張正李劍曾欽

吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，吉首，416000

0　引言

工程結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)的準(zhǔn)確快速計算對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化和反求等需要重分析的領(lǐng)域有著重要的意義，處理這類結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)問題的有效方法之一是減基法［1-3］。減基法發(fā)展較為成熟，能夠在構(gòu)建的低維減基空間中快速地在線計算結(jié)構(gòu)的靜態(tài)響應(yīng)。減基法在高效在線處理問題之前需要建立合適的減基空間，而減基空間是由對應(yīng)于采樣點(diǎn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)向量基張成的，故減基法的求解精度直接依賴于所張成的響應(yīng)向量空間（減基空間）的完備性，或者說是擴(kuò)展性，即減基空間擴(kuò)展得越完備，減基法所獲得的響應(yīng)解就越接近于有限元解。

通過在參數(shù)域中采樣構(gòu)建減基空間，較為實用的方法有拉丁超立方法［4］等，這類隨機(jī)采樣方法能夠使參數(shù)樣本點(diǎn)在參數(shù)域獲得合理的布局，但沒有考慮對應(yīng)減基空間的完備性，且缺乏相應(yīng)的評判準(zhǔn)則，較難保證所建立的減基空間具有全面的完整性。構(gòu)建減基空間還有一種常用的方法，即結(jié)合貪婪算法。該方法采用漸近誤差估計方式來構(gòu)建結(jié)構(gòu)響應(yīng)的減基空間［5-6］，但該方法以響應(yīng)輸出函數(shù)的最大誤差為準(zhǔn)則進(jìn)行樣本采集，隨著響應(yīng)輸出函數(shù)的形式發(fā)生變化，其采樣的結(jié)果也會發(fā)生變化，可以說依據(jù)不同的響應(yīng)輸出函數(shù)，采樣所形成的減基空間會表現(xiàn)得不一致，雖然在單個觀測點(diǎn)會有較好的計算表現(xiàn)，但其響應(yīng)輸出函數(shù)卻是人為規(guī)定的，帶有一定的主觀性。文獻(xiàn)［7］利用向量子空間夾角觀點(diǎn)有效刪除了減基空間中冗余的奇異基，使結(jié)構(gòu)減基計算的精度得到了提升。文獻(xiàn)［8］借助向量子空間夾角觀點(diǎn)研究了結(jié)構(gòu)模態(tài)中特征向量基空間的采樣問題，使結(jié)構(gòu)減基求解取得了相對較好的計算效果，但由于使用布置參數(shù)背景點(diǎn)的方式來選擇樣本點(diǎn)并基于此搭建對應(yīng)的減基空間，故進(jìn)一步提升計算效果的幅度相對有限。

本文提出了一種構(gòu)建結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)完備減基空間的方法，通過算例驗證了該方法的可行性和有效性。

1　減基空間的完備性分析

考慮參數(shù)化的結(jié)構(gòu)靜力平衡方程如下：

式中，K(μ)為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；u(μ)為結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)向量，u(μ)∈U；U為對應(yīng)于參數(shù)域的位移響應(yīng)向量集；F為結(jié)構(gòu)載荷向量；μ為參數(shù)向量，μ∈Ω；Ω為參數(shù)域。

在參數(shù)域采集N個參數(shù)樣本點(diǎn)，得到參數(shù)采樣點(diǎn)集合Sc,N={,,...,}，通過式（1）計算得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)向量基集合

將其寫為響應(yīng)基矩陣形式如下：

繼而針對結(jié)構(gòu)變參數(shù)μ，在N維減基空間中采用減基法計算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，可以描述為［7］

式中，αN(μ)為權(quán)系數(shù)向量；KN(μ)為N階減基剛度矩陣；FN為N階減基載荷向量；Ki為參數(shù)分離的剛度矩陣；σi(μ)為與參數(shù)相關(guān)的標(biāo)量函數(shù)，其隨著參數(shù)μ的變化而變化；BN,i和FN分別為與參數(shù)無關(guān)的N階矩陣和向量，可存儲于計算機(jī)中。

針對結(jié)構(gòu)的變參數(shù)μ，結(jié)合式（2）和式（3）可在線快速求解權(quán)系數(shù)向量αN(μ)，進(jìn)而通過下式獲得結(jié)構(gòu)的減基響應(yīng)向量解：

