董 麗,孔祥智

江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122

1 引言

近年來(lái)，自動(dòng)機(jī)理論，碼論等新興學(xué)科交叉研究的需要，使得半群理論的發(fā)展非常迅速。半群代數(shù)作為一種群結(jié)構(gòu)的弱化，因?yàn)槠鋵?duì)二元運(yùn)算僅要求結(jié)合律成立，故應(yīng)用范圍比群要廣泛的多，尤其是在組合數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。半群代數(shù)理論的研究方法與群的研究方法有很大區(qū)別，獲得的研究成果也非常的豐富多樣。本文試圖將模糊集與半群代數(shù)相結(jié)合并從一個(gè)全新的角度將最接近群定義的著名半群—Clifford半群模糊化，即從模糊關(guān)系的角度研究E-模糊Clifford半群，目前這一類(lèi)的研究還不多見(jiàn)。

Clifford半群的模糊化作為模糊代數(shù)的一個(gè)全新的擴(kuò)充，不但能從一個(gè)全新的角度研究半群代數(shù)理論，也為解決模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題提供了一個(gè)新的思路。

2 預(yù)備知識(shí)

定義 1[1]設(shè)U,V為兩個(gè)全集，隸屬函數(shù)R為U到V的一個(gè)模糊關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)為F關(guān)系，記為R。對(duì)稱(chēng)R(x,y)為x對(duì)y具有關(guān)系R的相關(guān)程度。特別地，若U=V，R:稱(chēng)R為U上的(二元)F關(guān)系。

定義2[2]設(shè)記

則稱(chēng)Rλ為R的λ截集，稱(chēng)Rsλ為R的λ強(qiáng)截集。

定義 3[2]設(shè)有:

則稱(chēng)R為r上的模糊關(guān)系。若R滿足:

（1）R是弱F自反?x,y∈U，R(x,y)≤r(x,x)且

（2）R是F對(duì)稱(chēng)，即?x,y∈U，R(x,y)=R(y,x);

（3）R是F傳遞，即(“∧”表示取下確界);

稱(chēng)R為U上的弱模糊等價(jià)關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)弱F等價(jià)關(guān)系，即

（注釋?zhuān)罕硎綰上所有的弱模糊等價(jià)關(guān)系，表示U上的所有模糊關(guān)系。）

定義 4[3]若則稱(chēng)(U,R)為E?模糊集。特別地，若R滿足可離性，稱(chēng)(U,R)為可離E?模糊集。（注釋:E-僅代表模糊結(jié)構(gòu)，即弱F等價(jià)關(guān)系）

引理 1[4]設(shè)S為半群，下面幾個(gè)條件等價(jià):

（1）S是Clifford半群;

（2）S是群的半格;

（3）S是群的強(qiáng)半格;

（4）S是正則的且S的冪等元是中心冪等元。

這里的Clifford半群其中Y為半格，Sα為S的非交子群，并記子群Sα的單位元為簡(jiǎn)記為eα。

設(shè)且φα,β為同態(tài)映態(tài)。特別地

定義 5若μ為Clifford半群S的模糊集且對(duì)任意的a,b∈S，有

稱(chēng)S為模糊Clifford半群。類(lèi)似地，若對(duì)S上的弱F等價(jià)關(guān)系R有:

稱(chēng)R與S的運(yùn)算是相容的，即S為模糊Clifford半群。

3 主要結(jié)果及證明

本節(jié)我們將模糊Clifford半群與弱模糊關(guān)系相結(jié)合，定義E-模糊Clifford半群，進(jìn)而研究其上截集決定的模糊商集與E-模糊Clifford半群之間的關(guān)系。

定義 6設(shè)S為具有一個(gè)二元運(yùn)算（·）及兩個(gè)一元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，令其中R為S上的弱F等價(jià)關(guān)系。Clifford半群顯然是這樣的一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。若

稱(chēng)SR為E?模糊Clifford半群。若R滿足可離性，則稱(chēng)SR為可離E?模糊Clifford半群。

定義 7設(shè)為E-模糊Clifford半群， ∈[0,1]?λ，Rλ為R的λ截集，[x]表示的等價(jià)類(lèi)。

記

則稱(chēng)為由Rλ決定的模糊商集，即F商集。

定理 1若為E-模糊Clifford半群充要條件是構(gòu)成Clifford半群，其中為Rλ決定的F商集。

證明 （必要性）（1）證結(jié)合律。由λ截集定義知所以則

那么，對(duì)因此結(jié)合律成立。

由R的F傳遞性知，那么，對(duì)x∈rλ，有

（4）證有

那么，對(duì)x∈rλ，有

（5）證

這里分別為Sα,Sβ的單位元。有

（充分性）（1）設(shè)是Clifford半群，則

（2）設(shè)是Clifford半群，則即有

（3）同理可得

綜上所述，SR為E-模糊Clifford半群。

4 總結(jié)

本文將模糊代數(shù)與半群代數(shù)相結(jié)合從弱F等價(jià)關(guān)系的角度研究Clifford半群，引入了E-模糊Clifford半群的概念，并討論了它的基本代數(shù)性質(zhì)，獲得一些有意義的結(jié)果。此外，還可以用類(lèi)似的方法研究逆半群、完全正則半群等代數(shù)結(jié)構(gòu)。將在后續(xù)工作中進(jìn)行討論。

[1]Zadeh LA.Fuzzy set[J].Information and Control,1965,8:338-353

[2]陳水利,李敬功,王向公.模糊集理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005

[3]Budimirovi? Branka,Budimirovi? Vjekosl Av,?e?elia Branimir.E-fuzzy groups[J].Fuzzy Sets and Systems,2016,289:94–112

[4]Howie John M.Fundamentals of semigroup theory[M].England:Oxford University Press Inc,1995,103-14