王振齊

(中國政法大學(xué) 商學(xué)院， 北京　100088)

0　引言

描述時(shí)間序列的一類隨機(jī)模型是Walker[1]提出的自回歸移動(dòng)平均過程(ARMA).假設(shè)序列的概率統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間改變， 即變化都在固定的均值水平，變動(dòng)具有相同的方差，ARMA模型較好地刻畫了平穩(wěn)時(shí)間序列自相關(guān)的演變規(guī)律.在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.然而，在工業(yè)，商業(yè)等領(lǐng)域時(shí)間序列不具備固定的均值水平.比如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，指標(biāo)由于受到多種非線性因素的作用，呈現(xiàn)波動(dòng)的不平穩(wěn)特性.Holt[2]和Winters[3]分別針對(duì)存在一定增長趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列、季節(jié)性非平穩(wěn)序列建立指數(shù)加權(quán)移動(dòng)模型(EVMA)，較好地刻畫了這兩類特殊時(shí)間序列的變化規(guī)律.更一般的是易丹輝的著作中Box和Jenkins[4]提出的齊次非平穩(wěn)模型(ARIMA)，采用直接差分的方法將時(shí)間序列平穩(wěn)化，差分后的序列滿足了ARMA過程的建模要求.

隨著研究的不斷深入，文獻(xiàn)[5]中的Granger及Hosking，Waxman,Tsay和Ooms等[6-9]在不同領(lǐng)域的研究發(fā)現(xiàn)ARIMA過程采用的直接差分容易造成過度差分.最具代表性的是文獻(xiàn)[5]中的Granger和Hosking[6]，分別獨(dú)立提出的分?jǐn)?shù)階差分模型(ARFIMA)，對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行處理得到了較好的效果.應(yīng)用研究的經(jīng)典之作是Ooms等[9]對(duì)美國、英國通貨膨脹序列進(jìn)行建模并預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)精度相當(dāng)滿意.林雨等[10]基于ARFIMA模型對(duì)黃金收益序列進(jìn)行預(yù)測(cè), 實(shí)證結(jié)果較好.Reisen等[11]通過蒙特卡洛模擬證明5步之內(nèi)ARFIMA模型的預(yù)測(cè)能力優(yōu)于ARMA模型.伍德里奇[12]總結(jié)以往的ARFIMA研究，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家認(rèn)為，一階自相關(guān)系數(shù)大于0.9，就需要進(jìn)行分?jǐn)?shù)階差分處理.和直接差分相比，分?jǐn)?shù)階差分的特點(diǎn)是適當(dāng)?shù)恼{(diào)整了差分的幅度.

近年來，不少國內(nèi)學(xué)者在差分優(yōu)化上做了一些嘗試.吳亮紅等[13]構(gòu)建了一種自適應(yīng)權(quán)重的差分進(jìn)化算法.李牧東等[14]提出了基于最優(yōu)高斯隨機(jī)游走和個(gè)體篩選策略的差分進(jìn)化算法.戈劍武等[15]提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法. 李亞楠等[16]建立了一種基于模擬退火的參數(shù)自適應(yīng)差分演化算法.本文借鑒張昴等[17]提出的矢量差分的方法.一方面改善矢量差分的加法結(jié)構(gòu)以提高差分幅度從而獲得更高的預(yù)測(cè)精度，另一方面用三維空間等時(shí)球?yàn)榭蚣芤越庾x時(shí)間序列的隨機(jī)特性和自回歸特性.

首先以經(jīng)典力學(xué)中的矢量分析法為依托， 用不同大小和方向的作用力對(duì)應(yīng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)受到的多因素.對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行矢量化處理，在空間直角坐標(biāo)系中進(jìn)行正交化分解，用矢量的減法法則處理不平穩(wěn)數(shù)據(jù)[18].結(jié)合質(zhì)點(diǎn)沿球中弦下滑的等時(shí)性，創(chuàng)建基于等時(shí)球中矢量弦的差分方法，并與ARMA過程相結(jié)合，建立ARPMA模型.用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論論證了矢量差分法既能較好地刻畫相鄰兩個(gè)時(shí)點(diǎn)樣本的相關(guān)程度，又避免了過度差分.最后，將該方法應(yīng)用于CPI的預(yù)測(cè)研究，結(jié)果表明有著自適應(yīng)能力的矢量差分法與直接差分法相比，預(yù)測(cè)精度更高，證明了矢量差分法對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列處理的有效性.

