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        “假設(shè)”誠可貴、“證明”價(jià)更高
        ——以一道典型力學(xué)試題的正解和錯(cuò)解為例

        2018-07-12 02:39:38周來友
        數(shù)理化解題研究 2018年16期
        關(guān)鍵詞:秤盤彈力牛頓

        周來友

        (河北省唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué) 064012)

        一、問題呈現(xiàn)

        如圖所示,質(zhì)量為M=1.50 kg的物體靜止放在臺秤上,秤盤的質(zhì)量為m=1.5 kg,彈簧本身的質(zhì)量不計(jì),勁度系數(shù)k=800 N/m,臺秤放在水平面上.現(xiàn)給物體施加一個(gè)豎直向上的力F,使物體向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng),已知力F在0.2 s內(nèi)為變力,0.2 s后為恒力,求F的最大值和最小值.

        此題乍一看,難度不大.但是,如果不認(rèn)真審題,不仔細(xì)研究已知條件,不能全面把握物體和秤盤的完整運(yùn)動(dòng)過程,解答此題未必會順風(fēng)順?biāo)?下面,就讓我們一起對這道題的錯(cuò)解和正解情況進(jìn)行品讀,從中體會如何應(yīng)用假設(shè)法解答物理問題.

        二、錯(cuò)解點(diǎn)評

        錯(cuò)解一由題意可知,彈簧在0.2s這一時(shí)刻恢復(fù)原長,此時(shí),物體和秤盤恰好分離,物體或秤盤運(yùn)動(dòng)的位移就等于彈簧靜止時(shí)被壓縮的長度,這一時(shí)刻秤盤和物體之間沒有彈力,此時(shí)F最大.

        設(shè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a,由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識可得

        由整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)總重力等于彈力可得

        (M+m)g=Ks②

        由①②聯(lián)立,解得a=7.5 m/s2.

        系統(tǒng)剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)力F最小,最小值為

        Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×7.5N=90N系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到0.2秒時(shí),力F最大(以后恒定不變),最大值為

        Fmax=M(g+a)=10.5×(10+7.5)N=183.75N

        點(diǎn)評認(rèn)為在0.2 s這一時(shí)刻彈簧恢復(fù)原長經(jīng)不起推敲.照此說法,彈簧恢復(fù)原長時(shí)秤盤所受彈力為零,速度為零,加速度也為零.但此時(shí)秤盤在自身重力的作用下,要從速度為零開始向下做加速運(yùn)動(dòng),而物體的加速度不變也不為零,速度還在均勻增加.這意味著物體與秤盤早就在彈簧恢復(fù)原長之前早就已經(jīng)分離.可見,當(dāng)兩者恰好分離的時(shí)刻,彈簧并沒有恢復(fù)原長.

        系統(tǒng)剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí),力F最小,最小值為

        系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到0.2秒時(shí),力F最大(以后恒定不變),最大值為

        點(diǎn)評此種想法距離正確答案只有一步之遙,遺憾的是認(rèn)為物體運(yùn)動(dòng)0.2 s時(shí),彈簧的彈力等于秤盤的重力.照此說法,這一時(shí)刻秤盤所受合力為零,加速度也變?yōu)榱?,但物體的加速度并不為零.這意味著物體與秤盤早就在彈簧的彈力等于自身重力之前早就已經(jīng)分離.可見,兩者恰好分離的時(shí)刻,彈簧的彈力并不等于秤盤的重力.

        以上兩種錯(cuò)解的原因主要是:對物體和秤盤在分離前、分離時(shí)、分離后的運(yùn)動(dòng)過程所包含的受力情況、力的變化、運(yùn)動(dòng)的速度和加速度等每個(gè)要素如何變化根本不清楚.給人的感覺好像就是通過假設(shè)兩者分離的臨界狀態(tài)來解答本題.物理需要假設(shè),但假設(shè)要有理有據(jù),無根據(jù)的假設(shè)對解決問題豪無意義.

        三、正解分析

        1.如果對物體A不施加豎直向上的力F,設(shè)彈簧被壓縮的長度為x0,則系統(tǒng)受到豎直向上的彈力大小為Kx0.由題意可知,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)(規(guī)定為0時(shí)刻,時(shí)間記為0),有Kx0=(M+m)g成立.

