婁小寶陳達亮

（1.浙江吉利汽車研究院有限公司；2.中國汽車技術(shù)研究中心）

振動解耦和合理匹配固有頻率是動力總成懸置系統(tǒng)設(shè)計的2個主要問題。從振動解耦角度，為了改善橡膠懸置的隔振效果，文獻[1]分析了V型懸置組的力學(xué)特性和設(shè)計方法，指出如果利用V型懸置組的解耦功能，能夠解除動力總成懸置系統(tǒng)的側(cè)傾-橫移耦合振動，從而提高懸置系統(tǒng)的隔振性能。由于受到發(fā)動機艙的空間限制，V型懸置組在實際工程應(yīng)用中有時難以實施。為了在有限的空間內(nèi)獲得較好的解決方案，文獻[2-4]最早運用數(shù)學(xué)的優(yōu)化手段進行懸置系統(tǒng)的設(shè)計，以合理配置懸置系統(tǒng)固有頻率和自由度之間的振動解耦為目標函數(shù)，以懸置剛度和位置參數(shù)為設(shè)計變量進行優(yōu)化計算，取得了比較令人滿意的優(yōu)化結(jié)果。動力總成懸置系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化是一個非線性優(yōu)化問題，目標函數(shù)存在非凸性。由于多極值點的存在，使得傳統(tǒng)的優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)。文章運用現(xiàn)代智能優(yōu)化算法——遺傳算法（GA）對懸置參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，并探討了不同算法在相同可行域內(nèi)可搜索范圍的大小。

1 動力總成懸置系統(tǒng)動力學(xué)模型

由于動力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率一般在30 H z以下，遠比系統(tǒng)作為彈性體的最低階模態(tài)頻率（大約60 H z以上）低很多，因此動力總成與懸置所組成的振動系統(tǒng)在分析頻段內(nèi)只存在剛體模態(tài)。在這個頻段上，可將動力總成視為剛體[5]。為了簡化所研究的問題，忽略了車架系統(tǒng)的影響，假設(shè)動力總成直接安裝在剛性地基上。這樣將動力總成懸置系統(tǒng)簡化為一個6自由度模型，并在曲軸坐標系oxyz下對動力總成懸置系統(tǒng)動力學(xué)特性進行分析[6-7]。該坐標系原點位于動力總成質(zhì)心處，y軸平行于曲軸中心線指向發(fā)動機前端，x軸平行于氣缸中心線指向發(fā)動機缸蓋，z軸按右手定則確定，如圖1所示。

圖1 動力總成懸置系統(tǒng)6自由度動力學(xué)模型圖

在小振幅振動作用下，由于懸置塊的阻尼較小，主要作用是降低共振峰值，對系統(tǒng)固有振動特性的影響不大，因此在分析懸置系統(tǒng)自由振動時可以略去不計，則系統(tǒng)的振動微分方程式為：

M，K——系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

由式（1）可求得動力總成懸置系統(tǒng)的各階模態(tài)固有頻率和振型矩陣（Φ）。

當采用能量指標判定振動模態(tài)的解耦程度，一般用某一自由度方向上的動能占某階振動模態(tài)總動能的百分比作為模態(tài)解耦評價指標，在文中稱作該方向的解耦度。由系統(tǒng)的M和Φ可求出系統(tǒng)在做各階主振動時的能量分布矩陣（KE）。當系統(tǒng)以第i階固有頻率振動時，KE中的第k行l(wèi)列元素為：

式中：Φi——Φ的第i個列向量，即系統(tǒng)的第i階主振型；

（Φi）k，（Φi）l——Φi的第k及第l個元素；

mkl——KE中第k行l(wèi)列元素；

ωi——系統(tǒng)第i階固有頻率，H z；

i，k，l=1，2，…，6。

系統(tǒng)以第i階固有頻率振動時第k個廣義坐標分配到的能量占系統(tǒng)總能量的百分比為：

由式（3）可得系統(tǒng)以解耦度為評價指標的振動能量矩陣（KET）。

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

發(fā)動機懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計通常以懸置的安裝位置、傾斜角度及三向主剛度值作為設(shè)計變量，可以從不同角度提出目標函數(shù)和約束條件來建立不同的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

