張治才

數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“當(dāng)學(xué)生把所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘記的時(shí)候，留在學(xué)生腦海深處的就是學(xué)生真正內(nèi)化的數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西?！惫P者認(rèn)為，好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該充分滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，能夠在學(xué)生腦海中留下更多的數(shù)學(xué)本質(zhì)的烙印，為學(xué)生的終身發(fā)展服務(wù)。筆者把這樣的數(shù)學(xué)課堂稱為充滿數(shù)學(xué)韻味的課堂。

如何讓數(shù)學(xué)課堂充滿數(shù)學(xué)韻味呢？用好教材是關(guān)鍵。在教學(xué)過程中，要真正做到“用教材教”，而不是“教教材”。這就需要數(shù)學(xué)教師吃透數(shù)學(xué)教材，從課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教材本身的角度挖掘教材的深意，把教材中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法以合理的形式呈現(xiàn)出來，把教材中所隱含的前后聯(lián)系用符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的方式在課堂中展現(xiàn)出來，把教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題的研究思路挖掘出來。下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，例談如何挖掘教材深意，營(yíng)造課堂韻味。

一、領(lǐng)會(huì)教材編寫意圖，讓數(shù)學(xué)課堂充滿數(shù)學(xué)化的韻味

教材的每一章、每一節(jié)，甚至每一句話，都有特定的意圖，只有充分領(lǐng)會(huì)教材編寫的意圖，才能創(chuàng)造性地使用教材，把教材中隱含的數(shù)學(xué)思想挖掘出來，并在教學(xué)過程中合理地組織教學(xué)，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)課堂充滿數(shù)學(xué)化的韻味。

教材中有的內(nèi)容看似很簡(jiǎn)單，很多教師甚至認(rèn)為可有可無，好像不教學(xué)生也會(huì)，即使在課堂上進(jìn)行教學(xué)，也是十幾分鐘就講完了。事實(shí)上，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因在于，教師沒有深層次地領(lǐng)會(huì)教材編寫的意圖，沒能把教材背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來，這樣的教學(xué)必定會(huì)丟失該節(jié)內(nèi)容本應(yīng)有的數(shù)學(xué)育人價(jià)值。

案例1：蘇教版高中數(shù)學(xué)教材《必修3》第二章第一節(jié)“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”，這節(jié)內(nèi)容在很多教師看來非常簡(jiǎn)單，在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，往往草草了事，導(dǎo)致很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)教育元素丟失。筆者在一次市評(píng)優(yōu)課的教學(xué)過程中，對(duì)知識(shí)的生成部分進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。

1.問題情境

情境一：2013年度，湖南衛(wèi)視的收視率居地方衛(wèi)視的榜首，得出收視率需要調(diào)查全中國所有電視用戶嗎？

情境二：為應(yīng)對(duì)釣魚島局勢(shì)，提升國防力量，某軍工廠生產(chǎn)了一批炸彈，需要檢測(cè)這批炸彈的威力，有什么好的辦法？

2.數(shù)學(xué)探究

探究一：如何科學(xué)地抽樣？

實(shí)例：為了提升學(xué)校辦學(xué)水平，需要從班級(jí)所有同學(xué)中隨機(jī)抽取10名同學(xué)進(jìn)行民意調(diào)查，應(yīng)如何抽??？

（1）討論：學(xué)生討論具體的抽取辦法和步驟。

（2）交流：學(xué)生代表回答討論結(jié)果，請(qǐng)其他同學(xué)補(bǔ)充、完善。

（3）一般化：將剛才的問題一般化，歸納出用抽簽法從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為k的樣本的一般步驟：

①將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；

②將這N個(gè)號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上；

③將號(hào)簽放在同一個(gè)箱子中，并搖一搖；

④每次從箱中抽出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽出k次；

⑤將總體中與抽到的號(hào)簽編號(hào)一致的k個(gè)個(gè)體取出。

探究二：如何對(duì)抽簽法進(jìn)行改進(jìn)，以彌補(bǔ)其不足？

（1）抽簽的本質(zhì)是什么？

隨機(jī)地抽出一組數(shù)。

（2）對(duì)比抽簽法的步驟，用隨機(jī)數(shù)表法解決上述實(shí)例。

（3）歸納出隨機(jī)數(shù)表法的一般步驟：

①對(duì)總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)（每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致）。

②在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始。

③從選定的數(shù)開始按一定方向讀下去，若得到的號(hào)碼在編號(hào)中，則取出；若得到的號(hào)碼不在編號(hào)中或前面已經(jīng)取出，則跳過。如此繼續(xù)下去，直到取滿為止。

④根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本。

（4）引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中隨機(jī)數(shù)表的制作方法，從中體會(huì)運(yùn)用隨機(jī)數(shù)表法抽樣的合理性。

探究三：抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法有哪些共同特征？

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法的步驟，歸納出兩種方法的共同點(diǎn)：個(gè)體數(shù)有限、逐個(gè)抽取、不放回地抽取、每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同。在此基礎(chǔ)上，得出簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念。

設(shè)計(jì)說明：本節(jié)課設(shè)計(jì)的總體思路是從問題情境一、二中感受抽樣統(tǒng)計(jì)的重要性和必要性，引出如何科學(xué)抽樣；通過具體實(shí)例探究科學(xué)抽樣的方法—抽簽法，反思抽簽法的不足；探究如何改進(jìn)抽簽法，彌補(bǔ)抽簽法的不足；探究隨機(jī)數(shù)表法；歸納兩種抽樣方法的共同點(diǎn)，得出簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念。

