劉　丹

(北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)　100032)

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，它搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分．?dāng)?shù)學(xué)建模活動(dòng)的基本過程如下：

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》)指出，通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，“學(xué)生能有意識(shí)的用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)．”那如何在課堂教學(xué)中“切入”應(yīng)用和建模的內(nèi)容呢？筆者以《函數(shù)的應(yīng)用》為課題做了一次嘗試.

1　課題分析

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語言和工具，函數(shù)模型在生活中有廣泛的應(yīng)用．《函數(shù)的應(yīng)用》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的概念與性質(zhì)后進(jìn)行的一次綜合應(yīng)用，學(xué)生已經(jīng)掌握了多種函數(shù)模型，具備了一定的建模基礎(chǔ)．本節(jié)課選擇了“北京市機(jī)動(dòng)車保有量情況”為研究背景，這是北京的熱點(diǎn)問題，具有實(shí)際意義，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，也能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

2　教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

2.1　前測評估，了解學(xué)情

在本節(jié)課之前，筆者對授課班級進(jìn)行了前測，以評估他們的學(xué)習(xí)情況．前測如下：

近幾年，北京市機(jī)動(dòng)車保有量急劇增長，為了研究北京市機(jī)動(dòng)車保有量的發(fā)展情況，小明調(diào)查了三年的機(jī)動(dòng)車保有量數(shù)據(jù)：

年份(x)第1年第2年第3年機(jī)動(dòng)車保有量(x)(單位:萬輛)351405487

若機(jī)動(dòng)車保有量y是年份x的二次函數(shù)，請解答下面的問題：

(1)到第4年，北京市機(jī)動(dòng)車保有量將達(dá)到多少萬輛？

(2)北京市機(jī)動(dòng)車保有量將在哪一年超過1000萬輛？

題后反思：你如何評價(jià)這個(gè)應(yīng)用問題？

前測的條件清楚準(zhǔn)確，原始問題數(shù)學(xué)化的過程比較簡單，學(xué)生只需要利用待定系數(shù)法確定函數(shù)模型即可解決相關(guān)問題．但在題后反思中，大部分同學(xué)無法作出清晰的評價(jià)或僅能作出如“挺實(shí)用的”等簡單評價(jià)．由此可以看出，學(xué)生的基本知識(shí)和基本技能掌握得較好，但是應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，也缺乏對問題進(jìn)行評價(jià)與反思的經(jīng)驗(yàn).

2.2　設(shè)計(jì)教學(xué)，開展實(shí)踐

基于對學(xué)生學(xué)情的把握，本節(jié)課的教學(xué)分四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行.

環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)交流，引出問題

在引入階段，師生共同回顧前測并交流題后反思．學(xué)生認(rèn)識(shí)到常見的應(yīng)用問題往往條件有限、數(shù)據(jù)量少、函數(shù)模型唯一確定，與現(xiàn)實(shí)生活有一定的差距，引出后續(xù)的探究活動(dòng).

環(huán)節(jié)二：分析問題，探求方法

在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，筆者展示了本節(jié)課的問題情境，并引導(dǎo)學(xué)生自主探究問題1.

閱讀材料——北京機(jī)動(dòng)車保有量

作為一個(gè)人口約為2000萬的特大城市，北京市的交通擁堵問題一直比較嚴(yán)重．為了緩解擁堵，2010年12月，北京市公布了《關(guān)于進(jìn)一步推進(jìn)首都交通科學(xué)發(fā)展加大力度緩解交通擁堵工作的意見》，其中一條重要的措施就是實(shí)施小客車(含私人小客車和非私人小客車)限購政策.

2011年，小客車限購政策正式實(shí)施，從2011到2015年，小客車限購指標(biāo)分別為24萬、24萬、24萬、12萬、12萬．在未來幾年中，小客車限購指標(biāo)將減少至每年10萬．通過調(diào)控，北京市機(jī)動(dòng)車(包含摩托車，小客車，貨車等)增長趨勢得到了一定的控制(見下圖)，截至2015年年底，北京市機(jī)動(dòng)車保有量為562萬．市交通委此前發(fā)布規(guī)劃：力爭到2020年將全市機(jī)動(dòng)車保有量控制在630萬輛以內(nèi).

根據(jù)材料中的信息，請你嘗試解決下面的問題.

問題1請你估計(jì)若不實(shí)行限購，2015年底北京市機(jī)動(dòng)車保有量約為多少？

閱讀材料比前測更貼近實(shí)際，包含的數(shù)據(jù)和信息量較大，材料中的可用信息有待學(xué)生自己挖掘，學(xué)生需要對信息進(jìn)行分析、篩選并利用不同的函數(shù)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合和結(jié)果預(yù)測.