2.1 目標函數(shù)

動力總成懸置系統(tǒng)有多個性能指標，彼此之間存在耦合關(guān)系。因此，確定目標函數(shù)時必須綜合考慮這些指標參數(shù)，以使懸置系統(tǒng)具有良好的整體隔振性能。在動力總成的優(yōu)化設(shè)計計算中，目標函數(shù)可以是合理配置系統(tǒng)固有頻率和自由度振動解耦，低化側(cè)傾模態(tài)和側(cè)傾解耦，最小化懸置點響應(yīng)力和力矩[8]，或最小化駕駛座位處垂向加速度值[9]等。以車身敏感點的振動響應(yīng)值最小為目標函數(shù)理論上是最直接且有效的方法，但是需要考慮到車架的彈性，這使得優(yōu)化問題變得較為復(fù)雜。在無法獲得足夠精度計算模型的情況下，優(yōu)化后的懸置在實際中往往并不能起到隔振作用。因此，長期以來一直以動力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率和振動解耦為目標進行優(yōu)化計算。以懸置系統(tǒng)的固有頻率和振動解耦為目標函數(shù)，其表達形式如下：

式中：Wi——各項性能指標的權(quán)重函數(shù)；

X——設(shè)計變量；

N——所考慮的子目標函數(shù)的數(shù)量；

Pi（X）——性能指標函數(shù)；

Poi——理想性能指標參數(shù)；

Pmaxi，Pmini——第i項性能指標的最大值和最小值。

2.2 設(shè)計變量

懸置安裝角度和懸置元件的三向主剛度值綜合決定了各懸置點的三向剛度（Kxi，Kyi，Kzi），因此，以懸置點的三向剛度值和三向坐標參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計的變量，即對于具有n個懸置點的系統(tǒng)，其X的維數(shù)為6n。

2.3 約束條件

懸置系統(tǒng)的約束條件主要有系統(tǒng)固有頻率（Pfni/H z）約束：

式中：UBfni，LBfni——系統(tǒng)第i階Pfni的上下限，H z。

動力總成懸置系統(tǒng)在自由度方向振動解耦程度（Pdecoupi）的要求：

式中：UBdecoupi，LBdecoupi——系統(tǒng)在第i個自由度方向上解耦度值的上下限。

還應(yīng)考慮到懸置系統(tǒng)支承與限位的基本功能和避免動力總成產(chǎn)生過大的位移而與其它部件發(fā)生干涉，以及懸置元件的疲勞壽命問題，由這些因素綜合對懸置的剛度施加附加約束：

式中：Kij——第j個懸置點的i向剛度，N/m；

Kmaxj，Kminj——Kij可取的最大和最小值，N/m。

另外，受到發(fā)動機艙的空間及裝配限制，還需考慮各懸置點的位移約束如下：

式中：Xij——第j個懸置點的i向位移，m；

Xmaxj，Xminj——Xij可取的最大和最小值，m。

2.4 優(yōu)化算法

動力總成懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計屬于有約束的非線性優(yōu)化問題。對于這種優(yōu)化問題的求解，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法可分為2類：一類是直接解法，如坐標輪換法[10-11]、隨機方向搜索法、復(fù)合形法[12]及序列二次規(guī)劃法（SQP）等；另一類為間接解法，如拉格朗日乘子法和懲罰函數(shù)法[13]等。這些優(yōu)化算法的共同點就是最優(yōu)解受到初始點選取的影響，容易陷入局部最優(yōu)。為此引入GA法對動力總成懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題進行研究。

