◎唐海軍

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川　達(dá)州　635000)

在數(shù)學(xué)課堂中，習(xí)題常常被誤以為只是理解新知識(shí)的鞏固性、一次性材料.在學(xué)生糾錯(cuò)之后，一道道習(xí)題便完成了使命，至于習(xí)題的“評(píng)價(jià)作用、總結(jié)作用、教育作用、文化熏陶”[1]等功能全然沒有發(fā)揮出來.陳希孺院士曾經(jīng)說：“學(xué)好數(shù)學(xué)重在多做習(xí)題.”[2]習(xí)題也應(yīng)該是一種地位等同于教材正文一般重要的學(xué)習(xí)材料.習(xí)題也需要學(xué)生課前自主預(yù)習(xí)，課后鞏固復(fù)習(xí).下面通過“圓錐曲線與方程”一章幾個(gè)例題來說明學(xué)生在自學(xué)教材習(xí)題時(shí)，應(yīng)該多注意所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，最終達(dá)到自學(xué)教材，解決習(xí)題的目的.

一、由命題推導(dǎo)中獲得的結(jié)論解決習(xí)題問題

①

若對(duì)該等式進(jìn)行不同的等價(jià)變形，可得到不同的結(jié)論.

對(duì)①式，人教版教材的處理方法是：上式兩邊再平方，整理，并令a2-c2=b2(b>0)，就得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版(簡(jiǎn)稱“課標(biāo)版”，下同)數(shù)學(xué)選修2-1上的這種兩次平方法推導(dǎo)，在19世紀(jì)以前沒有一位數(shù)學(xué)家采用，直至英國(guó)數(shù)學(xué)家薩爾蒙(1819—1904)在1855年才開始使用.隨后英國(guó)數(shù)學(xué)家卡西(1820—1891)、美國(guó)數(shù)學(xué)家紐庫姆(1835—1909)相繼采用.而到了20世紀(jì)，在各國(guó)應(yīng)用橢圓第一定義的教材中，推導(dǎo)時(shí)幾乎都用了此法.究其原因，兩次平方法雖然比較繁復(fù)，但卻具有通性通法，即介紹了如何化簡(jiǎn)含有兩個(gè)根式的一般方法.正是基于這樣的優(yōu)點(diǎn)，我國(guó)教材也一直采用該法.[3]

對(duì)①式處理方法二：兩邊同除以a，有

②

這自然獲得了橢圓的第二定義.

例1(課標(biāo)版選修2-1，第二章圓錐曲線的復(fù)習(xí)參考題B組-3題)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)M的軌跡.

二、由例題研究到習(xí)題自學(xué)

教材例題是教材的重要組成部分，一般具有典型方法的示范性.“例題或寓有一般結(jié)論，或者蘊(yùn)含深刻的背景材料.”[4]學(xué)生對(duì)習(xí)題的自學(xué)可以嘗試從例題與習(xí)題的聯(lián)系入手.

例2(課標(biāo)版選修2-1，2.4節(jié)例4)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A，B，求線段AB的長(zhǎng)度.

解易知拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB的方程為y=x-1，將其代入拋物線方程y2=4x中，得x2-6x+1=0.從而xA+xB=6.

再由|AB|=|x1+x2+p|，得線段AB的長(zhǎng)度為8.

例3(課標(biāo)版選修2-1，習(xí)題2.4，A組-5題)M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=60°，求|MF|.

三、由教材探究例到習(xí)題自學(xué)

為體現(xiàn)課標(biāo)關(guān)于學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的理念，教材編寫中設(shè)置了相當(dāng)數(shù)量、主題豐富的探究式欄目.對(duì)這些探究題的學(xué)習(xí)，有利于拓展知識(shí)面與知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善.

當(dāng)m>0時(shí)，M軌跡為雙曲線；當(dāng)m<0且m≠-1時(shí)，M軌跡為橢圓；當(dāng)m=-1時(shí)，M軌跡為圓.從而得出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率之積是常數(shù)k的動(dòng)點(diǎn)的軌跡也可能是橢圓.[5]此結(jié)論，可用來解決習(xí)題，如課標(biāo)版選修2-1中的第二章圓錐曲線的復(fù)習(xí)參考題A組-10題：已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于m，試探求頂點(diǎn)C的軌跡.

四、由練習(xí)題目類比解決新習(xí)題

鄭毓信教授認(rèn)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，不能理解成各個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)單言之，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)“不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”.為了幫助學(xué)生很好地掌握數(shù)學(xué)基本技能，數(shù)學(xué)的解題“不應(yīng)求全，而應(yīng)求變”.[6]數(shù)學(xué)教師在布置習(xí)題時(shí)，不應(yīng)滿足于簡(jiǎn)單的重復(fù)，而應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在各種變化的條件下對(duì)各個(gè)基本技能的辨認(rèn)和應(yīng)用.

對(duì)①式處理方法三：兩邊同除以a，有

當(dāng)c>0，則|MF2|=a-ex；當(dāng)c<0，則|MF1|=a+ex.稱它們?yōu)闄E圓的焦半徑公式.

常言道：“授之以魚，不如授之以漁.”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)原理與此相同.習(xí)題解答如果僅僅停留在一題一練，也只是滿足各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的釋義，個(gè)別方法的應(yīng)用，至多算是“授之以漁具”.習(xí)題課的教學(xué)要“充分發(fā)揮教材習(xí)題的優(yōu)勢(shì)，加強(qiáng)習(xí)題聯(lián)系，重視變式訓(xùn)練”[7].指引學(xué)生自學(xué)習(xí)題，要從尋找習(xí)題與數(shù)學(xué)定義、習(xí)題與例題、習(xí)題與探究、習(xí)題與習(xí)題等方面的聯(lián)系入手來探尋“捕魚之道”，從而逐步增強(qiáng)高中生自主學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)的能力，達(dá)到高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求，實(shí)現(xiàn)舉一反三、觸類旁通的效果.