李 杰，周亞鵬，陳 淮

鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院，河南鄭州 450001

波形鋼腹板組合箱梁采用波形鋼板置換混凝土箱梁中的混凝土腹板，使箱梁成為由鋼筋混凝土頂?shù)装搴筒ㄐ武摳拱褰M成的組合結(jié)構(gòu)，充分利用了混凝土抗壓和波形鋼腹板抗剪強(qiáng)度高、梁體自重輕、頂?shù)装孱A(yù)應(yīng)力效率高的優(yōu)點(diǎn)，是一種經(jīng)濟(jì)、合理、高效的橋梁主梁結(jié)構(gòu)形式[1]．已有研究表明，波形鋼腹板組合箱梁抗彎剛度較傳統(tǒng)混凝土箱梁略低，但前者的自重也較后者低，因此可認(rèn)為波形鋼腹板組合箱梁的豎彎自振頻率較傳統(tǒng)混凝土梁橋略高[2]. 針對(duì)體外束對(duì)波形鋼腹板箱梁自振特性的影響，文獻(xiàn)[3]推導(dǎo)了波形鋼腹板簡支箱梁在體外預(yù)應(yīng)力作用下的自振頻率計(jì)算公式，并通過縮尺模型試驗(yàn)和有限元法研究了體外預(yù)應(yīng)力束張拉力對(duì)波形鋼腹板自振頻率產(chǎn)生的影響．預(yù)應(yīng)力對(duì)波形鋼腹板組合箱梁自振特性影響較小[3]，但一些研究顯示隨著體外束張拉力增大結(jié)構(gòu)自振頻率減小[4]，而另一些研究則顯示自振頻率增大[5]．考慮到橋梁結(jié)構(gòu)的自振特性是其工作性能和抗震、抗風(fēng)等動(dòng)力性能分析的重要參數(shù)，《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》(JTG D60—2015) 中公路汽車荷載沖擊系數(shù)的計(jì)算也仍然是以橋梁基頻為參數(shù)，橋梁結(jié)構(gòu)的自振特性就成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要基礎(chǔ)數(shù)據(jù)．即使預(yù)應(yīng)力張拉對(duì)波形鋼腹板組合箱梁的自振特性影響很小，也有必要對(duì)解析推導(dǎo)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)給出解釋．因此，本研究討論了預(yù)應(yīng)力張拉對(duì)自振的影響，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行解釋，明確預(yù)應(yīng)力的張拉究竟是使自振頻率增大還是使自振頻率減?。乙砸粋€(gè)配置體外束的簡支波形鋼腹板箱梁的微分方程為例，推導(dǎo)體外束對(duì)自振頻率的影響，并基于有限元數(shù)值方法，從預(yù)應(yīng)力張拉引起混凝土材料彈性模量的變化的角度解釋試驗(yàn)結(jié)果．

1 考慮體外預(yù)應(yīng)力波形鋼腹板簡支梁的自振頻率公式推導(dǎo)

1.1 波形鋼腹板簡支梁彎曲振動(dòng)微分方程

波形鋼腹板簡支梁在體外預(yù)應(yīng)力作用下的彎曲振動(dòng)微分方程[6]可表示為

(1)

簡支波形鋼腹板箱梁的體外束布置為雙折線，如圖1．為了推導(dǎo)式(1)，假設(shè)材料均處于彈性范圍，忽略波形鋼腹板的軸向剛度；僅考慮其剪切剛度；不計(jì)頂?shù)装寮袅?yīng)，且其連接部位無滑移；不考慮沿梁跨方向的預(yù)應(yīng)力損失．

圖1 簡支波形鋼腹板箱梁的體外束布置Fig.1 Arrangement of external strand of simply supported box beam with corrugated steel web

體外束的預(yù)加力隨著梁的振動(dòng)變化，故可設(shè)

(2)

(3)

(4)

1.2 預(yù)應(yīng)力變化量和梁位移的關(guān)系

為求解方程(4)，首先需考慮梁體振動(dòng)位移y(x,t)與預(yù)應(yīng)力的改變量之間的內(nèi)在聯(lián)系．體外束波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力組合簡支梁結(jié)構(gòu)如圖2．波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力簡支梁在振動(dòng)過程中， ΔNp隨振動(dòng)位移y(x,t)的改變而變化，由于位移y(x,t)隨梁體振動(dòng)變化很小，因此，可以近似認(rèn)為ΔNp與梁體跨中豎向位移y成正比．為計(jì)算ΔNp與y的比例系數(shù)，在跨中作用一個(gè)集中力F， 先得到ΔNp與F的關(guān)系，再得到F和y的關(guān)系，最后經(jīng)過變換得到ΔNp和y的關(guān)系．

