2011年北大保送生考試第1題為：點(diǎn)P為雙曲線上任一點(diǎn)，PQ為雙曲線在點(diǎn)P處的切線.∠.

運(yùn)用類比思想，我們可以將上述結(jié)論推廣到橢圓和拋物線.

推廣1 點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，PQ為橢圓在點(diǎn)P處的切線.

的外角平分線.

證法一 運(yùn)用焦半徑公式及角平分線定理.

不妨設(shè)橢圓方程為

∠的外角平分線?PQ的法線PM平分

∠.

當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)P不為頂點(diǎn)時(shí)，即00x≠，且∠的外角平分線.

推廣2 點(diǎn)P為拋物線上任一點(diǎn)，PQ為拋物線在點(diǎn)P處的切線.F為拋物線的焦點(diǎn)，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)P在l上的射影為M.求證：PQ平分FPM∠.

證法一 運(yùn)用二倍角公式.

不妨設(shè)拋物線方程為22(0)ypx p=>，如圖2，

00x =時(shí)，點(diǎn)P為頂點(diǎn)，此時(shí)顯然成立.綜上，PQ平分FPM∠.

證法二 運(yùn)用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).

從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)P反射后的光線PN平行于x軸，拋物線在點(diǎn)P處的切線PQ相當(dāng)于鏡面，易得QPFNPQ′

參考文獻(xiàn)

[1]范端喜.2011年北大保送生考試數(shù)學(xué)試題賞析.數(shù)學(xué)通訊，2011(4)(下半月)：53-55