曾朝杰

(上海同建強(qiáng)華建筑設(shè)計(jì)有限公司,上海 200072)

0 引 言

在上海及沿海地區(qū),軟土地基大量分布,但表層土由于反復(fù)毛細(xì)作用導(dǎo)致固結(jié)硬化,往往形成硬殼層,對(duì)于一般多層或小高層房屋而言,這層土承載力足夠、但下臥層變形太大,為節(jié)約樁基投資,在上世紀(jì)80年代以上海工程界為代表推出沉降控制復(fù)合樁基[1-2],本質(zhì)是將樁基作為減少沉降構(gòu)件,充分利用硬殼層承載力形成樁土共同作用,1994年出版文獻(xiàn)[2]較早論述復(fù)合樁基計(jì)算理論并進(jìn)入地方規(guī)范體系,1999年出版文獻(xiàn)[3]完善了沉降控制復(fù)合樁基系統(tǒng)化設(shè)計(jì)計(jì)算理論。

但是采用文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[3]計(jì)算方法及目前軟件編制水平,均要假定樁基承臺(tái)承載比例,進(jìn)行布樁,反復(fù)試算,直到計(jì)算沉降滿足要求為止,工作量很大,為降低試算工作量,本文研究不布樁情況下,自動(dòng)將樁力在半空間離散再進(jìn)行四維積分的計(jì)算理論及配套程序[5],并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐[6-7]。

1 復(fù)合樁基的基本應(yīng)力計(jì)算公式

復(fù)合樁基應(yīng)力計(jì)算公式由布希涅斯克(Boussinesq,布氏解)及明德林(Mindlin,明氏解)應(yīng)力基本公式推導(dǎo)而成。

1.1 布希涅斯克及明德林基本解公式

布氏豎向應(yīng)力基本解:

(1)

明氏豎向應(yīng)基本解:

(2)

式中:A2=[n2+(m-1)2],B2=[n2+(m+1)2],F2=n2+m2,n=r/Lm=z/L。

樁地基應(yīng)力計(jì)算基本尺寸關(guān)系如圖1所示,其中,d為樁截面尺寸(樁徑或者斷面寬度),L為樁長(zhǎng),Z為計(jì)算點(diǎn)離半空間頂面(地表)的距離(深度),r為計(jì)算點(diǎn)離樁軸線的水平距離。

圖1 半空間明德林樁及尺寸示意圖Fig.1 Relevant size of a half space pile

1.2 可解析的積分解形式

對(duì)于上述基本解,只有在一些簡(jiǎn)單平面域,如布氏解在平面矩形域、圓形域,明氏解在平面矩形域、圓形域、豎向均布、豎向線性增長(zhǎng)(用于有樁地基)的情況下才能求得其解析積分解。

布氏矩形域角點(diǎn)應(yīng)力積分解:

(3)

式中:m=L/b,n=z/L(L,b分別為矩形基礎(chǔ)長(zhǎng)寬),并容易推導(dǎo)得文獻(xiàn)[3]中第4.3.1條中關(guān)于矩形中心沉降系數(shù)δ:

(4)

對(duì)于樁基應(yīng)力計(jì)算則需要采用明德林-哥特斯(Mindlin-Geddes)積分解:

(1) 樁端集中力對(duì)地基的應(yīng)力為前述基本解(參見(jiàn)式(2));

(2) 樁側(cè)摩阻力為矩形均布時(shí)對(duì)地基中的應(yīng)力(式(5)):

(5)

(3) 樁側(cè)摩阻力為線性均勻增長(zhǎng)時(shí)對(duì)地基中的應(yīng)力(式(6)):

(6)

以上字母含義可參見(jiàn)圖1、圖2或文獻(xiàn)[3-4]。

圖2 單樁工作狀態(tài)下樁頂力的分解Fig.2 Decomposition of the pile top force

圖2中Q為樁頂集中力,αQ為樁尖集中力,βQ為樁側(cè)均布(線性平均)側(cè)阻力,(1-α-β)Q為樁側(cè)線性增長(zhǎng)側(cè)阻力。

1.3 任意多連通域積分的數(shù)值解

在大多數(shù)情況下碰到的基礎(chǔ)形式均為不規(guī)則,那么求解不規(guī)則任意多連同域基礎(chǔ)下的土體應(yīng)力,就只能以數(shù)值積分的方式進(jìn)行,本文利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、向量學(xué)計(jì)算技術(shù),將這種無(wú)法解析的域剖分為多個(gè)可解析或較易積分的簡(jiǎn)單域—三角形平面域及三角形棱柱體空間域,然后進(jìn)行高精度辛普生變步長(zhǎng)數(shù)值積分即可求得地基任意點(diǎn)應(yīng)力。