將預(yù)應(yīng)力筋拉力作為多余未知力X1去掉多余約束得到基本體系，如圖2所示．求解單位力X1以及跨中集中力F作用下的彎矩圖．建立變形協(xié)調(diào)方程為

δ11X1+Δ1F=0

(5)

(6)

其中，N1和M1分別為單位力和基本體系上產(chǎn)生的軸和彎矩；NF和MF分別為外力F作用在基本體系上產(chǎn)生的軸力和彎矩；δ11是單位力在基本體系上產(chǎn)生的位移；EAc是梁截面的抗拉壓剛度．在跨中位置作用一個(gè)集中力F時(shí)，可以計(jì)算得出簡支梁跨中豎向撓度為

(7)

圖2 波形鋼腹板簡支箱梁基本體系的受力圖Fig.2 The basic system’s force diagram of simply supported box beam with corrugated steel web

靜載作用下剪切變形對(duì)梁的撓度影響較大[7]．考慮波形鋼腹板的剪切變形影響及跨中作用集中力F， 修正后的簡支梁跨中豎向撓度為

(8)

(9)

由位移互等定理，可得ΔNp在中點(diǎn)產(chǎn)生的向上位移為

(10)

跨中在F作用下產(chǎn)生的豎向位移為

y=yF-yΔNp=

(11)

則

ΔNp=φy

(12)

由此可得到預(yù)應(yīng)力變化量ΔNp和簡支梁跨中位移y的關(guān)系表達(dá)式．由于波形鋼腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差異主要在腹板，而波形鋼腹板的剪切變形對(duì)箱梁撓度的影響較大，故本研究在計(jì)算波形鋼腹板簡支梁跨中撓度時(shí)，計(jì)入了波形鋼腹板剪切變形的影響，這是波形鋼腹板箱梁與普通混凝土箱梁撓度計(jì)算中最主要的差別．

1.3 等效偏心距H求解

H為等效偏心距，由于預(yù)加力在梁上的彎矩沿梁軸線是不均勻變化的，為簡化計(jì)算，將預(yù)應(yīng)力作用彎矩，采用面積相等的原則，等效為沿梁均勻分布[8]，其中預(yù)應(yīng)力和次內(nèi)力引起的彎矩為

Mp=M1Np

(13)

Mp彎矩圖面積表達(dá)式為

S(Mp)=S(M1)Np

(14)

其中，S(Mp)和S(M1)分別為相應(yīng)彎矩圖的面積．那么波形鋼腹板簡支梁的等效偏心距為

(15)

則可得波形鋼腹板簡支梁自由振動(dòng)方程為

(16)

1.4 波形鋼腹板簡支梁頻率求解

由式(16)得波形鋼腹板簡支梁自由振動(dòng)方程為

(17)

采用分離變量法求解微分方程(17)，并根據(jù)簡支梁邊界條件確定積分常數(shù)，則波形鋼腹板簡支梁的自振頻率為

(18)

(19)

式(19)可表示體外預(yù)應(yīng)力對(duì)波形鋼腹板簡支梁自振頻率的影響．可見預(yù)應(yīng)力對(duì)梁自振頻率的影響隨著振型階次n的升高而減小，因此可以通過低階頻率探討預(yù)應(yīng)力張拉對(duì)波形鋼腹板梁自振特性的影響．當(dāng)n= 1時(shí)得到基頻為

(20)

2 自振頻率計(jì)算及體外束影響分析

以某波形鋼腹板箱梁實(shí)橋?yàn)槔?，?yīng)用式(20)計(jì)算波形鋼腹板組合箱梁的自振頻率，橋梁參數(shù)主要有：E=3.6×104MPa，I=15.193 5 m4，m=2.21×104kg/m，L=50 m，由式(19)可得

其中，N為單根鋼絞線張拉力大小．計(jì)算可知，不考慮體外束張拉時(shí)，ξ=1， 考慮體外預(yù)應(yīng)力束時(shí)，ξ=0.989 6， 對(duì)應(yīng)的1階豎向自振頻率分別為3.126 Hz和3.093 Hz．