        2.現(xiàn)在給物體施加一個(gè)豎直向上的力F以后,由題中對F的限定可知,F(xiàn)必須保證使物體由靜止?fàn)顟B(tài)變?yōu)橄蛏献鰟蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),且物體的加速度始終為a.顯而易見,物體由靜止動(dòng)起來的同時(shí)秤盤也跟著動(dòng)起來,只要兩者不分離始終就可以看成是一個(gè)系統(tǒng),故分離前秤盤運(yùn)動(dòng)的加速度也是a.

        3.分離前,在豎直方向上,秤盤受到彈簧給的向上的彈力F彈、自身向下的重力mg、物體給的向下的壓力F2這三個(gè)力的作用,而物體則受到向上的力F、自身向下的重力Mg、秤盤給的向上的支持力F1這三個(gè)力的作用,F(xiàn)1=F2.

        4.顯然,在整個(gè)系統(tǒng)剛剛動(dòng)起來的瞬間,注意這一時(shí)刻可視為0時(shí)刻,速度可視為0,時(shí)間仍可記為0,彈簧被壓縮產(chǎn)生的豎直向上的彈力可視為來不及減小,故其大小仍然等于系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的彈力,即等于系統(tǒng)的重力,此時(shí)刻彈力最大.所以,使物體(或系統(tǒng))剛好由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)起來的這一時(shí)刻,力F的值最小.找準(zhǔn)研究對象采用整體法或隔離法進(jìn)行受力分析,并由牛頓第二定律可得,最小值等于(M+m)a.請看下面的證明.

        證明一:用隔離法和整體法

        在0時(shí)刻,Kx0=(M+m)g,相互作用力F1=F2.由牛頓第二定律得

        對物體:F+F1-Mg=Ma①

        對秤盤:Kx0-F2-mg=ma②

        由①②相加可得,F(xiàn)=(M+m)a.

        證明二:用整體法

        把物體和秤盤看成一個(gè)系統(tǒng),由牛頓第二定律得

        F+Kx0-(M+m)g=(M+m)a,

        因?yàn)橄到y(tǒng)剛剛動(dòng)起來時(shí)Kx0=(M+m)g,所以F=(M+m)a.

        5.已知力F在0.2s內(nèi)為變力,F(xiàn)在0.2s內(nèi)究竟是逐漸變大還是逐漸變???因整個(gè)系統(tǒng)向上運(yùn)動(dòng),彈簧彈力因彈簧的伸長會逐漸減小,而加速度a不變,所以對整個(gè)系統(tǒng)利用牛頓第二定律進(jìn)行分析可知,力F在0.2s內(nèi)逐漸增大.

        證明:對整個(gè)系統(tǒng),由牛頓第二定律可得

        F+F彈-(M+m)g=(M+m)a,

        因?yàn)閍、M、m、g是常數(shù),所以F+F彈也是常數(shù).又因?yàn)镕彈在不斷減小,所以F逐漸增大.

        6.既然力F在0.2s內(nèi)逐漸增大,而物體的加速度又始終保持不變,當(dāng)然包括在0.2s內(nèi)物體所受合力的大小、方向始終保持不變,即便以后F變?yōu)楹懔?,物體和秤盤分離時(shí)也是如此.這就出現(xiàn)了一個(gè)問題:在0.2s內(nèi),物體和秤盤之間的相互作用力F1(或F2)怎樣變化?再次利用牛頓第二定律進(jìn)行分析可知,F(xiàn)1(或F2)應(yīng)該是逐漸減小.

        證明:對物體A,由牛頓第二定律可得

        F+F1-Mg=Ma,

        因?yàn)閍、M、g是常數(shù),所以F+F1是常數(shù).

        因?yàn)镕逐漸增大,所以0.2 s內(nèi)F1(或F2)逐漸減小.

        7.分析至此,我們對已知條件“力F在0.2 s內(nèi)為變力,0.2 s后為恒力”進(jìn)行探討,而這也正是解答本題的關(guān)鍵所在.在0.2 s這一時(shí)刻將會是一種怎樣的情形呢?采用假設(shè)法并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析可知,物體和秤盤只能是在0.2 s這一時(shí)刻恰好分離;當(dāng)然,借助數(shù)學(xué)極限或是微積分的思想也能猜出此時(shí)刻兩者分離.除此之外別無二選,否則會和已知條件相悖;也會和前面得出的0.2 s內(nèi)F1(或F2)逐漸減小,力F在0.2 s內(nèi)逐漸增大這些結(jié)論相悖.為了叫大家對用假設(shè)法分析問題引起足夠的重視,筆者仍想做以下陳述.