1　基于等時(shí)球中矢量弦的差分法原理

1.1　經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的矢量特性

多種非線性因素綜合作用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)造成了經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的不平穩(wěn)特性，用經(jīng)典力學(xué)理論來闡述經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)受到的多因素：一個(gè)方向上的力對(duì)應(yīng)一種作用因素，一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)指標(biāo)的實(shí)現(xiàn)受到了多種大小和不同方向力的作用[18].這是對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)非線性根源、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)序列非平穩(wěn)性波動(dòng)的力學(xué)解讀.經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在這些因素的作用下，其實(shí)現(xiàn)路徑是曲折的、不規(guī)范路徑.物理上，有時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程也是不規(guī)則的,運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線形式的.在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位移時(shí)只要知道質(zhì)點(diǎn)的初始位置.經(jīng)典力學(xué)理論指出位移的大小和方向只和初始位置有關(guān)，和其運(yùn)動(dòng)路徑、運(yùn)動(dòng)過程無關(guān)，這就是位移的矢量特性，如圖1所示.

圖1　曲折的路徑和規(guī)則的位移

在研究經(jīng)濟(jì)指標(biāo)大小變動(dòng)時(shí)，可以借鑒位移的矢量分析特點(diǎn).把各期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)從同一點(diǎn)出發(fā)以其大小為長度，按照一定規(guī)則畫在矢量空間中.此時(shí)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)有大小和方向兩個(gè)要素，在矢量空間中有三個(gè)維度，這樣能更好地反映經(jīng)濟(jì)指標(biāo)大小的不確定性和方向的復(fù)雜性[18].物理學(xué)中，力的分解、合成運(yùn)算是按照矢量法則進(jìn)行的.那么受多種因素作用的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)也應(yīng)該用矢量法則進(jìn)行分析.下面先介紹非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的矢量差分法則.然后探究經(jīng)濟(jì)指標(biāo)等間隔采集特性的力學(xué)機(jī)制，用質(zhì)點(diǎn)沿球中弦下滑的等時(shí)性對(duì)其進(jìn)行刻畫,進(jìn)而用解析幾何的方法對(duì)球中矢量弦進(jìn)行差分處理.

1.2　矢量化經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的差分法則

圖2　矢量差分法則

1.3　質(zhì)點(diǎn)沿球中弦下滑的等時(shí)性和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)等間隔采集特性的對(duì)應(yīng)

如圖3所示，質(zhì)點(diǎn)從球面上任意一點(diǎn)P沿直線下滑到球的最低點(diǎn)O所用的時(shí)間相等.此即質(zhì)點(diǎn)沿球中弦下滑的等時(shí)性.運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式很容易給出證明.

圖3　質(zhì)點(diǎn)沿球中弦下滑的等時(shí)性

2　矢量差分的數(shù)值計(jì)算及其統(tǒng)計(jì)特性

為了坐標(biāo)系中計(jì)算方便，也為了消除指標(biāo)數(shù)量級(jí)以便進(jìn)行三角函數(shù)計(jì)算，在不改變數(shù)據(jù)規(guī)律的條件下，采用

P=λ|OP|/|OP|max

(1)

式(1)中：0<λ<1.

把原始指標(biāo)數(shù)據(jù)映射到[0,λ]區(qū)間內(nèi).在等時(shí)球模型中λ的值即為指標(biāo)數(shù)據(jù)中的最大值.下面從動(dòng)力學(xué)最降速原理給出指標(biāo)數(shù)據(jù)中最大值的產(chǎn)生條件.

2.1　數(shù)據(jù)最大值在動(dòng)力學(xué)最降速特性下產(chǎn)生

圖4　45 °傾角斜槽的最降速特性

(2)

把原始指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后用解析幾何理論對(duì)其做差分計(jì)算.