本節(jié)內(nèi)容有兩條線索，一條主線，即從生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化得到抽簽法，再從抽簽法進(jìn)一步數(shù)學(xué)化，得到隨機(jī)數(shù)表法。兩種方法有著非常強(qiáng)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，隨機(jī)數(shù)表法是對(duì)抽簽法的優(yōu)化，讓學(xué)生體會(huì)兩次數(shù)學(xué)化的過程是本節(jié)課的核心。另一條暗線隱藏在教學(xué)活動(dòng)中，那就是不斷提出問題、解決問題，再不斷提出新問題的過程，這正符合數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程。

在案例一中，一節(jié)看似簡(jiǎn)單的課，當(dāng)我們充分挖掘教材編寫意圖，把教材中隱含的數(shù)學(xué)思想即兩次數(shù)學(xué)化的過程進(jìn)行充分地挖掘，這種充滿數(shù)學(xué)化韻味的課堂對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展很有益。

二、深挖章頭引言含義，讓數(shù)學(xué)課堂充滿探究的韻味

教材的每一章都有章頭引言，章頭引言要么在內(nèi)容上起到統(tǒng)領(lǐng)全章的作用，要么在問題上是全章的核心問題，提出了研究這一章內(nèi)容的必要性。在教學(xué)過程中，深挖章頭引言的含義，并在課堂教學(xué)中合理地用好章頭引言，可以讓數(shù)學(xué)課堂充滿探究的韻味。

案例2：蘇教版高中數(shù)學(xué)教材《必修4》中的“三角函數(shù)”一章，章頭引言提出生活中有很多“按照一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，比方說摩天輪問題，把生活中的現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)問題：如何用數(shù)學(xué)模型來刻畫點(diǎn)p在圓周上周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)？

這是全章的核心問題，全章都圍繞著這個(gè)問題展開。為了找到刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，首先解決了如何去刻畫圓周上點(diǎn)的位置，可以建立直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)p用直角坐標(biāo)p（x，y）來表示，也可以以水平方向?yàn)閰⒄辗较?，把點(diǎn)p用（r，a）或者（r，l）來表示。圍繞著如何用數(shù)學(xué)模型來刻畫點(diǎn)p在圓周上周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，自然就有了如下的幾個(gè)問題：

（1）當(dāng)點(diǎn)p周而復(fù)始地運(yùn)動(dòng)時(shí)，角a如何刻畫？

（2）r、l、a之間有怎樣的聯(lián)系？

（3）x、y、r、a之間有怎樣的關(guān)系？

（4）刻畫p點(diǎn)在圓周上周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型到底是什么數(shù)學(xué)模型？這樣的數(shù)學(xué)模型是什么時(shí)候建立起來的？

（5）這樣的數(shù)學(xué)模型是如何刻畫點(diǎn)p在圓周上周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)的？

（6）這樣的數(shù)學(xué)模型具有怎樣的性質(zhì)？

在教學(xué)中，教師應(yīng)充分運(yùn)用章頭引言，合理自然地引導(dǎo)學(xué)生提出上述問題，并探究解決上述問題。在探究的過程中，問題（1）引出了任意角的概念，問題（2）引出了弧度制，問題（3）引出了合理定義任意角的三角函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容，問題（4）讓學(xué)生理解三角函數(shù)是函數(shù)，它是刻畫生活中周而復(fù)始的現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，問題（5）（6）引出了三角函數(shù)的周期性和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)這兩節(jié)的內(nèi)容。

由此可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，深度挖掘章頭引言，可以讓全章的數(shù)學(xué)內(nèi)容更具有知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。圍繞著知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，合理組織探究活動(dòng)，可以讓數(shù)學(xué)課堂充滿探究的韻味。在數(shù)學(xué)探究的過程中，主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有較好的促進(jìn)作用。

三、用好教材所列素材，讓數(shù)學(xué)課堂充滿理性的韻味

為了達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教材在編寫的過程中，每節(jié)內(nèi)容都有特定的素材。在語言的形式上，有圖形語言、文字語言、符號(hào)語言；在教材內(nèi)容的呈現(xiàn)上，有的以思考、練習(xí)、鏈接的形式呈現(xiàn)。教材中的每一個(gè)素材，都有其獨(dú)特的作用。教師應(yīng)該在準(zhǔn)確理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地使用教材中的素材，讓數(shù)學(xué)課堂充滿理性的韻味。

案例3：教學(xué)蘇教版高中數(shù)學(xué)《必修5》基本不等式這節(jié)內(nèi)容時(shí)，為了引出基本不等式學(xué)習(xí)的必要性，用不等臂天平作為這節(jié)內(nèi)容的引言，然后引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè) 與 的大小，并進(jìn)行證明，最后從圖形的角度進(jìn)行幾何解釋。

學(xué)生對(duì)基本不等式有了感性和直觀認(rèn)識(shí)以后，自然要從理性的角度思考不等式是否正確，因此，需要嚴(yán)格的理論證明。通過設(shè)置探究活動(dòng)，以小組討論的方式，探究基本不等式的證明過程，在此基礎(chǔ)上，通過師生互動(dòng)，完成三種方法的證明，再回到幾何圖形的角度理解等號(hào)成立的條件。整個(gè)知識(shí)的探究過程也是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)過程的縮影，從感性到理性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)注重了知識(shí)的生成過程，整節(jié)課充滿理性探究的韻味。

數(shù)學(xué)教材是教師教學(xué)的藍(lán)本。在教學(xué)中，需要深刻挖掘教材的內(nèi)涵，領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，合理利用教材中的素材，將隱藏在教材內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想挖掘出來，創(chuàng)造性地使用教材，方可讓數(shù)學(xué)課堂充滿數(shù)學(xué)韻味，讓數(shù)學(xué)課堂獨(dú)具魅力。