        證明:假設(shè)物體和秤盤在0.2s這一時(shí)刻不分離,接下來我們分兩種情況展開推理.

        ①設(shè)兩者在t0s(t0<0.2)時(shí)分離.此時(shí)物體只受向上的力F和向下的重力Mg兩個(gè)力的作用,加速度為a.由牛頓第二定律可得,F(xiàn)=Ma+Mg.很顯然F是一個(gè)常數(shù),這說明力F在t0s(t0<0.2)內(nèi)為變力,在t0s(t0<0.2)及其以后為恒力.這和已知條件“力F在0.2 s內(nèi)為變力,0.2 s后為恒力”相矛盾.故假設(shè)不成立.

        ②設(shè)兩者在t0s(t0>0.2)時(shí)分離.同理可證假設(shè)不成立.

        既然假設(shè)不成立,說明兩者就在0.2 s這一時(shí)刻恰好分離.

        8.在0.2 s之前,它們之間的相互作用力F1、F2是逐漸減小的,力F是逐漸增大的.因此,借助數(shù)學(xué)極限或是微積分的思想,不難猜出在0.2 s時(shí),F(xiàn)1、F2減小到零,而F增大到最大.當(dāng)然,采用假設(shè)法并結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行分析也會得到同樣的結(jié)論,證明從略.

        分離時(shí),物體只受豎直向上的力F和自身重力這兩個(gè)力的作用(注意加速度依然為a),由牛頓第二定律不難得出,此時(shí)力F的最大值為M(g+a).0.2 s后,力F以最大值作為恒力不變.

        證明:在0.2 s這一時(shí)刻,物體與秤盤恰好分離時(shí),此時(shí)對物體,由牛頓第二定律可得,F(xiàn)-Mg=Ma,解得F=M(g+a).

        9.分離時(shí),秤盤只受向上的彈力F彈和自身重力mg這兩個(gè)力的作用,分離后顯然如此.只是分離后,即0.2 s后,彈簧在逐漸伸長,彈力在逐漸減小,則秤盤所受合力自然也逐漸減小,導(dǎo)致秤盤的加速度逐漸減小,以后會減小到零,那時(shí)速度達(dá)到最大;可在0.2 s以前,秤盤B加速度一直為a.因此,我們?nèi)匀唤柚跀?shù)學(xué)極限或是假設(shè)法等思想,不難得出在0.2 s這一時(shí)刻秤盤B加速度依然為a的結(jié)論,證明從略.

        10.分離以后,即0.2 s以后,物體繼續(xù)向上做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng).而秤盤一開始也做向上的加速運(yùn)動(dòng)但不勻速,這是因?yàn)閺椈蓮椓υ谥饾u減小.隨者運(yùn)動(dòng)的持續(xù)進(jìn)行,當(dāng)秤盤第一次運(yùn)動(dòng)到彈簧彈力減小到等于自身重力時(shí),合力、加速度第一次變?yōu)榱悖藭r(shí)速度第一次達(dá)到最大值,這一時(shí)刻的位置稱為平衡位置.再后來,秤盤以平衡位置為中心,上下來回做簡諧振動(dòng).而簡諧振動(dòng)第一次瞬時(shí)停止的那一時(shí)刻,彈簧恰好恢復(fù)到原來的長度.

        值得一提的是:本題之所以做如此詳細(xì)的分析,目的有三個(gè),一是全方位進(jìn)行審題,理解本題;二是是叫人們認(rèn)識到,解決物理問題在很多情況下是需要假設(shè),但假設(shè)必須做到有理有據(jù),有理論作支撐,有事實(shí)做后盾;三是提醒大家要善于借助數(shù)學(xué)上的極限(無限逼近)、積分、反證法等數(shù)學(xué)思想,增加對“時(shí)刻”這一物理概念和常用的假設(shè)法的真正理解;四是真正理解“牛頓第二定律”這一重要物理規(guī)律.

        四、正解點(diǎn)評

        為了便于動(dòng)筆解答本題,我們把上面的分析過程,做一個(gè)簡要總結(jié):

        使物體A(或系統(tǒng))剛好由靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)起來的這一時(shí)刻(零時(shí)刻,時(shí)間記為0),Kx0=(M+m)g依然成立,此時(shí)加速度為a,力F的值最小,最小值等于(M+m)a.

