◎王　堅(jiān)

(昆明市第十二中學(xué)，云南　昆明　650041)

該題是一個(gè)集直線與圓錐曲線位置關(guān)系、點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系、中點(diǎn)弦、方程與不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)于一體的典型案例.《數(shù)學(xué)考試說(shuō)明》告訴我們：在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處、思想方法的交匯線和能力層次的交叉區(qū)設(shè)置問(wèn)題.

法一點(diǎn)差法(涉及中點(diǎn)問(wèn)題，是應(yīng)該想到的常規(guī)方法，重點(diǎn)講解).

解設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，代入橢圓方程后作差，得

①

由點(diǎn)M(x0，y0)在直線l：y=4x+m上，得y0=4x0+m(點(diǎn)在直線上).

②

由①②解得x0=-m，y0=-3m.

因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在橢圓的內(nèi)部，

分析兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)(對(duì)稱(chēng)的特征：垂直與平分——斜率和中點(diǎn)).

法二韋達(dá)定理法(涉及直線與圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)想到的方法，重點(diǎn)講解).

解橢圓上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y=4x+m對(duì)稱(chēng).

則直線AB與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

Δ=-192(4b2-13)>0(存在，小心會(huì)漏掉)，

①

(僅有這兩點(diǎn)還不夠，因?yàn)樽钊菀壮雎┒吹氖牵罕ＷC存在.)

法三平行弦中點(diǎn)軌跡法(類(lèi)似于點(diǎn)差法，這種方法很特殊，很難想到，可以講解，不做重點(diǎn)要求).

又y0=3x0，