2.2　對(duì)球上弦進(jìn)行矢量差分計(jì)算的解析幾何方法

物理上，對(duì)矢量做數(shù)值計(jì)算的方法是解析幾何法.取球的直徑為1，矢量指標(biāo)的仰角(與水平面的夾角)為θ，矢量指標(biāo)OP在水平面投影的方向角(逆時(shí)針，與x軸正方向的夾角)為ω，如圖5所示.

圖5　對(duì)矢量進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的解析幾何法

對(duì)經(jīng)過P點(diǎn)和最低點(diǎn)O的大圓OPO′做分析.根據(jù)弦切角定理易得出圓周角∠OPO′等于弦切角θ.在直角三角形OO′P，易得|OP|為sinθ.基于P點(diǎn)的任意性，得出在直徑為1的圓中任意圓周角θ對(duì)應(yīng)的弦長為sinθ.此時(shí)OP在z軸方向的正投影為sinθsinθ，OP在x軸方向的分量為sinθcosθcosω，y軸方向的分量為sinθcosθsinω.觀察x軸分量和y軸分量的數(shù)值發(fā)現(xiàn)，無論ω為何值，二者矢量和的大小總是為sinθcosθ這表明作用于x,y的不同大小的因素可以組合為數(shù)值相等的水平面指標(biāo)分量xoy，我們稱之為矢量指標(biāo)的隨機(jī)分量，稱z軸分量為趨勢(shì)分量.若取ω=θ，求得x軸分量sin2θcosθ/2 ，y軸分量sin2θsinθ/2.

對(duì)x,y,z三個(gè)分量分別進(jìn)行差分，得到序列{dxn},{dyn},{dzn}，進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，然后還原得到{xfn}，{yfn},{zfn},進(jìn)而根據(jù)

(3)

得到預(yù)測(cè)值序列{pfn}.

2.3　矢量差分的統(tǒng)計(jì)特性

分?jǐn)?shù)階差分能夠避免直接差分過度的缺陷，差分特點(diǎn)為(pn-pn-1)d,一般地0.5sinθn-sinθn-1=pn-pn-1，也能兩期指標(biāo)差分?jǐn)?shù)值放大，同樣防止了過度差分[17].另一方面，矢量差分時(shí)一階自相關(guān)系數(shù)ρ1得到了自適應(yīng)性調(diào)整.以AR(1)模型為例，ρ1=Corr(pn,pn-1).ρ1大于0.9就需要進(jìn)行差分處理[12].一般地，由于ρ1很接近1，常常將其簡單地認(rèn)為是1.然而實(shí)際中兩期指標(biāo)的相關(guān)比例很大程度上是不確定的，下面證明矢量差分具有自適應(yīng)性的特點(diǎn).

圖6　自相關(guān)系數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整

觀察圖6發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Δθ較大時(shí)ρ就較小.這與連續(xù)兩期樣本點(diǎn)相關(guān)性較差時(shí)數(shù)值相差較大是一致的.因此，矢量差算法的相關(guān)系數(shù)更符合現(xiàn)實(shí)情況.下面選取CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究.

3　實(shí)證研究

為了證明矢量差分在刻畫時(shí)間序列非平穩(wěn)時(shí)間序列的有效性，本文選取CPI數(shù)據(jù)(2000年1月至2018年1月)做分析，共217個(gè)數(shù)據(jù)，選用前205個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后12個(gè)月份樣本作為驗(yàn)證集，數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計(jì)局.

3.1　CPI序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

首先按照矢量差分的數(shù)值計(jì)算及其統(tǒng)計(jì)特性中的計(jì)算方法，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使用ADF、DFGLS檢驗(yàn)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的序列{Pn}進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1　歸一化后序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

從表1可以看出，CPI序列未通過ADF、DFGLS檢驗(yàn)，此時(shí)應(yīng)當(dāng)接受序列不平穩(wěn)的假設(shè)，認(rèn)為序列是非平穩(wěn)的.

3.2　直接差分處理后建模

直接差分后的序列{dPn}通過ADF檢驗(yàn)，可以認(rèn)為時(shí)間序列己經(jīng)平穩(wěn).觀察序列自相關(guān)函數(shù)圖像和偏自相關(guān)函數(shù)圖像，選擇ARMA(1,2)模型.模型相應(yīng)輸出參數(shù)如表2所示.