圖3 ξ隨著張拉力N的變化曲線Fig.3 The curve of ξ-N

為探討ξ隨N變化的規(guī)律，此處取橋梁工程預(yù)應(yīng)力張拉常用的范圍(0.5fpk～0.8fpk)， 對(duì)應(yīng)的單根張拉力取130 ～210 kN，則由式(19)可得ξ隨張拉力N的變化曲線(圖3)．由圖3可知，在預(yù)應(yīng)力張拉范圍內(nèi)， 0<ξ<1； 當(dāng)預(yù)應(yīng)力增大時(shí)，ξ逐漸減?。@表明施加體外預(yù)應(yīng)力將使波形鋼腹板簡支梁的頻率減小，這與結(jié)構(gòu)力學(xué)的認(rèn)識(shí)一致，產(chǎn)生該結(jié)果的主要原因是由于預(yù)應(yīng)力的施加會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力軟化效應(yīng)，幾何剛度矩陣引起結(jié)構(gòu)總剛度降低，進(jìn)而結(jié)構(gòu)的頻率降低，同時(shí)也可以看出，預(yù)應(yīng)力張拉對(duì)波形鋼腹板組合箱梁自振頻率的影響較?。鲜鼋Y(jié)論可以解釋預(yù)應(yīng)力張拉后結(jié)構(gòu)自振頻率降低的原因，但該結(jié)論與一些模型試驗(yàn)結(jié)果不吻合，不能解釋試驗(yàn)中所反映出來的數(shù)據(jù)．由于自振頻率的解析公式僅與質(zhì)量和剛度有關(guān)，結(jié)構(gòu)確定后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和幾何尺寸就確定，但剛度EI還與彈性模量E有關(guān)，預(yù)應(yīng)力的張拉閉合了混凝土結(jié)構(gòu)中的微裂縫進(jìn)而使剛度增大，同時(shí)預(yù)應(yīng)力的張拉使混凝土處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)彈性模量E有影響．這些為試驗(yàn)數(shù)據(jù)的解釋提供了另一個(gè)方向．下面采用數(shù)值方法，考慮預(yù)應(yīng)力張拉分析波形鋼腹板箱梁的自振頻率．

3 考慮預(yù)應(yīng)力影響的波形鋼腹板箱梁的自振頻率有限元求解

3.1 預(yù)應(yīng)力在數(shù)值軟件中的處理方法

數(shù)值軟件中模擬預(yù)應(yīng)力的方法主要包括外荷載法和整體法兩大類．外荷載法是以荷載來替代預(yù)應(yīng)力鋼筋的作用，如等效荷載法．該法適用于靜力分析，但與結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力情況不符．整體法綜合考慮兩者作用，如在ANSYS軟件中用桿單元模擬鋼束，采用初應(yīng)變或降溫法在鋼束上加載預(yù)應(yīng)力，并通過耦合作用傳遞預(yù)應(yīng)力到混凝土上．整體法更符合混凝土結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力，因此本研究采用初應(yīng)變施加預(yù)應(yīng)力．

假設(shè)結(jié)構(gòu)材料是理想均質(zhì)，在進(jìn)行有限元分析時(shí)預(yù)應(yīng)力的施加會(huì)使結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣發(fā)生變化，導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力混凝土梁自振頻率減小，這與本研究推導(dǎo)和經(jīng)典力學(xué)理論結(jié)果一致，但與模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)不符[5]．分析試驗(yàn)結(jié)果，預(yù)應(yīng)力張拉除了會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力軟化效應(yīng)降低結(jié)構(gòu)的剛度外，還會(huì)使混凝土處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的混凝土極限強(qiáng)度比單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度大，理論和試驗(yàn)證實(shí)混凝土的強(qiáng)度與彈性模量相關(guān)，因此可通過建立預(yù)應(yīng)力與混凝土彈性模量的相關(guān)關(guān)系對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈性模量進(jìn)行修正[9]．

結(jié)合復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下混凝土梁的大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]，采用回歸分析的方法可找出預(yù)應(yīng)力與混凝土彈性模量的關(guān)系[9-11]為

(21)

其中，y=Eq/Ec表示混凝土彈性模量的增加倍數(shù)，Eq為等效的彈性模量，Ec為實(shí)際彈性模量；N為施加的預(yù)應(yīng)力大小；e為偏心距；h為箱梁截面高度；fck為混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；a、b和c為擬合公式的系數(shù)，a=-6.651 418 8×10-3，b=7.512 877 8×10-3，c=2.409 094 7×10-3．

