顏美玲

(浙江省杭州外國語學(xué)校　310023)

文[1]研究了同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)圖像性質(zhì)，得到(以k>0為例)：

文[1]通過添加輔助線，發(fā)現(xiàn)了兩個等腰三角形進而結(jié)合解析法證明了定理1.讀后,筆者不由地感嘆結(jié)論的優(yōu)美和證法的巧妙.與此同時，筆者開始思考：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的比例系數(shù)不互為倒數(shù)時有類似的性質(zhì)嗎？對于一般讀者，還能用其它一般的方法證明嗎？一般雙曲線有類似的性質(zhì)嗎？帶著這些問題，筆者進行了一番探究，收獲頗豐.現(xiàn)與各位同行討論.

1　問題探究

問題1可否不添加輔助線,利用純解析法證明有關(guān)結(jié)論呢？

圖1

經(jīng)過研究,我們發(fā)現(xiàn)純解析法是可行的，并且推廣了定理1得到如下結(jié)論：

(1)當(dāng)P,Q在直線AB同側(cè)時, 若P,Q在同一支上，則∠PAQ=∠PBQ(如圖1); 若P,Q在不同支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°(如圖2).

圖2

(2)當(dāng)P,Q在直線AB異側(cè)時, 若P,Q在同一支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°; 若P,Q在不同支上，則∠PAQ=∠PBQ.

記直線AP,AQ夾角為θ,直線BP,BQ夾角為α,則

通過整理可得tanθ=tanα.

結(jié)合P,Q的位置，易知 (1)(2)結(jié)論成立.

注當(dāng)a<0,b<0時，上述結(jié)論仍成立.

問題2一般的雙曲線是否有類似的結(jié)論呢？

借助幾何畫板，我們發(fā)現(xiàn)對于一般的雙曲線上述結(jié)論不一定成立.而反比例函數(shù)圖像的兩條漸近線是互相垂直的，于是我們猜想兩條漸近線垂直的雙曲線是否也有類似的結(jié)論呢？最終我們證明了此猜想是正確的，得到以下結(jié)論.

圖3

定理3設(shè)A,B是雙曲線x2-y2=k2(k>0)與正比例函數(shù)y=bx的兩個交點,P,Q是雙曲線上的兩點(P,Q均不與A,B兩點重合),則有

(1)當(dāng)P,Q在直線AB同側(cè)時,若P,Q在同一支上，則∠PAQ=∠PBQ(如圖3);若P,Q在不同支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°.

(2) 當(dāng)P,Q在直線AB異側(cè)時,若P,Q在同一支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°;若P,Q在不同支上，則∠PAQ=∠PBQ.

分析對于這個結(jié)論，文[1]中添加輔助線的方法已然不適用，而定理2中用斜率求夾角的方法在理論上是可行的，但計算量太大,所以我們不能直接利用幾何性質(zhì)或定理2的解析法去證明，而是考慮將等軸雙曲線上的問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖像上的問題.為此，先引入坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的有關(guān)結(jié)論:若直角坐標(biāo)系繞原點順時針旋轉(zhuǎn)角θ,(x,y)是原直角坐標(biāo)系下點的坐標(biāo),(x′,y′)是新直角坐標(biāo)系下點的坐標(biāo),則有

當(dāng)θ=45°時,

問題3雙曲線的有關(guān)面積定值問題

對于反比例函數(shù)我們知道有以下兩個與面積有關(guān)的性質(zhì).

(此處證明過程省略，讀者可自證.)

那么我們是否可以考慮雙曲線有關(guān)面積的性質(zhì)呢?

由定理3的分析我們知道，對于等軸雙曲線，當(dāng)坐標(biāo)系繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45°時，在新坐標(biāo)系下它是反比例函數(shù)，從而我們可得如下兩個性質(zhì).

圖4

圖5

定理5如圖5,P為等軸雙曲線x2-y2=k2(k>0)上任意一點，過P點的切線與雙曲線的兩條漸近線交于A,B兩點，則S△AOB=k2.

簡析如圖4,5,將原坐標(biāo)系繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45°就可利用引理1，2證明上述兩個定理.

引理3[2,3]

(1)A,B,C三點不共線當(dāng)且僅當(dāng)A′,B′,C′三點不共線，并且S△ABC=mnS△A′B′C′.

(2)AB∥CD當(dāng)且僅當(dāng)A′B′∥C′D′.

(3)原曲線上P點的切線經(jīng)過伸縮變換后是新曲線中P′的切線.

其中A′,B′,C′,D′,P′是A,B,C,D,P在伸縮變換T下的象.

根據(jù)定理4、5以及引理3，我們不難得到一般雙曲線的有關(guān)面積的性質(zhì).

2　結(jié)論和思想方法歸納

(1)文[1]的定理1為本文定理2的特殊情形.一方面定理2中取ab=1就是文1中的定理1的內(nèi)容,另一方面文[1]中定理1的結(jié)論限定在“P,Q在雙曲線的同一支上”的條件，而本文定理2適用于“P,Q在雙曲線的同一支上或不同支上”.另外，定理2的證明方法更加直觀簡潔.

本文除了推廣文[1]的結(jié)論外，最主要的也是最有意義的是提供了處理一般雙曲線問題的一種新思路：通過伸縮變換把一般的雙曲線上的問題轉(zhuǎn)化為等軸雙曲線上的問題,接著通過旋轉(zhuǎn)變換把等軸雙曲線上的問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖像上的問題，最后就可利用反比例函數(shù)圖像的有關(guān)性質(zhì)加以解決.這樣處理有兩個好處——一是可預(yù)先猜想結(jié)論，二是避免繁瑣的計算.