3 實例計算

前輪前驅(qū)式轎車發(fā)動機懸置系統(tǒng)由于發(fā)動機艙空間比較緊湊，因此無法實現(xiàn)對稱或V型布置形式，從而給懸置系統(tǒng)的設(shè)計帶來了困難。為了獲得良好的隔振性能，必須對懸置系統(tǒng)進行優(yōu)化。本例的研究對象為一款緊湊型轎車的發(fā)動機懸置系統(tǒng)，該發(fā)動機為直列四缸四沖程柴油機，采用三點橡膠懸置布置方式。為便于分析，規(guī)定安裝于變速器左右側(cè)的懸置分別稱為左懸置和后懸置，安裝于發(fā)動機前端的懸置稱為右懸置。動力總成懸置系統(tǒng)的參數(shù)，如表1所示。

表1 某轎車發(fā)動機懸置系統(tǒng)質(zhì)量矩陣參數(shù)

動力總成的激勵源主要是不平衡慣性力和波動轉(zhuǎn)矩激勵。在圖1所示的坐標系中，二者的作用方向為沿x和β（車身垂直方向）方向。為了使系統(tǒng)獲得良好的隔振效果應(yīng)盡量提高這2個方向的振動解耦程度，同時降低x方向的固有頻率。在避免共振的情況下，還應(yīng)盡量提高β方向的固有頻率，因為人體對低頻的垂直振動較為敏感。因此，實例以x和β方向的振動解耦度為目標函數(shù)，同時約束這2個敏感方向的固有頻率，以及將系統(tǒng)的其它頻率規(guī)定在合理的范圍內(nèi)。

3.1 序列二次規(guī)劃法（SQP）

SQP法是最常用的傳統(tǒng)優(yōu)化算法。以懸置系統(tǒng)β向和x向的解耦度為目標函數(shù)，運用SQP法對上述動力總成懸置系統(tǒng)進行多目標優(yōu)化計算。為了檢驗該算法對此問題的適應(yīng)性，取不同初始值點進行計算比較，以判斷所得結(jié)果是否為全局最優(yōu)解。在容許的參數(shù)變動范圍內(nèi)，主要計算2種不同初始值點的情況，分別命名為工況1和工況2，具體參數(shù)，如表2所示。表3示出運用SQP法優(yōu)化計算所得的懸置系統(tǒng)的性能參數(shù)。

表2 不同工況下發(fā)動機懸置系統(tǒng)坐標參數(shù) m

表3 序列二次規(guī)劃法（SQP）在不同工況下優(yōu)化計算結(jié)果比較

由表3可知：在同樣的可行域內(nèi)，2種工況優(yōu)化計算結(jié)果相差較大。工況1優(yōu)化計算所得的x向解耦度和β向解耦度比較均衡。相對于工況2而言，工況1的x向固有頻率和懸置系統(tǒng)最大頻率偏高，但系統(tǒng)最小固有頻率值過低，小于2.5 H z，將容易被路面激勵激起共振。工況2雖然具有較高的β向解耦度，但是x向解耦程度過低，將不利于懸置系統(tǒng)在汽車高速下隔離由該方向不平衡慣性力所引起的振動。比較2種工況所得的性能參數(shù)可知，二者皆不能滿足懸置系統(tǒng)設(shè)計的要求。一方面說明了SQP法只能獲得系統(tǒng)在可行域上的某一局部最優(yōu)解，優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)劣取決于所選取的計算初始點。因此，采用該法要獲得較滿意的解，需要依據(jù)一定的經(jīng)驗來選取恰當?shù)某跏键c，或者通過不同初始點計算結(jié)果的比較而獲得相對最優(yōu)解，后者將會非常繁瑣并且不容易獲得全局最優(yōu)。另一方面，結(jié)果也說明了在動力總成懸置系統(tǒng)參數(shù)多目標優(yōu)化設(shè)計中存在多極值點的現(xiàn)象，需要應(yīng)用全局優(yōu)化方法進行優(yōu)化計算，才能獲得可行域內(nèi)的全局最優(yōu)解。

3.2 遺傳算法（GA）

GA法作為一種全局優(yōu)化方法，由于對解空間進行編碼操作，因此對于優(yōu)化目標函數(shù)和約束函數(shù)的形式?jīng)]有特別要求，并且優(yōu)化結(jié)果不依賴于初始點的選取，尤其適用于多極值點的優(yōu)化問題[14-15]。