2 復(fù)合樁基沉降計(jì)算基本方法及原理

本文一切計(jì)算均嚴(yán)格按照文獻(xiàn)[3-4]的規(guī)定,但在計(jì)算技術(shù)上利用了數(shù)學(xué)、測(cè)量學(xué)及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)上知識(shí),在嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、適應(yīng)性方面有其獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),同時(shí)能充分體現(xiàn)文獻(xiàn)[3-4]在復(fù)合樁基計(jì)算方面特點(diǎn);在此,將文獻(xiàn)[3-4]中沉降計(jì)算原理作一簡(jiǎn)述。

2.1 天然地基

天然地基的沉降計(jì)算按分層總和法進(jìn)行計(jì)算,文獻(xiàn)[3]第4.3.1條:

(7)

地基壓縮層從基底算起,至應(yīng)力比0.1為止(應(yīng)力比方法,若為變形比方法也很容易實(shí)現(xiàn)),計(jì)算點(diǎn)取為基礎(chǔ)形心,計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)平均沉降。

2.2 沉降控制復(fù)合樁基

在常規(guī)樁基的設(shè)計(jì)中,外荷載完全由樁基承擔(dān),這時(shí)樁數(shù)較多,工程造價(jià)很高。在滿足安全的前提下,采用樁土共同作用計(jì)算的方法,即本文及文獻(xiàn)所述沉降控制復(fù)合樁基。

它是一種介于淺基與常規(guī)樁基之間的一種過(guò)渡基礎(chǔ)類(lèi)型,沉降計(jì)算時(shí),它假定:當(dāng)作用于承臺(tái)底面的荷載準(zhǔn)永久值效應(yīng)組合值P大于各單樁極限承載力標(biāo)準(zhǔn)值之和時(shí),樁分擔(dān)相當(dāng)于各單樁極限承載力標(biāo)準(zhǔn)值之和的荷載、承臺(tái)地基土分擔(dān)其余荷載;反之,樁承擔(dān)全部荷載。具體計(jì)算時(shí)按下列原則進(jìn)行:

(1) 當(dāng)P-σCAC>kRk時(shí),復(fù)合樁基沉降由兩部分構(gòu)成,一部分由樁頂附加荷載Rk+Gpk的k根樁作用下產(chǎn)生的沉降,按文獻(xiàn)[3]第6.4.2條計(jì)算,但沉降經(jīng)驗(yàn)系數(shù)宜取1.0;另一部分由承臺(tái)底面附加荷載P-σCAC-kRk產(chǎn)生的沉降,計(jì)算同天然地基;

(2) 當(dāng)P-σCAC≤kRk時(shí),復(fù)合樁基沉降由樁頂附加荷載(P-σCAC)/k+Gpk的k根樁作用下產(chǎn)生的沉降,按文獻(xiàn)[3]第6.4.2條計(jì)算,但沉降經(jīng)驗(yàn)系數(shù)宜取1.0。

上述P為上部結(jié)構(gòu)在基底產(chǎn)生的附加荷載,σC為承臺(tái)地面承擔(dān)的應(yīng)力,AC為承臺(tái)面積,k為樁數(shù),Rk為單樁極限承載力標(biāo)準(zhǔn)值。單樁極限承載力為土對(duì)樁的極限支承力及材料強(qiáng)度雙控,計(jì)算時(shí)按文獻(xiàn)[2-3]要求宜取0.8折減系數(shù),計(jì)算點(diǎn)一般取為群樁形心。

2.3 沉降計(jì)算公式

由上述方法,就可以求出地基中應(yīng)力σ,在求解平面上任意一點(diǎn)(x,y)的沉降時(shí),沉降可表示為

第i層土應(yīng)力面積積分:

(8)

第i層土分層沉降:

(9)

基礎(chǔ)總沉降:

S=ψΣSi

(10)