為了落實(shí)教學(xué)重點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了自主探究、展示交流、討論小結(jié)三個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟.

(1)自主探究

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生借助圖形計(jì)算器進(jìn)行自主探究．多數(shù)學(xué)生能正確的選擇數(shù)據(jù)(2002——2010年機(jī)動(dòng)車保有量)并利用不同的函數(shù)模型進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的預(yù)測結(jié)果(部分結(jié)果見下)．

函數(shù)模型1：y=ax+b預(yù)測結(jié)果607萬

函數(shù)模型2：y=ax3+bx2+cx+d預(yù)測結(jié)果1207萬

函數(shù)模型3：y=a·bx預(yù)測結(jié)果789萬

函數(shù)模型4：y=a·xb預(yù)測結(jié)果470萬

(2)展示交流

在自主探究的基礎(chǔ)上，筆者請一名同學(xué)從數(shù)據(jù)提取、函數(shù)擬合、結(jié)果預(yù)測等方面展示她的研究過程，并鼓勵(lì)其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充.

一方面，這是對問題進(jìn)行再分析的過程．學(xué)生在闡述方案的同時(shí)，有意識(shí)的分析方案的合理性，探究能力得到提高，如一名同學(xué)在闡述自己思路的時(shí)候說到“通過觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，機(jī)動(dòng)車保有量的增幅先減小，再增大，因此我選用了三次函數(shù)模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合”；另一方面，通過交流，學(xué)生直觀的感受到現(xiàn)實(shí)問題結(jié)論的多樣性．由此，筆者引導(dǎo)學(xué)生就兩個(gè)問題作進(jìn)一步的探討.

(3)討論小結(jié)

①為什么會(huì)有不同的預(yù)測結(jié)果？

②是不是所有的預(yù)測結(jié)果都是合理的？

問題①讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到每種函數(shù)模型都只是近似的反映機(jī)動(dòng)車保有量與年份之間函數(shù)關(guān)系，從而提供了對結(jié)果的不同預(yù)測．在對結(jié)果合理性的討論中，學(xué)生結(jié)合實(shí)際對結(jié)果進(jìn)行了評價(jià)，如“利用模型y=a·xb預(yù)測的結(jié)果(470萬)比實(shí)行限購后的實(shí)際數(shù)據(jù)(562萬)小，不合常理”，“利用三次函數(shù)進(jìn)行擬合的預(yù)測數(shù)據(jù)過大(1207萬)，不符合實(shí)際”等．學(xué)生對問題的認(rèn)識(shí)得到提升，反思的意識(shí)得到加強(qiáng).

通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)與探討，學(xué)生認(rèn)識(shí)到需要選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，利用函數(shù)擬合的方法進(jìn)行預(yù)測，并應(yīng)該根據(jù)實(shí)際背景對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)．至此，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法得以呈現(xiàn)，重點(diǎn)得到落實(shí).

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用方法，解決問題

在問題1的基礎(chǔ)上，筆者向?qū)W生展示了問題2.

問題2請你預(yù)測一下按照現(xiàn)行的小客車限購政策， 2020年北京市機(jī)動(dòng)車保有量控制在630萬以內(nèi)的目標(biāo)能否達(dá)到？

題后反思：請你評價(jià)一下這個(gè)應(yīng)用問題.

要解決問題2，學(xué)生需要理解機(jī)動(dòng)車、小客車、私人小客車之間的關(guān)系，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，這為本節(jié)課的難點(diǎn)．為了突破難點(diǎn)，本階段學(xué)生采用了合作探究的學(xué)習(xí)方式.

首先，通過合作互助，學(xué)生能及時(shí)發(fā)現(xiàn)解題過程中的困難并予以克服，突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．其次，在合作探究的過程中，學(xué)生能及時(shí)交流解題思路并在圖形計(jì)算器的支持下進(jìn)行充分探索，有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

在充分的探究后，學(xué)生從數(shù)據(jù)選取和函數(shù)模型兩方面交流了他們的方案.

方案一：對2002-2014年機(jī)動(dòng)車保有量數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合；

方案二：對2011-2014年機(jī)動(dòng)車保有量數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合；

方案三：將2015年機(jī)動(dòng)車保有量加上每年的小客車限購指標(biāo)；

方案四：對每年小客車保有量增量與限購指標(biāo)的比值進(jìn)行函數(shù)擬合；

……

對學(xué)生的探究成果筆者予以肯定，并引導(dǎo)他們對方案進(jìn)行評價(jià)和改進(jìn)．在這個(gè)過程中，學(xué)生對問題的認(rèn)識(shí)逐步深入，也提出了一個(gè)相對更合理的方案.