在線求解結(jié)構(gòu)減基響應(yīng)向量解與所采集的樣本點(diǎn)集合及其產(chǎn)生的減基空間直接相關(guān)。伴隨不同的采樣點(diǎn)集合Sc,N，對應(yīng)的響應(yīng)向量基集合Su,N發(fā)生變化，將其張成的空間稱為減基空間，并記為

故隨著采樣點(diǎn)集合Sc,N的不同，減基空間UN也不一致。由于結(jié)構(gòu)的減基響應(yīng)在線計算是在減基空間UN上進(jìn)行的，因此減基空間UN逼近位移響應(yīng)向量集U的完備度就決定了最終減基計算的精確度，而減基空間UN又完全由其響應(yīng)向量基確定，即由響應(yīng)向量基集合Su,N確定，故減基空間UN完備性的意義在于由響應(yīng)向量基集合Su,N所張成的空間幾乎能完全囊括響應(yīng)向量集U。由于減基空間UN是在采樣過程中形成的，因此為了獲得相對完備的減基空間，不但采樣過程中響應(yīng)向量基是需要逐步選擇、不斷完善的，而且最終的采樣點(diǎn)數(shù)N也是需要待定的。

將需在參數(shù)域Ω采樣的第k個參數(shù)變量記為μk，相應(yīng)的位移響應(yīng)向量記為u(μk)，在此之前由k-1個響應(yīng)向量基形成的減基空間記為Uk-1，則綜合兩者所張成的新減基空間可記為

將響應(yīng)向量u(μk)與減基空間Uk-1之間的夾角表示為θ(μk)，夾角θ(μk)代表了第k個參數(shù)變量對應(yīng)的響應(yīng)向量與k-1維減基空間的線性相關(guān)程度，且其恒為非負(fù)值，夾角θ(μk)的值越大代表兩者差異的程度越高，進(jìn)而形成的新的k維減基空間U(μk)就越完備，為此產(chǎn)生一個在參數(shù)域搜尋對應(yīng)最大夾角量值的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，表示為

借助于式（7）或式（8）所示的優(yōu)化模型，選擇合適的優(yōu)化算法確定相應(yīng)的第k個采樣參數(shù)樣本點(diǎn)為

腹膜反折懸吊方法為手術(shù)提供了較好的手術(shù)視野，便于手術(shù)操作，15例患者后腹腔鏡下腎部分切除術(shù)均順利完成。圍手術(shù)期資料見表1，平均手術(shù)時間為（88.9±24.5）min，平均腎熱缺血時間為（21.4±4.6）min，平均術(shù)中出血量為（72.0±16.6）mL，平均術(shù)后住院時間為（6.9±1.2）d，術(shù)中、術(shù)后均未輸血，均未發(fā)生任何重大手術(shù)并發(fā)癥。

其中，函數(shù)arg（·）表示優(yōu)化過程中最大函數(shù)值所對應(yīng)的變量值。相應(yīng)的k維減基空間為

值得注意的是，式（8）和式（10）所示的過程是在k-1維減基空間條件下確定第k個采樣參數(shù)的列式，而確定第k+1個采樣參數(shù)和相應(yīng)的k+1維減基空間類似上述過程，依次而進(jìn)，可以逐步獲得趨于完備的減基空間。

在工程計算中，可根據(jù)實際精度要求將整個參數(shù)域的采樣夾角閾限設(shè)定為θtol，進(jìn)而確定采樣過程的終止條件。如果據(jù)式（7）或式（8）在搜尋第k個采樣參數(shù)向量的過程中，整個參數(shù)域的最大夾角量值小于或等于采樣夾角閾限，即θ(μ*k)≤θtol，而在此之前搜尋第k-1個采樣參數(shù)向量的過程中，整個參數(shù)域的最大夾角量值大于采樣夾角閾限，即θ(μ*k-1)＞ θtol，則可終止構(gòu)建減基空間的采樣過程，而最終的采樣點(diǎn)數(shù)為N=k。