3.2 模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證

為驗(yàn)證本研究方法的可行性，參考文獻(xiàn)[5]給出的單箱雙室波形鋼腹板梁模態(tài)試驗(yàn)，建立ANSYS實(shí)體有限元模型，采用初應(yīng)變施加預(yù)應(yīng)力并修正彈性模量進(jìn)行模態(tài)分析，與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比．采用的單箱雙室波形鋼腹板組合試驗(yàn)箱梁總跨徑為5.2 m，計(jì)算跨徑為5 m，其頂、底板均為5 cm厚的C50混凝土，腹板為3 mm厚的波形鋼腹板，預(yù)應(yīng)力鋼束的公稱直徑為φ15.24 mm，其截面尺寸、波形鋼腹板參數(shù)及試驗(yàn)梁立面如圖4[5]．

圖4 文獻(xiàn)[5]中的模型試驗(yàn)梁(單位：mm)Fig.4 Model test beam in the Reference[5] (unit: mm)

采用有限元軟件ANSYS建立該模型試驗(yàn)箱梁的數(shù)值模型．依據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用Solid65單元模擬頂、底板混凝土實(shí)體，波形鋼腹板采用殼單元Shell63模擬，預(yù)應(yīng)力鋼束利用桿單元Link10來模擬，預(yù)應(yīng)力鋼束單元通過與梁體耦合實(shí)現(xiàn)共同受力，邊界條件按照模型試驗(yàn)梁實(shí)際位置簡支約束，預(yù)應(yīng)力的施加采用初應(yīng)變法并修正彈性模量．模型中體外束預(yù)應(yīng)力損失僅考慮彈性壓縮損失，不考慮混凝土的收縮徐變效應(yīng)．分析對(duì)比結(jié)果見表2，其中，f為式(20)計(jì)算模型梁的基頻解析解；f1為采用“初應(yīng)變”方法施加預(yù)應(yīng)力但不修正混凝土彈性模量；f2是在考慮預(yù)應(yīng)力張拉的基礎(chǔ)上修正混凝土的彈性模量所得出的有限元結(jié)果；f0為該波形鋼腹板梁的模型試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[5]．

表2 本研究與文獻(xiàn)[5]有限元結(jié)果對(duì)比

1)ai=fi-f0/min(f0,fi);i=1,2

由表2可知，利用本研究解析式(20)得到波形鋼腹板體外束張拉后的自振頻率為f有一定減小，試驗(yàn)梁的自振頻率試驗(yàn)結(jié)果f0和有限元解fi(i=1，2)的第1階豎彎頻率偏差小于5%；施加預(yù)應(yīng)力并修正混凝土彈性模量后，與試驗(yàn)結(jié)果相比，偏差變小且頻率的變化趨勢(shì)與試驗(yàn)結(jié)果吻合．因此可認(rèn)為預(yù)應(yīng)力的張拉不僅使波形鋼腹板箱梁應(yīng)力軟化，且預(yù)應(yīng)力使混凝土處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料的彈性模量與單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性模量不同，通過彈性模量修正和考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)，數(shù)值分析可以解釋模型試驗(yàn)結(jié)果．

4 結(jié) 論

1)考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的波形鋼腹板組合箱梁振動(dòng)微分方程的推導(dǎo)表明，預(yù)應(yīng)力張拉產(chǎn)生應(yīng)力軟化效應(yīng)引起結(jié)構(gòu)總剛度降低，波形鋼腹板組合箱梁結(jié)構(gòu)的頻率降低．此外，考慮到波形鋼腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差異，波形鋼腹板的剪切變形對(duì)箱梁撓度的影響較大，理論推導(dǎo)分析應(yīng)計(jì)入波形鋼腹板剪切變形的影響．

2)對(duì)于研究中的試驗(yàn)?zāi)Ｐ土海A(yù)應(yīng)力張拉對(duì)波形鋼腹板組合箱梁結(jié)構(gòu)的剛度影響較小，由ξ隨N變化的規(guī)律可以看出，在橋梁工程中預(yù)應(yīng)力張拉范圍(0.5fpk～0.8fpk)內(nèi)，預(yù)應(yīng)力張拉對(duì)自振頻率的影響很小．

3)預(yù)應(yīng)力的張拉不僅使波形鋼腹板箱梁應(yīng)力軟化，且預(yù)應(yīng)力使混凝土處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料的彈性模量與單向應(yīng)力狀態(tài)下的彈性模量不同，通過彈性模量和預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的綜合考慮，體外束的張拉使波形鋼腹板簡支箱梁自振頻率增大．