李志國(guó),　王　騎,　伍　波,　廖海黎

(1. 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川 成都 610031; 2. 西南交通大學(xué)風(fēng)工程四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 成都 610031)

近年來(lái),通過(guò)橋位區(qū)風(fēng)特性觀測(cè)發(fā)現(xiàn),在山區(qū)峽谷風(fēng)的作用下,風(fēng)攻角往往大于3°[1-4],而在臺(tái)風(fēng)作用下,平均風(fēng)攻角甚至可以達(dá)到7°[5].朱樂(lè)東等[6]通過(guò)研究附加風(fēng)攻角對(duì)扁平箱梁顫振的影響指出,在3°攻角下,即使10%的攻角增量也會(huì)引起顫振風(fēng)速的顯著變化;張宏杰等[7]開(kāi)展了附加風(fēng)攻角對(duì)1 400 m斜拉橋顫振分析,指出了附加攻角對(duì)顫振風(fēng)速有較大影響;歐陽(yáng)克儉等[8]開(kāi)展了類似計(jì)算,也指出了附加攻角對(duì)顫振的影響;熊龍等[9]詳細(xì)研究附加風(fēng)攻角對(duì)千米級(jí)懸索橋的影響,指出附加風(fēng)攻角會(huì)降低橋梁的顫振臨界風(fēng)速.以上文獻(xiàn)主要對(duì)附加攻角對(duì)顫振風(fēng)速的影響開(kāi)展了研究,獲得了定性的結(jié)論,但沒(méi)有對(duì)產(chǎn)生附加攻角后橋梁斷面在不同攻角下的詳細(xì)顫振機(jī)理開(kāi)展研究,從而無(wú)法確定性地解釋附加攻角對(duì)顫振的不利作用,進(jìn)而無(wú)法在大跨度橋梁主梁的顫振設(shè)計(jì)中提出削弱附加攻角影響的措施.

綜上所述,選擇正確的顫振分析理論,研究不同攻角下扁平箱梁的顫振機(jī)理,對(duì)于大跨度橋梁的顫振設(shè)計(jì)有著重要的指導(dǎo)意義.本文以某扁平箱梁為研究對(duì)象,基于不同風(fēng)攻角下的顫振導(dǎo)數(shù),利用Chen等[19-21]提出的雙模態(tài)耦合顫振閉合解法預(yù)測(cè)了斷面在不同風(fēng)攻角下的顫振風(fēng)速,并采用自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)上,分析了不同攻角下氣動(dòng)阻尼、模態(tài)頻率及運(yùn)動(dòng)相位變化規(guī)律的差別,指出了不同攻角下影響這些參數(shù)的主要顫振導(dǎo)數(shù),繼而深入研究了不同攻角下扁平箱梁斷面顫振的發(fā)生機(jī)理,最終解釋了大攻角下橋梁顫振性能弱化的原因,彌補(bǔ)了橋梁風(fēng)工程在此項(xiàng)研究上的不足,為顫振計(jì)算時(shí)考慮附加攻角影響的必要性和重要性提供了支撐,也為考慮附加攻角作用的顫振設(shè)計(jì)提供了參考.

1　雙模態(tài)耦合顫振閉合解計(jì)算理論

為了讀者能夠更好地理解和把握雙模態(tài)耦合顫振閉合解理論,本小節(jié)中的公式推導(dǎo)源于Chen等論文中的相關(guān)推導(dǎo),和原始公式保持一致,并補(bǔ)充了推導(dǎo)中省略了的一些步驟.該理論推導(dǎo)如下:

對(duì)于橋梁系統(tǒng),N自由度體系的振動(dòng)方程均可由如下的振動(dòng)方程進(jìn)行求解.

(1)

式中:M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;q為位移向量;Fse為氣動(dòng)自激力矩陣.

對(duì)于只考慮豎向及扭轉(zhuǎn)兩個(gè)方向自由度的節(jié)段模型,其運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為

(2)

(3)

為準(zhǔn)確描述系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中各個(gè)自由度方向上的衰減特性及周期特性,假設(shè)豎向運(yùn)動(dòng)及扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)均具有如下的指數(shù)形式:q=q0est,其中:q0為豎向振動(dòng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振幅;t為振動(dòng)時(shí)間,代入式(2)、(3)中即可得到式(4)、(5)拉氏域內(nèi)的振動(dòng)方程.

(4)

(5)

式中:s=-ξω+iω為拉氏域內(nèi)的復(fù)頻率,ξ為系統(tǒng)振動(dòng)阻尼比,i為虛數(shù),i2=-1.

橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比一般較小,尤其對(duì)于廣泛使用的扁平箱梁來(lái)說(shuō),阻尼比更是在0.5%以下,因此根據(jù)這一事實(shí)可做如下簡(jiǎn)化.

s2≈-ω2-2ξω2i,

(6)

2ξh0ωh0s≈2ξh0ωh0ωi,

(7)

sh≈iωh,

(8)

sα≈αωi.

(9)

(10)

(11)

由非耦合項(xiàng)氣動(dòng)力確定的新運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的4個(gè)動(dòng)力參數(shù)由式(12)～(15)確定.

