栗小妮　汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院　200062)

1　引言

16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)韋達(dá)(F.Viète, 1540～1603)在他的《分析引論》中使用字母表示未知數(shù)和已知數(shù)，使得數(shù)學(xué)從縮略代數(shù)階段進(jìn)入符號(hào)代數(shù)階段[1].用字母表示數(shù)的使用大大方便了數(shù)學(xué)的表達(dá)和運(yùn)算，但也產(chǎn)生了一些問(wèn)題.在19世紀(jì)末實(shí)數(shù)理論體系建立后，數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格的定義和分類，但由于“式”的本質(zhì)用途在于簡(jiǎn)便表達(dá)和運(yùn)算，所以并無(wú)一致的分類.

數(shù)學(xué)教育研究表明，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解過(guò)程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難往往正是學(xué)生所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)障礙.匈牙利著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞(G. Pólya, 1887～1985)曾指出：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí), 我們才能對(duì)人類的兒童應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)作出更好的判斷.”[5]荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H. Freudenthal, 1905～1990)也有類似觀點(diǎn)，稱“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過(guò)程, 盡管方式改變了”[6].美國(guó)數(shù)學(xué)史家M·克萊因(M. Kline, 1908～1992)也說(shuō)：“歷史順序是教學(xué)的指南.”[7]有鑒于此，本文對(duì)1830-1929一百年間出版的81種美國(guó)代數(shù)教科書(shū)中有關(guān)根式內(nèi)容進(jìn)行了考察，試圖回答以下問(wèn)題：美國(guó)早期代數(shù)教科書(shū)是如何定義根式的？定義是如何演變的？根式定義的歷史對(duì)我們今天認(rèn)識(shí)二次根式有何啟示？對(duì)今日二次根式概念的教材編寫和課堂教學(xué)又有何啟示？

2　研究對(duì)象

我們共選取20世紀(jì)中葉之前出版的81種美國(guó)代數(shù)教科書(shū)，其中70種為中學(xué)教科書(shū)，11種為大學(xué)教科書(shū).若以十年為一段，則各教科書(shū)的時(shí)間分布情況如圖1所示.其中，對(duì)于同一作者再版的教科書(shū)，若內(nèi)容無(wú)顯著變化，則選擇最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同教科書(shū).81種代數(shù)教科書(shū)均將有關(guān)“根式”的內(nèi)容單獨(dú)列為一章，其中有68種在定義后給出了用來(lái)進(jìn)一步解釋定義的例子，約占84%.

圖1　81種教科書(shū)的時(shí)間分布

3　根式的定義

在美國(guó)早期教科書(shū)中，“根式”一章的主要內(nèi)容均為平方根、二次根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算.實(shí)施開(kāi)方運(yùn)算后的式子有兩種名稱，一種為根式(radicals)，一種為不盡根式(surds).一些教科書(shū)對(duì)根式和不盡根式均作了定義，一些僅定義了根式或僅定義了不盡根式.若以20年為一時(shí)間段，圖2給出三種定義方式的時(shí)間分布.

圖2　三種定義方式時(shí)間分布

3.1　僅定義根式

3.2　僅定義不盡根式

3.3　分別定義根式和不盡根式

對(duì)根式和不盡根式分別作出定義的教科書(shū)有68種，約占84%.經(jīng)過(guò)詳盡統(tǒng)計(jì)和分析發(fā)現(xiàn)，這些定義又可以分為兩類，一類將根式等同于不盡根式，共19種，約占28%；一類對(duì)兩者進(jìn)行了嚴(yán)格區(qū)分，共49種，約占72%.表1給出的是等同定義的典型形式.

表1　不區(qū)分根式與不盡根式的典型定義

表2　區(qū)分根式與不盡根式的典型定義

3.4　無(wú)理式的定義

3.5　若干特點(diǎn)

在我們所考察的81種美國(guó)教科書(shū)中，根式的定義有以下特點(diǎn).

4　根式定義的演變

從僅定義根式或者僅定義不盡根式的處理方式中，無(wú)法看出作者對(duì)根式和不盡根式關(guān)系的認(rèn)識(shí).對(duì)于同時(shí)定義兩者的教科書(shū)，我們以20年為一時(shí)間段，對(duì)兩種不同的認(rèn)識(shí)作了統(tǒng)計(jì)，圖3給出了統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

圖3　教科書(shū)對(duì)根式與不盡根式關(guān)系的不同認(rèn)識(shí)的時(shí)間分布

從圖3中可以看出，在我們所考察的時(shí)間段內(nèi)，早期的教科書(shū)大多將根式等同于不盡根式，而隨著時(shí)間的推移，持這種認(rèn)識(shí)的教科書(shū)逐漸減少，對(duì)兩者作出嚴(yán)格區(qū)分的教科書(shū)逐漸增加，最終，絕大多數(shù)教科書(shū)將兩者區(qū)分開(kāi)來(lái).這一點(diǎn)也可以從僅定義根式(radical)的7種教科書(shū)的兩個(gè)不同時(shí)間段的不同特征得到佐證.

5　結(jié)論與啟示

5.1　對(duì)教科書(shū)編寫的啟示

5.2　對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的啟示