2　完備減基空間的構(gòu)建

通過上述分析可知，本文所提的減基空間構(gòu)建方法可以描述為如圖1所示的計算流程。

圖1　減基空間的構(gòu)建流程圖Fig.1　The construction flow chart of reduced basis space

在圖1所展示的減基空間構(gòu)建流程中，每個模塊的計算過程具體描述如下：

（1）采樣點(diǎn)初始化。在參數(shù)域隨機(jī)采取m（m＞1）個參數(shù)樣本點(diǎn)，設(shè)置k=m+1，則k-1=m，形成初始參數(shù)樣本點(diǎn)集合Sc,k-1及據(jù)式（1）形成位移響應(yīng)向量基集合Su,k-1，且設(shè)定采樣夾角閾限θtol。

（2）采樣優(yōu)化過程。據(jù)式（8）所示的優(yōu)化模型及式（10），選擇合適的優(yōu)化算法獲得第k個參數(shù)樣本點(diǎn)以及與其對應(yīng)的結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)u()。

（3）采樣判別過程。據(jù)向量空間夾角含義，如果響應(yīng)向量u()與減基空間Uk-1之間的夾角值θ(＞ θtol，則需繼續(xù)采樣，進(jìn)行步驟（4），否則跳轉(zhuǎn)至步驟（5）。

（5）采樣輸出結(jié)果。獲得最終的采樣點(diǎn)數(shù)N=k及其對應(yīng)的位移響應(yīng)向量基集合Su,N，進(jìn)而形成減基空間中的響應(yīng)基矩陣ZN，停止采樣算法。

3　實例分析

考慮如圖2所示的平面應(yīng)力結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)尺寸：l=1.6 m，w=0.5 m，厚度為0.02 m。結(jié)構(gòu)的兩端固定，施加豎直向下的載荷f1=f2=f3=1 MN。定義結(jié)構(gòu)的變參數(shù)向量為 μ≡(E,ν)∈Ω,Ω=(10,250)×(0.1,0.3)，其中，E為彈性模量（GPa），ν為泊松比。將此結(jié)構(gòu)用三角形單元離散，形成2 066個自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

圖2　平面應(yīng)力結(jié)構(gòu)算例Fig.2　The example of plane stress structure

針對該結(jié)構(gòu)算例，在參數(shù)域Ω隨機(jī)采樣2個樣本點(diǎn)，據(jù)式（1）求解其對應(yīng)的有限元位移響應(yīng)解，形成初始參數(shù)樣本點(diǎn)集合Sc,2及位移響應(yīng)向量基集合Su,2，且設(shè)定采樣夾角閾限θtol=10-6。據(jù)式（8）和式（10）形成搜尋第k（k=3）個參數(shù)樣本點(diǎn)的優(yōu)化列式，為

據(jù)圖1所示的減基空間構(gòu)建流程，利用遺傳算法［9］并依據(jù)式（12）和式（13）所示的優(yōu)化列式，在參數(shù)域Ω搜索獲得第3個參數(shù)樣本點(diǎn)，同時利用式（1）計算對應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)解u()。在使用遺傳算法搜索、采樣第3個參數(shù)樣本點(diǎn)時，將遺傳算法的種群個體數(shù)設(shè)為30，最大迭代數(shù)置為90，其他條件定為默認(rèn)值，算法搜索迭代的過程如圖3所示。圖3所示迭代過程最終獲得的最大夾角值為θ(=5.218 37×10-4，由于其大于初始設(shè)定的采樣夾角閾限θtol=10-6，故而將參數(shù)樣本點(diǎn)加入集合Sc,2形成新的采樣點(diǎn)集合Sc,3，并將對應(yīng)的u(μ3*)加入集合Su,2形成新的位移響應(yīng)向量基集合Su,3。

將k的值增加1，且保持已設(shè)置的遺傳算法條件不變，使用算法繼續(xù)搜索采樣第k（k=4）個參數(shù)樣本點(diǎn)μ*4以及計算其對應(yīng)的位移響應(yīng)u()。遺傳算法搜索采樣第4個和第5個參數(shù)樣本點(diǎn)的進(jìn)程與搜索采樣第3個參數(shù)樣本點(diǎn)的迭代過程類似，相應(yīng)的遺傳算法搜索過程如圖4和圖5所示。需要注意的是，隨著選取初始參數(shù)點(diǎn)的不同以及遺傳算法本身迭代的隨機(jī)性，每次利用遺傳算法搜索采樣參數(shù)樣本點(diǎn)的迭代過程也會有所不同。由圖4和圖5可以看出，算法進(jìn)行到搜索采樣第5個參數(shù)樣本點(diǎn)時，最大夾角量值為θ()=2.678 21×10-7，小于初始設(shè)定的采樣夾角閾限θtol=10-6；而算法搜索到的第4個參數(shù)樣本點(diǎn)時，所對應(yīng)的最大夾角值為θ(μ*4)=2.700 54×10-6，該值大于采樣夾角閾限θtol=10-6。由此，當(dāng)采樣算法進(jìn)行到采集第5個參數(shù)樣本點(diǎn)時就會滿足所設(shè)定的終止條件，最終據(jù)此獲得的這5個參數(shù)樣本點(diǎn)對應(yīng)的減基空間與參數(shù)域中任一參數(shù)所對應(yīng)的位移響應(yīng)之間的夾角均小于θtol（θtol=10-6）。從工程實踐的角度來審視，由此采樣算法生成的減基空間已近乎完全覆蓋結(jié)構(gòu)參數(shù)域所對應(yīng)的位移向量解集。