式中:hi-1為基礎(chǔ)底面(或樁尖平面)到第i層土的頂面距離;hI為基礎(chǔ)底面(或樁尖平面)到第i層土的底面距離;Ωx,Ωy分別表示多個(gè)任意平面形狀多連通域基礎(chǔ)形成的積分域,本文中用分段折線來(lái)模擬該域,并在積分時(shí)用分段函數(shù)來(lái)表示積分上下限;ψ為經(jīng)驗(yàn)調(diào)整系數(shù),由規(guī)范或有經(jīng)驗(yàn)的專(zhuān)家確定,與地域或計(jì)算應(yīng)力方式有關(guān)。

3 復(fù)合樁基明德林解(Mindlin)任意空間域積分的計(jì)算原理

通常,為按照前述原理進(jìn)行復(fù)合樁基的沉降計(jì)算,必須先假定承臺(tái)的分?jǐn)偙壤?再進(jìn)行樁數(shù)的假定計(jì)算,然后按照假定樁數(shù)進(jìn)行布樁,樁數(shù)布好之后,進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算沉降過(guò)小,再進(jìn)行減樁,沉降太大,就進(jìn)行加樁,要反復(fù)進(jìn)行多輪次計(jì)算,最終達(dá)到理想樁數(shù),作為最終確定的復(fù)合樁基設(shè)計(jì)方案。

本文利用了求積儀原理,任何空間域都可以先從平面域著手,平面域的積分完成,再利用明德林-哥特斯解沿深度方向進(jìn)行一次線性積分就可以完成整個(gè)四維空間積分。

具體的做法事,將平面不規(guī)則的單連通域、多連通域近似看做折線逼近,如圖3所示,所有連通域都可以剖分成三角形簡(jiǎn)單域,由沉降計(jì)算點(diǎn)(一般是樁基的形心點(diǎn))引出線與各轉(zhuǎn)折點(diǎn)相連,如轉(zhuǎn)折點(diǎn)數(shù)字是n的話,則形成了n三角形域(如圖3所示,五個(gè)角點(diǎn)即形成5個(gè)三角形)。

圖3 連通域的三角形剖分 Fig.3 Triangulation of connected domains

在做數(shù)值積分時(shí),每一個(gè)三角形均可按照式(12)、式(13)進(jìn)行分段積分,一般可以分成兩段,積分采用的是高精度變步長(zhǎng)辛普生積分[8],平面域可以解決布希涅斯克及明德林樁尖面力的積分解,再沿著深度方向積分就完成了明德林樁側(cè)力(視作體積力)的第四維積分。

對(duì)于圖3中的三角形域△O34為例,可以進(jìn)一步劃分為圖4所示積分域1(△O3d)及積分域2(△34d),再進(jìn)行分段積分即可,則地基深度標(biāo)高Z處的附加應(yīng)力為

σz=σ1+σ2

(11)

式中:σ1，σ2用如下積分上下限函數(shù)表示。

圖4 三角形域的數(shù)值積分及上下限Fig.4 Numerical integration upper and lower bounds of triangular domain

積分域1的豎向應(yīng)力:

當(dāng)a

(12)

積分域2的豎向應(yīng)力:

當(dāng)b

(13)

由圖4及式(12)、式(13)可見(jiàn),積分域上下限都是可解析線性函數(shù),數(shù)學(xué)表達(dá)簡(jiǎn)單,配合數(shù)值積分則容易編程實(shí)現(xiàn)。

4 程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)以上先離散再積分?jǐn)?shù)值計(jì)算原理,本文編制了相應(yīng)Fortran程序,并配置了人機(jī)交互友好界面成為《超明星地基強(qiáng)度與沉降計(jì)算軟件》,參見(jiàn)文獻(xiàn)[5],該軟件經(jīng)上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)鑒定為國(guó)際先進(jìn)水平,后又評(píng)為規(guī)范配套軟件,成為很多巖土工程科研部門(mén)在方案階段咨詢、研究的基本工具。

5 算例對(duì)比

針對(duì)文獻(xiàn)[3]規(guī)范編制組給出的例題(考題,參見(jiàn)圖5),按照133根樁最終施工圖的計(jì)算結(jié)果,同時(shí)利用本文編制的軟件計(jì)算,軟件生成計(jì)算結(jié)果及簡(jiǎn)要過(guò)程如下:

圖5 規(guī)范例題(樁位及基礎(chǔ)平面簡(jiǎn)圖)Fig.5 TheSpecification example (Foundation plan)

5.1 天然地基承載力設(shè)計(jì)值計(jì)算(過(guò)程略)