將GA法應(yīng)用于上述懸置實例的優(yōu)化計算，以研究該算法在解決此問題的適應(yīng)性。為了與SQP法進行比較，分別以x向解耦度、β向解耦度及β向固有頻率為單一目標函數(shù)，在懸置系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計的可行域內(nèi)采用SQP法和GA法進行目標函數(shù)的最大和最小值范圍搜索，結(jié)果如表4所示。

表4 同一可行域上2種算法搜索結(jié)果比較

表4說明了2種算法在相同可行域內(nèi)的搜索能力大小。結(jié)果顯示在相同的條件下，GA法能夠搜索到的x向解耦度范圍比SQP法大40%，在搜索β向解耦度時大45%，在搜索β向固有頻率時大65%。由此可見，在解決懸置系統(tǒng)多極值點優(yōu)化設(shè)計問題時，GA法將更容易求解到全局最優(yōu)解。

表5示出GA法在不同初始值點情況下搜索到的最優(yōu)解所計算得到的系統(tǒng)性能參數(shù)值；計算工況，如表2所示。從表5中可以看出，GA法對于優(yōu)化問題初始值的選取沒有特別的要求。這一點對于懸置系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計而言非常重要，因為它使得懸置系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)劣不再依賴于經(jīng)驗，而能夠更加方便、快捷地獲得滿意的結(jié)果。

表5 遺傳算法（GA）在不同工況下優(yōu)化計算結(jié)果比較

針對所述懸置系統(tǒng)的計算案例，應(yīng)用GA法和SQP法進行多目標優(yōu)化計算，獲得了設(shè)計變量在可行域上的最優(yōu)解，此時得到的懸置系統(tǒng)各性能參數(shù)，如表6所示。

表6 不同算法優(yōu)化后懸置系統(tǒng)性能參數(shù)比較

由表6可知，2種算法獲得的懸置系統(tǒng)在β向的解耦度基本相當，但GA法得到的x向的解耦度（60.7%）要遠遠大于SQP法（34.9%），將有利于提高懸置系統(tǒng)在該方向的隔振性能。另外，在α向和z向的解耦度GA法計算的結(jié)果也都大于SQP法。因此，在懸置系統(tǒng)多目標優(yōu)化設(shè)計中，應(yīng)用GA法進行優(yōu)化計算更容易獲得懸置系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計方案。

基于GA法的優(yōu)化結(jié)果，計算了優(yōu)化前后的動力總成懸置系統(tǒng)車架側(cè)振動響應(yīng)，如圖2和圖3所示。從圖2和圖3可以看出，懸置系統(tǒng)起到了更好的隔振作用。

圖2 怠速工況下車架側(cè)振動加速度時域響應(yīng)

圖3 怠速工況下車架側(cè)振動加速度幅頻響應(yīng)

4 結(jié)論

動力總成懸置系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計是一個多目標非凸性優(yōu)化問題，問題本身存在多極值點現(xiàn)象。SQP法優(yōu)化的結(jié)果由于受到初始點選取的影響，容易陷入局部最優(yōu)，這給懸置系統(tǒng)的設(shè)計帶來了不確定性，尤其在概念設(shè)計階段，難以獲得設(shè)計可行范圍內(nèi)的全局最優(yōu)解。而GA法能夠有效地解決懸置系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

中出現(xiàn)的多極值點問題，在設(shè)計變量的可行域內(nèi)更容易搜索到全局最優(yōu)解。另外，GA法不依賴于初始值的特性，使得動力總成懸置系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的效率和可靠性大大提高，這對于無法設(shè)定初始點的懸置系統(tǒng)概念設(shè)計階段而言，顯得尤為重要。

在動力總成懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計中，上述GA算法同樣適用于四點支承的懸置布置形式以及包含動力總成、副車架及車身的多剛體系統(tǒng)的優(yōu)化。

綜合可見，GA法相較于SQP法更加適合于動力總成懸置系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。