改進(jìn)方案：(1)根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算2002年到2015年非小客車(不限購部分)保有量，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型進(jìn)行擬合，預(yù)測2020年的非小客車數(shù)量；(2)計(jì)算出2015年小客車(限購部分)保有量并以此為基礎(chǔ)，根據(jù)之后每年的小客車限購指標(biāo)預(yù)測2020年的小客車數(shù)量；(3)將(1)(2)的結(jié)果相加，得到最后的預(yù)測結(jié)果(約620萬)，并得出結(jié)論——基本能完成630萬的控制目標(biāo).

通過對問題2的探究，學(xué)生獲得了將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際問題的成功體驗(yàn)，本節(jié)課的難點(diǎn)得以突破．之后，通過“請你評價(jià)一下這個(gè)應(yīng)用問題”這一設(shè)問，學(xué)生再次經(jīng)歷了題后反思的過程．與前測相比，學(xué)生已經(jīng)能有意識(shí)的從問題背景、解題方法、探究結(jié)果等方面來評價(jià)這個(gè)問題，反思的層次得到提升.

環(huán)節(jié)四：總結(jié)收獲，提升認(rèn)識(shí)

在總結(jié)階段，師生共同總結(jié)了建立函數(shù)解決實(shí)際問題的基本步驟．在此基礎(chǔ)上，筆者指出，由于所學(xué)知識(shí)的限制，在問題解決的過程中，并未考慮更多的影響因素，并留下了拓展作業(yè)——上網(wǎng)搜集與北京交通有關(guān)的數(shù)據(jù)，提出相應(yīng)的問題，并嘗試?yán)盟鶎W(xué)的知識(shí)解決問題．至此，本節(jié)課的教學(xué)得以完成.

3　總結(jié)反思

通過對《函數(shù)的應(yīng)用》這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，筆者有以下幾點(diǎn)感想.

1.在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，學(xué)生是認(rèn)知活動(dòng)的主體，教師是幫助者、促進(jìn)者、引導(dǎo)者．在建模的教學(xué)中，方案的探索、實(shí)施、調(diào)整和反思應(yīng)盡量由學(xué)生自主或合作探究完成，同時(shí)在評價(jià)學(xué)習(xí)效果時(shí)，無需過多的強(qiáng)調(diào)結(jié)果的正確性，應(yīng)主要考查學(xué)生使用的數(shù)學(xué)方法是否得當(dāng)，求解過程是否合乎常理，建模的結(jié)果是否有一定的實(shí)際意義.

2.數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是一個(gè)問題解決的過程，因此問題的設(shè)置是教學(xué)中關(guān)鍵的一環(huán)．?dāng)?shù)學(xué)建模的問題應(yīng)來自于學(xué)生熟悉的日常生活、現(xiàn)實(shí)世界等多方面．同時(shí)，解決問題所涉及的知識(shí)、思想、方法應(yīng)與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有聯(lián)系．由于課堂教學(xué)面對的是全體學(xué)生，因此問題的設(shè)計(jì)應(yīng)該有梯度，以使所有學(xué)生都能有所收獲．以本節(jié)課為例，“前測——問題1——問題2——拓展作業(yè)”難度逐漸加大，不同發(fā)展水平的學(xué)生都可以在適當(dāng)?shù)膶哟紊汐@得數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn).

3.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，“教師應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，從局部實(shí)施到整體構(gòu)想，……”．考慮到高一學(xué)生數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)不足，在本節(jié)課中，“發(fā)現(xiàn)和提出問題”這個(gè)環(huán)節(jié)主要由教師課前完成，在呈現(xiàn)問題情境時(shí)，也剔除了一些復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)因素．隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充，數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，我們還可以開展以數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模為主題的課外活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程.

4.由于數(shù)學(xué)建模的問題的來源更生活化，可用信息和數(shù)據(jù)量很大，因此，在問題解決的過程中，信息技術(shù)(如圖形計(jì)算器等)的使用是必要的．利用圖形計(jì)算器，學(xué)生能從多角度、多層次研究問題，為發(fā)展他們的創(chuàng)新思維提供了支持.

史寧中教授指出：“抽象、推理、模型”是高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中最重要的三個(gè)要素”，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)當(dāng)貫穿高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的全過程．作為教師，我們應(yīng)當(dāng)積極研究教學(xué)內(nèi)容，在課堂教學(xué)中為學(xué)生提供適于數(shù)學(xué)建模的素材和課題，讓學(xué)生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．