表2　直接差分建模參數(shù)輸出

參數(shù)估計(jì)后，對(duì)擬合模型的適應(yīng)性進(jìn)行LM檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)殘差不存在自相關(guān)性.對(duì)殘差序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，結(jié)果表明殘差序列不存在波動(dòng)率聚集現(xiàn)象.因此，該ARMA模型合理.

3.3　矢量差分處理后建模

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的序列{Pn}在等時(shí)球內(nèi)進(jìn)行矢量化處理，根據(jù)第二部分提出的計(jì)算方案，對(duì)三個(gè)分量序列分別建模處理.矢量差分后的三個(gè)分量序列{dxn},{dyn},{dzn} 均通過ADF檢驗(yàn)，認(rèn)為時(shí)間序列己經(jīng)平穩(wěn).

序列{dxn}選擇ARMA (2,3)模型.模型相應(yīng)輸出參數(shù)如表3所示.

表3　序列{dxn}建模參數(shù)輸出

序列{dyn}選擇ARMA (3,3)模型.模型相應(yīng)輸出參數(shù)如表4所示.

表4　序列{dyn}建模參數(shù)輸出

序列{dzn}選 擇 ARMA(3，3)模型.模型相應(yīng)輸出參數(shù)如表5所示.

表5　序列{dzn}建模參數(shù)輸出

對(duì)上述三個(gè)擬合模型進(jìn)行LM檢驗(yàn)、ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，結(jié)果表明模型合理.

3.4　預(yù)測(cè)和評(píng)價(jià)

對(duì)三個(gè)分量序列{dxn},{dyn},{dzn}用靜態(tài)預(yù)測(cè)法做檢驗(yàn)集的12個(gè)月份數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，進(jìn)而還原CPI序列，結(jié)果如表6所示.

表6　矢量差分法和直接差分法預(yù)測(cè)結(jié)果

為了更直觀地比較矢量差分法、直接差分法的預(yù)測(cè)效果，釆用絕對(duì)百分比誤差MAPE、均方誤差MSE對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果如表7所示.

表7　矢量差分法和直接差分法誤差比較

顯然，由表7可以看出，矢量差分法與直接差分法相比，在對(duì)CPI序列做預(yù)測(cè)(2017年2月至2018年1月)時(shí)，預(yù)測(cè)誤差更低，絕對(duì)誤差降低了5%左右，相對(duì)誤差降低了10%以上，充分顯示了矢量差分法在對(duì)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)差分時(shí)，因其自相關(guān)系數(shù)的適應(yīng)性，避免了過度差分，較好地刻畫了序列演變規(guī)律.

4　結(jié)論

本文采用經(jīng)典物理學(xué)中矢量的分析法為依托，解讀時(shí)間序列的非平穩(wěn)性.首先，分別介紹了力學(xué)矢量分析的合成、分解原理，矢量數(shù)值計(jì)算的三角形法則,用矢量減法做差分以處理非平穩(wěn)序列.接著基于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)釆集的等間隔特性，將經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在等時(shí)球中做矢量化處理.用力學(xué)理論給出了最大值和球中矢量弦的對(duì)應(yīng)條件，給出數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化公式.進(jìn)而在空間直角坐標(biāo)系中對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)正交化分解得到三個(gè)正交分量序列，對(duì)三個(gè)序列做差分處理得到平穩(wěn)時(shí)間序列，然后合成矢量差分.考察矢量差分的數(shù)值特征發(fā)現(xiàn)，矢量差分一方面避免了過度差分，一方面在差分處理時(shí)可以做到自適應(yīng)調(diào)整.對(duì)CPI序列和三個(gè)矢量形式的分序列構(gòu)建ARMA模型基本一致，進(jìn)行12個(gè)月份的靜態(tài)預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)誤差更低，絕對(duì)誤差降低了5%左右，相對(duì)誤差降低了10%以上，充分論證了矢量差分法在詮釋經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)特征時(shí)的有效性.