◎趙艷芳

(安徽省淮南第一中學(xué)，安徽　淮南　232001)

當(dāng)前，很多高中生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，思維非常機(jī)械，能動(dòng)性低，缺乏數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維，雖然平時(shí)花了很多時(shí)間，但是由于效率過(guò)低，往往達(dá)不到預(yù)期的效果.究其原因，是因?yàn)檫@些高中生在解題時(shí)沒(méi)有形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想，思維模式僵化，解題時(shí)思維過(guò)于狹窄，往往是為了做題而做題，不能觸類旁通，舉一反三.因此，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用非常重要.高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是非常重要的基礎(chǔ)學(xué)科.數(shù)學(xué)的主要功能就是用來(lái)刻畫(huà)我們現(xiàn)實(shí)生活中事物之間的數(shù)量關(guān)系以及空間分布形式，也就是所謂的“數(shù)”與“形”，而且“數(shù)”與“形”之間不是孤立的，而是相互聯(lián)系，相輔相成，有密切的關(guān)系.在數(shù)學(xué)解題中，如果能夠?qū)ⅰ皵?shù)”與“形”兩者有效結(jié)合起來(lái)，往往可以讓人眼前一亮，茅塞頓開(kāi)，顯著降低解題的難度，大大提高解題的效率.下面我們以例1簡(jiǎn)單地介紹一下數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

從例1的解題過(guò)程可以充分表明，數(shù)與形之間存在著密切的聯(lián)系，很多代數(shù)問(wèn)題若能轉(zhuǎn)化成圖形，則思路和方法可以從圖形中直觀地顯示出來(lái).通過(guò)觀察數(shù)與形之間的關(guān)系，非常直觀，一目了然，很快會(huì)找到解題方法.

二、函數(shù)與方程思想

跟數(shù)形結(jié)合思想一樣，函數(shù)與方程思想也是高中數(shù)學(xué)解題中的一大重要數(shù)學(xué)思想，這種思想在歷年的高考試題中也都有體現(xiàn).這種思想的精髓在于，利用函數(shù)分析數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析解決問(wèn)題；再通過(guò)構(gòu)造方程，運(yùn)用方程的性質(zhì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，分析問(wèn)題，最終解決問(wèn)題，體現(xiàn)了函數(shù)思想與方程的思想的珠聯(lián)璧合，展現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)解題中，有很多函數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解，而很多方程問(wèn)題同樣也可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)求解.下面的例子就體現(xiàn)了這種思想.

原題轉(zhuǎn)化為：m(x-2)+(x-2)2>0恒成立，為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要).

當(dāng)x=2時(shí)，不等式不成立.

函數(shù)與方程思想利用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而獲得解題方法的一種思維方式，是一種很重要的數(shù)學(xué)思想.利用該思想來(lái)解決一些比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)使人有一種“撥開(kāi)云霧見(jiàn)太陽(yáng)”的感覺(jué)，事半功倍.

三、分類討論思想

分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)解題中也得到了廣泛的運(yùn)用，它指的是在解題時(shí)必須要考慮到研究對(duì)象的性質(zhì)差異，要根據(jù)不同的情況將研究對(duì)象分類分析，從而最終解決問(wèn)題.分類討論思想根據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的“物以類聚”這一特點(diǎn)，在解題時(shí)，要依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為不同種類分別進(jìn)行研究和求解，本質(zhì)上是一種化整為零、化繁為簡(jiǎn)、分別對(duì)待、各個(gè)擊破的思維策略在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

解析∵a2+b2=1，∴a2=1-b2，b2=1-a2.

∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0.

(1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，

=a|a|+b|b|=a2+b2=1.

(2)當(dāng)a<0，b<0時(shí)，

原式=a|a|+b|b|=-a2-b2=-1.

即原式的值為1或-1.

從上面的例題我們可以看到，分類討論思想根據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況來(lái)分析解決問(wèn)題，具有較強(qiáng)的邏輯性和很強(qiáng)的綜合性，所以，在使用分類討論思想解題的時(shí)候，應(yīng)該注重理解和掌握分類的原則、方法和技巧，力求做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”

以上三種數(shù)學(xué)思想可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)解題中的最重要的幾種思想.教師應(yīng)該加強(qiáng)滲透這幾種數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些進(jìn)行反復(fù)的學(xué)習(xí)、思考、領(lǐng)悟.數(shù)學(xué)思想把千絲萬(wàn)縷的數(shù)學(xué)知識(shí)編織在一起，真正領(lǐng)悟這些數(shù)學(xué)思想也需要一個(gè)過(guò)程，在此期間教師應(yīng)該積極的引導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，避免學(xué)生機(jī)械的模仿和生搬硬套，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生能動(dòng)的、創(chuàng)造性的進(jìn)行學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的精髓，在解題時(shí)真正能夠達(dá)到“心有靈犀一點(diǎn)通”.