線性規(guī)劃問題是線性條件下平面區(qū)域或目標函數(shù)相關問題的研究，其中蘊含著豐富的數(shù)形結合思想.不少平面區(qū)域是由條件、給定的范圍、坐標等轉換得到的，下面試例舉平面區(qū)域轉換的相關線性規(guī)劃問題.

1 平面區(qū)域坐標變換下的線性規(guī)劃

例1 （2007年高考江蘇卷·文10）在平面直角坐標系xOy，已知平面區(qū)域A={(x， y)|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+ y， x? y)|(x， y)∈A}的面積為

A.2 B.1 C.12 D.1 4

解析 本題平面區(qū)域B是由平面區(qū)域A得到的，它們的相互關系主要是坐標變換，因此通過坐標變換可求出平面區(qū)域B的線性條件.

取平面區(qū)域B中任一點(a， b)，則??

?b

a==xx+?yy

，，

反解得到

???????xy

=

=a

a

2+?2

bb，，

再代入平面區(qū)域A的條件，

得到

?????aa+?a

bb

≤

≥≥

1，00

，，容易得其面積為1，答案為B.

2 平面區(qū)域圖形變換下的線性規(guī)劃

例2 （2010年高考福建卷·理8）設不等式組

?????xxy

?≥≥2

1x

y+3≥0所表示的平面區(qū)域是Ω1，平面區(qū)域Ω2

與Ω1關于直線3x?4y?9=0對稱，對于Ω1中的任意一點A與Ω2中的任意一點B，|AB|的最小值等于

A.2

58 B.4 C.1 52 D.2

解析一 取Ω2中任一點(a， b)，則它關于直線3x?4y?9=0的對稱點(x， y)在Ω1中，根據(jù)點(a， b)與點(x，y)關于直線3x?4y?9=0的對稱性可將x，

y用a，b表示，再代入

?????xxy

?≥≥2

1x

y+3≥0即得a，b條件，

yy=x

x?2y+3 =0

其對應平面區(qū)域為Ω2，通過觀

?3

O

1

3x?

3

4y?

x

9=0

察圖形可求出|AB|的最小值.

解析二 由題意知，所求|AB|的最小值，即為區(qū)域Ω1中點到直線3x?4y?9=0距離最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(1， 1)到直線3x?4y?9=0的距離最小，故|AB|的最小值為2×|3× 1? 45× 1? 9|=4，所以選B.

3 幾何范圍條件轉化后的線性規(guī)劃

例3 已知△OAB三頂點坐標分別是O(0， 0)、A(1， 1)、B(2， 0)，直線ax+by=1與線段OA，AB至少有兩個公共點，則對于2a? b下列敘述正確的是

A.有最大值2 B.有最小值2y

C解

.析

有

最本

大題

值要

1將2

直

D線

.a

有

x+

最

by

小=

值

1與

12

O

1

A

2B

x

線段OA，AB至少有兩個公共點的條件轉化為方程中字母a，b滿足的條件.

首先考慮特殊情形，當a+ b =0時要求直線ax+by=1經(jīng)過線段OA，由于直線ax+by=1不過原點所以不可能.當a? b=0時要求直線ax+by=1經(jīng)過線段AB，此時a=b=12，2a? b=2

1.

在一般情形下，將條件轉化為點O，A在直線ax+by=1的兩側（包括在線上），點B，A在直線ax+by=1的兩側（包括在線上），但其中要去掉公共點只有A的情況，于是根據(jù)圖象可以得到需滿足的條件是：?

??(a(?

+

1

b)(?a1+)(

b

2a?1

?)1<)<0

，0，或??

?

(2?a 1)

?(1a=+

0b，?1)<0，化

簡得

???a

2+a

b??1

1<

>

0，0，或

???????ba=>2112，，

由圖形

O

y

x

可求出2a? b<12.綜合得到2a? b≤12，答案為C.

4 線性規(guī)劃條件轉化下的線性規(guī)劃

例4 （2008年高考浙江卷·理17）若a≥0，b≥0，

且當

?????xxy

+

≥≥y00

，，≤1

時，恒有ax+ by≤1，則以a，b為坐

標的點P( a， b)所形成的平面區(qū)域的面積等于__.

解析 令ax+by=z，問題可轉化為z的最大值

≤1，即為求線性條件

?????xxy

+

≥≥y00

，，≤1

下的目標函數(shù)

ax+by=z的最大值，由y=?abx+b z得其幾何意義為斜率?ba的直線在y軸上的截距最大值是1b，從而由

圖象得到代數(shù)條件為

?????

?aba

≤

≤1

?1，或??

???

?b

a

b≤

>

1

?1，再按此

條件畫出(a， b)在直角坐標系xOy中所對應區(qū)域，得到對應正方形面積為1.