◎楊光艷　李　星　李天琪

(中國地質(zhì)大學(武漢)數(shù)學與物理學院，湖北　武漢　430074)

一、引　言

移動機器人作為機器人學中一個重要組成部分，在日常生活中逐步發(fā)揮自身優(yōu)勢，使其在人們的日常生活中變得越來越不可缺少.隨著科學技術的進步和人類日益精確的分工制度，人類已不滿足于對單一機器人的控制，而是更加傾向于對團體機器人即多機器人的跟蹤控制[1].軌跡跟蹤控制問題是非完整移動機器人在運動控制研究中的重要課題之一[2].循環(huán)追蹤策略方法首先設計模仿生物有機體的行為，如，狗、螞蟻等，他們通常被稱為“蟲類”的問題.文獻[3]研究了螞蟻模型循環(huán)追蹤行為，板球模型和青蛙模型的離散時間模型和其他可能形成的演化.文獻[4]中提出：具有彈性控制增益的線性循環(huán)追蹤法，并表明代理的收斂點可以通過分配不同的控制增益來實現(xiàn)控制.文獻[5]概括出：循環(huán)追蹤中的獨輪車為在該組中每個代理提供不同速度和控制增益，并為平衡形成的存在提供必要條件.

本文論述了基于一個排的獨輪車的控制設計和提出一個循環(huán)追蹤的新分析.本文的動機是為一組環(huán)形耦合獨輪車開發(fā)一個能夠保證系統(tǒng)具有一定的全局行為的系統(tǒng)控制律.本文利用基于投影的循環(huán)追蹤控制律來對小車的路徑進行跟蹤.此外，不同于Marshall等人[6]使用的Routh-Hurwitz-like標準，我們利用平衡多邊形的穩(wěn)定性，通過一個復雜特性多項式的根軌跡進行嚴格的分析.并最終得到：有2個平衡多邊形是漸進穩(wěn)定的，車輛最終收斂到勻速圓周運動，并根據(jù)車輛標簽按照順時針或逆時針方向均勻地分布在一個圓周上.

二、跟蹤模型簡介

(一)跟蹤模型的建模分析

坐標系通常分為三類：絕對坐標、相對坐標、極坐標三類.在坐標的選取中，為了編程和操作方便，這里我們采用相對坐標.

本文考慮unicycle模型：

(1)

其中[xi，yi]T∈R2，表示車輛的質(zhì)心在平面上的位置；θi∈R，表示車輛的行進方向；ui=[xi，yi]T∈R2，表示ui受到輸入變量線速度vi和角速度ωi的控制；qi=[xi，yi，θi]T，表示車輛i的位置或姿勢.

圖1　小車之間的位置關系

為了便于分析，我們考慮了相對坐標.ρi表示車輛i和車輛i+1之間的距離；αi表示車輛i的前進方向與ρi之間的角度；βi表示兩車各自前進方向與x軸的夾角的角度差減去π的值(即：βi=(θi-θi+1)-π).

(二)循環(huán)跟蹤模型簡介

(2)

三、跟蹤控制方案

(一)循環(huán)跟蹤控制器設計

接下來，我們提出一個基于投影的控制律，車輛i的線速度和角速度根據(jù)車輛i+1相對于車輛i的相對坐標進行按比例分配(圖2).就是：

vi=k1ρicosαi和ωi=k2ρisinαi.

(3)

其中k1和k2是控制變量；不失一般性，我們讓k1=1和k2=1.

圖2　以車輛i的坐標原點的情況下，小車之間的位置關系

(二)有界性分析

根據(jù)已知，我們可以得到：

為了讓系統(tǒng)更加簡潔，我們定義：

(4)

其中，I2是2×2的單位矩陣，L是n×n的循環(huán)矩陣

(三)均衡多邊形

設ξi=[ρiαiβi]T，我們把每個子系統(tǒng)作為

(5)

當我們以車輛1的位置為坐標原點時，并根據(jù)車輛1的前進方向為導向，可得到車輛2的位置信息，依次這樣下去，我們可以得到：

圖3　以小車1的位置為原點的位置關系

g1(ξ)=ρ1sinα1+ρ2sin(α2+π-β1)+…+ρnsin(αn+(n-1)π-β1-β2-…-βn-1)=0，

g2(ξ)=ρ1cosα1+ρ2cos(α2+π-β1)+…+ρncos(αn+(n-1)π-β1-β2-…-βn-1)=0.

g1(ξ)=0和g2(ξ)=0分別代表x軸和y軸的約束條件.

另一方面，從(2)中我們可以得到：

(四)穩(wěn)定性分析

下面討論每個平衡多邊形的穩(wěn)定性.

(6)

四、仿　真

在本小節(jié)中，利用了MATLAB進行了仿真，并針對實驗結果進行了認真的分析.

圖4　t=0 s

圖5　t=10 min

圖6　t=15 min

圖7　t=20 min

該狀態(tài)下，當t=0 s時，系統(tǒng)會隨機分配小車位置；由于小車位置的隨機性，小車運動方向會首選五點之間所連成的多邊形的質(zhì)心方向移動(見t=10 min時刻)，匯聚在一起后，為了達到循環(huán)跟蹤效果，小車之間會經(jīng)過相互之間的信息傳遞，向能夠形成的穩(wěn)定多邊形的方向移動，繼而會出現(xiàn)由點向邊發(fā)散的情況(見t=15 min時刻)；經(jīng)不斷試探與探索，會經(jīng)螺旋形軌道達到穩(wěn)定狀態(tài)見(見t=20 min時刻).

五、結　論

本論文中針對非完整多機器人的跟蹤控制這一研究課題，利用了一個新的循環(huán)跟蹤方案.組內(nèi)的小車之間的交互以合作行為出現(xiàn)，并最終會以恒定的速度和固定的相對間距在一個圓圈內(nèi)運動.這個控制方案根據(jù)偽線性化技術可確保最終的車輛軌跡的有界性；并通過一個復雜特征多項式的根軌跡分析證明了平衡多邊形的穩(wěn)定性和收斂性.本文使用的新方案與其他車輛可能會發(fā)散到無窮大的循環(huán)追蹤控制方案相比，在此方案中車輛的跟蹤軌跡會隨著車輛總數(shù)的增加，能夠形成更加穩(wěn)定的平衡多邊形.