        題設(shè)對F的限定條件,決定了物體和秤盤分離的臨界狀態(tài)就在0.2 s這一時(shí)刻.此時(shí),兩者之間的相互作用力減小到零;兩者的加速度依然為a,即彈簧的彈力和秤盤的重力的合力使秤盤產(chǎn)生的加速度,等于拉力F和物體的重力的合力使物體產(chǎn)生的加速度;力F增大到最大值,以后不再變化,最大值是M(g+a).

        到此說明,求出加速度a成為了解決問題的關(guān)鍵.注意分離時(shí),系統(tǒng)從靜止剛剛動(dòng)起來時(shí)(0時(shí)刻)到0.2 s這一時(shí)刻,運(yùn)動(dòng)的位移s等于彈簧靜止時(shí)(零時(shí)刻)被壓縮的長度x0減去0.2 s這一時(shí)刻彈簧被壓縮的長度x.利用運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式和牛頓第二定律,對整個(gè)系統(tǒng)、物體、秤盤等研究對象輪番探索,橫向縱向比較反映物理規(guī)律的關(guān)系式子,即可求出加速度a,從而使問題得到解決.

        至于其它信息,比如0.2 s以后,秤盤B做簡諧振動(dòng);彈簧恰好恢復(fù)到原來的長度;彈簧的彈力等于秤盤的重力;等等.這些信息和分析問題有關(guān),但和動(dòng)筆解題一點(diǎn)關(guān)聯(lián)沒有,不再累述.正因如此,我們的計(jì)算必須緊緊圍繞0.2 s這一時(shí)刻展開作答.

        正解一以位移公式為中心求解

        設(shè)0.2 s這一時(shí)刻,彈簧被壓縮的長度為x,對秤盤B,根據(jù)牛頓第二定律可得

        Kx-mg=ma①

        對整個(gè)系統(tǒng),由靜止剛動(dòng)起來時(shí)(0時(shí)刻)有

        Kx0=(M+m)g②

        由①②③式可得

        剛起動(dòng)時(shí),F(xiàn)的值最小,最小值為

        Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6 N=72 N.

        0.2 s時(shí),物體A與秤盤B恰好分離,此時(shí)F的值最大,最大值為

        Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6)N=168 N.

        正解二以整個(gè)系統(tǒng)為中心求解

        設(shè)0.2 s這一時(shí)刻,彈簧被壓縮的長度為x,秤盤B和物體A運(yùn)動(dòng)位移是s,系統(tǒng)剛剛啟動(dòng)時(shí)彈簧被壓縮的長度為x0,顯然x=x0-s.

        0.2 s時(shí),對物體A,根據(jù)牛頓第二定律可得

        F-Mg=Ma①

        對系統(tǒng),根據(jù)牛頓第二定律可得

        F+Kx-(M+m)g=(M+m)a③

        把①④代入③整理可得

        0時(shí)刻,系統(tǒng)剛起動(dòng)時(shí),F(xiàn)的值最小,最小值為

        Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6N=72N.

        0.2s時(shí),物體A與秤盤B分離,F(xiàn)的值最大,最大值為

        Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6)N=168N.

        正解三以彈力式子為中心求解

        設(shè)0.2s這一時(shí)刻彈簧被壓縮的長度變?yōu)閤,秤盤B和物體A運(yùn)動(dòng)位移是s,系統(tǒng)剛剛啟動(dòng)時(shí)彈簧被壓縮的長度變?yōu)閤0,顯然x=x0=s.則0.2s時(shí)彈力的大小為

        0.2 s時(shí)物體A與秤盤B分離,對秤盤B,根據(jù)牛頓第二定律可得F彈-mg=ma②

        由①②解得a=6 m/s2.

        0時(shí)刻,系統(tǒng)剛起動(dòng)時(shí),F(xiàn)的值最小,最小值為

        Fmin=(M+m)a=(10.5+1.5)×6N=72N.

        0.2s時(shí),物體A與秤盤B分離,F(xiàn)的值最大,最大值為

        Fmax=M(g+a)=10.5×(10+6)N=168N.

        通過對這道試題的正誤解答及分析,我們理應(yīng)受到這樣的啟示:認(rèn)真審題,抓住最有價(jià)值的信息進(jìn)行大膽假設(shè);準(zhǔn)確理解物理概念;選準(zhǔn)研究對象,利用最重要的物理規(guī)律對解決問題所涉及到的方方面面,進(jìn)行層層剖析;根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)過的數(shù)學(xué)、物理等知識,對問題做出合理的假并尋求理論支撐,進(jìn)行小心求證,這些才是解決物理問題的王者之道,正所謂“假設(shè)”誠可貴、“證明”價(jià)更高.

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