圖3　遺傳算法搜索第3個參數(shù)樣本點(diǎn)的迭代過程Fig.3　The iteration process of genetic algorithm for searching the third parameter sample point

圖4　遺傳算法搜索第4個參數(shù)樣本點(diǎn)的迭代過程Fig.4　The iteration process of genetic algorithm for searching the fourth parameter sample point

圖5　遺傳算法搜索第5個參數(shù)樣本點(diǎn)的迭代過程Fig.5　The iteration process of genetic algorithm for searching the fifth parameter sample point

將圖2中結(jié)構(gòu)的O點(diǎn)作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的輸出觀察點(diǎn)，相應(yīng)于變參數(shù)向量μ∈Ω，將μ豎直向下的有限元位移響應(yīng)記為yO(μ)，N個基條件下的減基法位移響應(yīng)記為yNO(μ)。在參數(shù)域Ω隨機(jī)采集nc=200個參數(shù)點(diǎn)作為參數(shù)測試點(diǎn)Tc={μ1,μ2,...,μ200}，利用有限元法計算這些參數(shù)測試點(diǎn)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)整體位移響應(yīng)u(μ)(μ∈Τc)和結(jié)構(gòu)O點(diǎn)處響應(yīng)yO(μ)(μ∈Tc)。同時，利用減基法在上述采樣響應(yīng)基所構(gòu)建的減基空間中依次計算這些參數(shù)測試點(diǎn)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)整體位移響應(yīng)=3,4,5(μ)(μ∈Τc)和 結(jié) 構(gòu)O點(diǎn) 處 響 應(yīng)=3,4,5)(μ)(μ∈Tc)。將由有限元法與在不同減基空間中由減基法獲得的計算結(jié)果進(jìn)行比較，并定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)的整體平均相對誤差為

相應(yīng)的平均相對誤差對數(shù)圖見圖6。

圖6　不同基數(shù)的減基空間中結(jié)構(gòu)響應(yīng)的平均相對誤差Fig.6　The average relative error of structural response in the base space with different dimension

從圖6可以看出，減基法計算結(jié)果的整體和局部平均相對誤差均隨著采樣基數(shù)的增加呈現(xiàn)對數(shù)性態(tài)式的快速下降，最終產(chǎn)生的整體和局部平均相對誤差也均在10-9量級左右，說明本文方法具有樣本采集的精準(zhǔn)性，能夠逐步構(gòu)建出完備的減基空間，并且有著極佳的計算收斂效果。同時也應(yīng)注意，使用減基法結(jié)合本文方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算時，其求解誤差不但與工程設(shè)定的夾角閾限有關(guān)，也與計算機(jī)的實際字長有關(guān)，換言之，子空間的夾角閾值與計算機(jī)的有限字長共同決定了減基計算的精確度。

4　結(jié)論

本文從向量子空間夾角的觀念出發(fā)，針對結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)的減基計算過程，提出一種既能分析減基空間完備性又能構(gòu)建完備減基空間的采樣方法。該方法能夠精準(zhǔn)地選擇減基空間的完備基，可以避免奇異基的出現(xiàn)，并且其構(gòu)建過程與初始參數(shù)樣本點(diǎn)的選擇無關(guān)。該方法構(gòu)建減基空間的過程是收斂的，而且由其產(chǎn)生的減基法計算誤差也是收斂的，從而保障了減基法分析結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)的計算可靠性。文中算例驗證了該方法的有效性。