結(jié)果表明：面形誤差可以控制在0.02 mm左右。

圖16　環(huán)曲面加工結(jié)果Fig.16　Machined results of toric surface

圖17為分別采用不同刀觸點(diǎn)離散方法和刀位點(diǎn)插值算法后，加工出的環(huán)曲面的表面粗糙度。分析不同離散方法時(shí)插值方法為三彎矩法，分析不同插值算法時(shí)離散方法為綜合離散法。從圖17中可以看出，使用綜合離散法或三彎矩法加工出的工件表面粗糙度均優(yōu)于其他方法，說明上文的仿真分析結(jié)果是正確的，選擇綜合離散法與三彎矩法能夠提高環(huán)曲面加工質(zhì)量。

圖17　不同離散方法與插值算法加工環(huán)曲面的表面質(zhì)量Fig.17　The surface roughness of machined surface with different discretization methods and interpolation algorithms

4　結(jié)論

本文對環(huán)曲面金剛石切削的刀具路徑規(guī)劃進(jìn)行了研究。在刀觸點(diǎn)離散中提出設(shè)定相鄰刀觸點(diǎn)Z向距離的綜合離散方法，避免了單獨(dú)使用等角度離散與等弧長離散的缺點(diǎn)，仿真結(jié)果表明綜合離散方法能夠減小離散誤差，并且離散誤差分布較均勻。在刀位點(diǎn)插值中提出一種新的PVT插補(bǔ)入口參數(shù)生成算法，即使用三彎矩法計(jì)算PVT插補(bǔ)入口參數(shù)，實(shí)現(xiàn)插值函數(shù)二次導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，讓插值曲線更加平滑，仿真結(jié)果表明該方法能夠明顯減小插補(bǔ)誤差。試驗(yàn)結(jié)果表明，上述仿真結(jié)果是正確的，采用包括綜合離散法和三彎矩法的刀具路徑來加工環(huán)曲面能夠提高加工質(zhì)量。