(12)

(13)

(14)

(15)

式中:μ=ρb2/m為無(wú)量綱質(zhì)量;υ=ρb4/I為無(wú)量綱質(zhì)量慣矩.

(16)

φ=θ1+θ2,

(17)

(18)

(19)

式中:Rl1為扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)在耦合項(xiàng)作用下的動(dòng)力放大系數(shù),其值由式(20)確定;θ1為耦合力矩滯后于豎向運(yùn)動(dòng)的相位差;θ2為耦合力矩與豎向運(yùn)動(dòng)同相時(shí),其與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的相位差.

(20)

將bα=hΦeiφ及式(16)～(20)代入式(10)移項(xiàng)并化簡(jiǎn)可以得到:

(21)

(22)

由式(21)可知,顯然括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)等于0.由于括號(hào)內(nèi)由實(shí)部和虛部組成,因此有:

(23)

(24)

φ1=φ+θ3,

(25)

(26)

式中:θ3為耦合升力滯后于扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的相位差.

由式(23)、(24)及式(12)、(13)可得出豎向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)下的迭代公式為

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

ψ1=ψ+θ1,

(32)

ψ=θ4+θ3,

(33)

(34)

(35)

(36)

式中:Ψ為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)中豎向運(yùn)動(dòng)與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)振幅比;ψ為豎向運(yùn)動(dòng)與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相位差,為正時(shí)表示扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)滯后于豎向運(yùn)動(dòng);θ4為耦合升力與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)同相時(shí),其與引起的豎向運(yùn)動(dòng)間的相位差;Rd2為豎向系統(tǒng)在耦合項(xiàng)作用下動(dòng)力放大系數(shù).

2　扁平箱梁的顫振計(jì)算結(jié)果

圖1給出了研究所采用的扁平箱梁模型斷面.試驗(yàn)中通過(guò)改變模型質(zhì)量、系統(tǒng)扭彎頻率比等參數(shù),獲得多個(gè)可以和自由振動(dòng)風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比的顫振計(jì)算結(jié)果,由此驗(yàn)證計(jì)算的有效性.計(jì)算參數(shù)和風(fēng)洞試驗(yàn)參數(shù)保持一致,如表1所示.

表1中:α1為初始風(fēng)攻角;ωα0/ωh0為扭彎頻率比;斷面半寬b為0.34 m.

圖1　扁平箱梁模型斷面Fig.1　Cross-section of model

α1casem/kgI/(kg·m2)ωα0/(rad·s-1)ωh0/(rad·s-1 )ωα0/ωh00°110.560.32718.8510.211.8529.610.32519.4411.001.77310.560.37217.6710.211.733°110.560.32718.8510.211.8529.610.32519.4411.001.77310.560.37217.6710.211.735°110.560.32718.8510.211.8529.610.32519.4411.001.77310.560.37217.6710.211.73

采用強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)獲得的0°、3°和5°攻角下的顫振導(dǎo)數(shù)如圖2所示.

圖3給出了斷面在不同攻角下,氣動(dòng)阻尼及模態(tài)頻率隨折減風(fēng)速的變化曲線.風(fēng)速區(qū)間細(xì)部圖(第2列和第4列的圖)中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果,百分號(hào)的數(shù)值為計(jì)算結(jié)果與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差.結(jié)果顯示,各攻角下,計(jì)算結(jié)果與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果保持一致,驗(yàn)證了顫振導(dǎo)數(shù)測(cè)試和顫振計(jì)算結(jié)果的正確性.

根據(jù)表1中的計(jì)算參數(shù)和顫振導(dǎo)數(shù),對(duì)斷面在3種攻角下的顫振性能進(jìn)行了計(jì)算.圖3顯示出,扁平箱梁在不同攻角下均是扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支的氣動(dòng)阻尼首先“由正變負(fù)”,這意味著斷面在不同攻角下均發(fā)生扭轉(zhuǎn)模態(tài)主導(dǎo)的顫振形態(tài),即斷面在顫振時(shí),顫振頻率更接近于扭轉(zhuǎn)頻率而非豎向頻率.盡管豎向模態(tài)分支不占主導(dǎo)控制,但圖中也能明顯看出,不同攻角下,豎向模態(tài)分支氣動(dòng)阻尼變化曲線全然不同.對(duì)于模態(tài)頻率而言,3種攻角下模態(tài)頻率的變化規(guī)律則十分相似,且在數(shù)值上也較為接近.然而圖3的結(jié)果在宏觀上并不能直觀地解釋氣動(dòng)阻尼及模態(tài)頻率的變化規(guī)律,因此需要基于各分項(xiàng)參數(shù)的變化規(guī)律開(kāi)展進(jìn)一步分析.