由文獻(xiàn)[3]式4.2.3-1并結(jié)合表1所示地質(zhì)報(bào)告參數(shù),最終求得地基承載力設(shè)計(jì)值fdh:fd=γdfdh=123.16 kPa。

5.2 單樁豎向承載力設(shè)計(jì)值計(jì)算(過(guò)程略)

本工程采用C30級(jí),0.2 m×0.2 m×16 m混凝土預(yù)制方樁,單樁豎向承載力設(shè)計(jì)值:Rd=Rsk/γs+Rpk/γp=194.42 kN (土體承載力控制)。

表1工程地質(zhì)地層參數(shù)簡(jiǎn)表

Table 1 Engineering geological formation parameters

5.3 沉降控制復(fù)合樁基樁數(shù)-沉降曲線計(jì)算

5.3.1工程概況

本工程為6層樓磚混結(jié)構(gòu)住宅,采用沉降控制復(fù)合樁基,上部結(jié)構(gòu)荷載設(shè)計(jì)值Fd=54 000 kN,上部結(jié)構(gòu)荷載準(zhǔn)永久值效應(yīng)組合值為43 500 kN。承臺(tái)埋深1.27 m,地下水位-0.5 m,承臺(tái)總面積Ac=355.72 m2;樁長(zhǎng)為16 m,樁截面邊長(zhǎng)(樁徑)為0.2 m,按樁基承載計(jì)算所需樁數(shù)為399根。

5.3.2沉降控制復(fù)合樁基樁數(shù)-沉降曲線

根據(jù)文獻(xiàn)[3-4]要求,為確定有效控制沉降樁數(shù),軟件自動(dòng)計(jì)算樁數(shù)沉降(表2),自動(dòng)生成樁數(shù)沉降曲線(圖6)。

表2計(jì)算成果一覽表

Table 2 Calculation results list

*注:承臺(tái)面積AC系指滿足復(fù)合樁基承載力要求的最小承臺(tái)面積,程序默認(rèn)共計(jì)算30種樁數(shù)-沉降工況,為節(jié)約篇幅省略掉自動(dòng)生成的工況26個(gè);樁數(shù)為133根時(shí),軟件自動(dòng)內(nèi)插計(jì)算得沉降為17.91 cm作為計(jì)算成果(布好樁以后可再進(jìn)行復(fù)核對(duì)比,參見(jiàn)圖6)

圖6 軟件自動(dòng)生成樁數(shù)沉降曲線Fig.6 Pile number vs.settlement curve by software

5.4 計(jì)算成果對(duì)比

按照文獻(xiàn)[3-4]算法以及本文提供的數(shù)值積分算法,對(duì)比如表3所示。

表3計(jì)算成果對(duì)比表

Table 3 Calculation results comparison list

備注:①準(zhǔn)確解指布好樁后,嚴(yán)格按照規(guī)范方法應(yīng)力疊加計(jì)算所得;②規(guī)范計(jì)算解指按照規(guī)范,采用同心圓方法歸并,查表簡(jiǎn)化計(jì)算得到的求解,參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

根據(jù)表3對(duì)比可見(jiàn),本文方法與規(guī)范準(zhǔn)確解偏大約2.6%,在工程設(shè)計(jì)計(jì)算合理偏差范圍內(nèi)。

6 結(jié) 論

本文方法及配套軟件[5]實(shí)現(xiàn)了:①自動(dòng)將基底力、樁力離散為面力和半空間體積力;②自動(dòng)剖分平面多連通域?yàn)槿切斡颉⑵史挚臻g域?yàn)槿抢庵?③自動(dòng)完成面力及半空間體積力在地基應(yīng)力中的積分;④自動(dòng)根據(jù)變形控制要求進(jìn)行多工況計(jì)算及插值,確定承臺(tái)面積及樁數(shù)。

根據(jù)算例及對(duì)比可見(jiàn),本文提供算法及相應(yīng)程序,在計(jì)算準(zhǔn)確度上已足夠在復(fù)合樁基方案階段估算之用,無(wú)須布樁應(yīng)力離散并積分方式得出的計(jì)算結(jié)果,與準(zhǔn)確解、規(guī)范法差異均在3%左右,而大大提高計(jì)算效率,使得原來(lái)需要數(shù)天時(shí)間計(jì)算才能確定復(fù)合樁基方案,僅需數(shù)分鐘就可完成,本程序?qū)崿F(xiàn)的軟件已經(jīng)在工程界大量投入使用。