(a) H*1(b) H*2(c) H*3(d) H*4(e) A*1(f) A*2(g) A*3(h) A*4圖2 不同攻角下顫振導(dǎo)數(shù)Fig.2 Flutter derivatives under different attack angles

(a) 0°時(shí)阻尼比的變化情況(b) 0°時(shí)頻率的變化情況(c) 3°時(shí)阻尼比的變化情況(d) 3°時(shí)頻率的變化情況(e) 5°時(shí)阻尼比的變化情況(f) 5°時(shí)頻率的變化情況圖3 氣動(dòng)阻尼及模態(tài)頻率隨折算風(fēng)速的變化Fig.3 Flutter analysis of aerodynamic damping ratio and modal frequency

3　不同風(fēng)攻角下的顫振機(jī)理

3.1　氣動(dòng)阻尼的變化

圖5則給出了氣動(dòng)阻尼的分項(xiàng)構(gòu)成變化曲線.

(a) 0°(b) 3°(c) 5°圖4 耦合氣動(dòng)力項(xiàng)及非耦合氣動(dòng)力項(xiàng)對(duì)氣動(dòng)阻尼的影響Fig.4 Contributions of coupled and uncoupled terms to damping ratios

3.2　相位差對(duì)顫振的影響

相位差直接影響著耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼的值.圖6分別給出了case 1～3在3種攻角下,θ1、θ3、θ4及ψ1隨折減風(fēng)速的變化規(guī)律.

從圖6中可以看出:

θ1在整個(gè)折算風(fēng)速區(qū)間取值均較大,從圖中θ1曲線及ψ1曲線可以看出:在折算風(fēng)速[6,8]區(qū)間,兩種曲線相隔很近,說(shuō)明在顫振臨界風(fēng)速區(qū)附近,θ1對(duì)相位差ψ1的貢獻(xiàn)十分明顯,而其他兩種相位差貢獻(xiàn)很小,因此,若只需求解顫振臨界風(fēng)速,則假定θ3=0、θ4=0是合理的;在[0,6]的折算風(fēng)速區(qū)間,θ1、θ3是構(gòu)成ψ1的主要因素;在[8,10]的折算風(fēng)速區(qū)間,θ1、θ4是構(gòu)成ψ1的主要因素,因此在高折算風(fēng)速區(qū)間計(jì)算時(shí),可只考慮θ1、θ4的影響.

對(duì)于3種不同攻角,在發(fā)生顫振的折算風(fēng)速區(qū)間[6,8]內(nèi),相位差ψ5(攻角為5°時(shí)的相位差)>ψ3(攻角為3°時(shí)的相位差)>ψ0(攻角為0°時(shí)的相位差),由于0<ψ1<π/2,于是函數(shù)sinψ5>sinψ3>sinψ0.考慮到氣動(dòng)耦合項(xiàng)(-0.5μυΨ1sinψ1)的構(gòu)成,相位差越大提供的氣動(dòng)負(fù)阻尼也越大.

圖7則直接給出了各攻角及各工況下sinψ1的變化規(guī)律.

(a) 0°(b) 3°(c) 5°圖5 總阻尼及其子項(xiàng)隨折算風(fēng)速的變化規(guī)律Fig.5 Total damping and sub-items varying with reduced velocity

(a) 0°(b) 3°(c) 5°圖6 case 1～3中相位差隨折算風(fēng)速的變化曲線Fig.6 Phase lag varying with reduced velocity in case 1-3

圖7　sin ψ1 隨折算風(fēng)速的變化Fig.7　sin ψ1 varying with reduced velocity

3.3　氣動(dòng)力幅值對(duì)顫振的影響

(a) 阻尼比(b) 頻率比(c) 氣動(dòng)幅值(d) 動(dòng)力放大系數(shù)圖8 氣動(dòng)阻尼幅值因子Ψ1相關(guān)的各參數(shù)變化規(guī)律Fig.8 Regularity of sub items of amplitude factor Ψ1

圖9　不同攻角下的氣動(dòng)阻尼幅值因子Fig.9　Amplitude factor under different attack angles

4　結(jié)　論

本文采用的雙模態(tài)耦合顫振閉合解理論,詳細(xì)分析了扁平箱梁在不同風(fēng)攻角下的顫振機(jī)理,得到了以下結(jié)論:

(1) 扁平箱梁在0°～5°攻角下發(fā)生的顫振均是扭轉(zhuǎn)模態(tài)分支主導(dǎo)的彎扭耦合形態(tài)的顫振.在5°攻角下耦合相位角對(duì)應(yīng)的sinψ1取值接近1,表明在此攻角下的顫振是由耦合運(yùn)動(dòng)主導(dǎo)的,而非單自由度扭轉(zhuǎn)顫振.

(2) 在正攻角下的耦合運(yùn)動(dòng)相位角大于0°下的耦合相位角,而相位角增大引起了耦合氣動(dòng)負(fù)阻尼的增大.這也是考慮附加風(fēng)攻角作用后,扁平箱梁的氣動(dòng)負(fù)阻尼會(huì)顯著增加的主要原因.

(3) 在5°風(fēng)攻角條件下,由于非耦合項(xiàng)代表的氣動(dòng)正阻尼隨折算風(fēng)速減小,而耦合項(xiàng)表示的氣動(dòng)負(fù)阻尼增長(zhǎng)顯著,因此導(dǎo)致了顫振風(fēng)速相對(duì)0°和3°攻角顯著降低,從而解釋了附加攻角引起的整體風(fēng)攻角超過(guò)3°后,顫振風(fēng)速極速下降的原因.