陸有海

（作者單位：浙江紹興文理學(xué)院）

一、回顧已知圖形，搭建基礎(chǔ)平臺

圓是幾何圖形，圓是一個幾何圖形的數(shù)學(xué)概念。任何數(shù)學(xué)概念都有自己的知識結(jié)構(gòu)，幾何圖形的數(shù)學(xué)概念也有自己的知識結(jié)構(gòu)，這種知識結(jié)構(gòu)一般由兩部分組成：概念的意義與表征方式。數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是一個數(shù)學(xué)化的過程，數(shù)學(xué)化分為橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化，由生活到數(shù)學(xué)的幾何圖形概念的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程是一個橫向數(shù)學(xué)化的過程，顯然，在人的主觀能動作用下，在人的想象與推理的作用下，通過縱向數(shù)學(xué)化也可以實現(xiàn)幾何圖形概念的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。

二、創(chuàng)設(shè)生活情境，明確研究對象

根據(jù)圓形概念與其他幾何圖形概念的關(guān)系，我們選擇橫向數(shù)學(xué)化的創(chuàng)造方式。利用實物展示或投影，為學(xué)生進(jìn)行幾何圖形概念的研究與創(chuàng)造提供豐富的材料。

圖1：生活中的圓形

三、描繪物體形狀，經(jīng)歷抽象過程

在生活中，圓形物體，有的在天上，有的在地上，有的家中用，有的路上跑。在數(shù)學(xué)中，圓形是一個圖形，它在書上，它在你的作業(yè)紙上。為什么生活中的圓形會跑到書中去呢？它又是怎樣跑進(jìn)去的呢？

1．觀察想象，感知圓形。

讓學(xué)生觀察觸摸生活中的圓形物品，初步感知一種物體表面的“圓圓”形狀；讓學(xué)生閉眼想象物體表面的“圓圓”形狀，初步體驗由客觀物體到思維形象的抽象過程。

2．意念描繪，實體勾勒。

圓形的精準(zhǔn)制作是一件困難的事件，我們必須給學(xué)生搭建突破難點(diǎn)的腳手架,讓學(xué)生經(jīng)歷由易到難的圓形圖形的繪制過程。首先，用手指指著物體表面的邊緣，慢慢地想象著描繪物體的圓形邊緣；其次，用手指在桌面（或練習(xí)紙）描繪某一物體表面的圓形形狀；第三，用鉛筆在練習(xí)紙上畫出某一物體表面的圓形形狀，感知自己畫出的（不像的、不好的）圓形形狀；最后，引導(dǎo)學(xué)生思考，有沒有東西的圓形形狀，可以比較好地把它畫出來？讓學(xué)生用硬幣實物幫助描繪圓形形狀，從而為進(jìn)一步研究“圓”奠定了基礎(chǔ)，為探求數(shù)學(xué)方法畫圓形圖搭建了有效平臺。

四、探究圖形特征，完善知識結(jié)構(gòu)

圖2：圓上兩點(diǎn)之間線段長度變化規(guī)律的研究

1．第一次發(fā)現(xiàn)圓上最長的線段。

（1）操作感知，理性推測。

如圖2所示，在用硬幣描繪成的圓形圖上取一點(diǎn)A1，朝著圓形上的另一點(diǎn)B1，可以走出一條路，也可以測出這條路的路程；同理，從A1出發(fā)，我們還可以朝著B2走出一條路，并測出這條路的路程。這樣，我們便有了這樣兩個問題：一是圓形上的線段A1Bx可以作多少條？LA1Bx的值一直都會越來越大嗎？如果不會越來越大，那么什么時候開始變小的呢？

顯然，使得LA1Bx>LA1Bx-1的線段可以作出無數(shù)條，但不等于這種關(guān)系永遠(yuǎn)能夠成立。

顯然，由LA1Bx>LA1Bx-1到LA1Bx

如圖2（左）所示，當(dāng)LA1Bx=4.00厘米時，圓形上兩點(diǎn)之間的線段長度達(dá)到了最大值。顯然，在這樣的情境下，這樣的線段，有且只有一條。

（2）憑借經(jīng)驗，創(chuàng)造數(shù)學(xué)。

根據(jù)“距離”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，這種變化中不變的最長線段，一般都要給出獨(dú)有的名稱，這就是圓的直徑。為什么會叫做直徑？這是一個非常有意思的問題，這要回到生活情境當(dāng)中來體悟了。我們平時行走的軌跡都叫做“路”，有時稱作路徑，因此，在圓形上，從一點(diǎn)走到另一點(diǎn)的軌跡也可以叫做路徑，這條最長的直直的路徑，我們可以簡稱為直徑。

2．第二次發(fā)現(xiàn)圓上最長線段的特性。

（1）重復(fù)操作，偶遇半徑。

從一個固定的點(diǎn)出發(fā)，作圓形上的線段，有一條最長的線段。如果固定的點(diǎn)的位置發(fā)生變化會怎樣呢？是不是也會出現(xiàn)這樣一條最長的線段呢？這兩條線段會以什么樣的形態(tài)出現(xiàn)在我們面前呢？如果相交又會出現(xiàn)什么情況呢？如圖2（右）所示，我們重復(fù)第一次發(fā)現(xiàn)最長線段的操作，找出同一個圓形上由點(diǎn)出發(fā)的最長線段。這時，我們把不是最長的線段全部擦除，剩下兩條最長的圓形上的線段，如圖3所示。引導(dǎo)學(xué)生觀察兩條最長線段相交的交點(diǎn)，分別把各自的線段分成了兩部分，形成了四條線段。觀察這四條線段的長度，通過想象猜測與測量驗證，驚喜地發(fā)現(xiàn)：圓上兩條最長的線段相交并且相互分割成相等的四段，如圖3所示，而且每段都是直徑的一半，因此，可以把它叫做圓的半徑。

圖3：直徑相交于同一點(diǎn)（圓心）

（2）猜測驗證，發(fā)現(xiàn)圓心。

想象猜測之一：兩條直徑相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)把直徑分成了相等的兩半。那么，再作一條這樣的直徑，是否還會相交于這一點(diǎn)呢？

想象猜測之二：兩條直徑相交于一點(diǎn)，那么，通過這一點(diǎn)的圓上的每段是不是一定是直徑呢？

通過實際操作與測量，發(fā)現(xiàn)圓上所有的直徑都相交于這點(diǎn)，并且只有通過這一點(diǎn)的所有圓上的線段都是直徑。

通過實際操作與測量，我們還發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)到圓上的任何一點(diǎn)的線段都相等，而且都等于直徑的一半。因此，這一點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離都相等的這一點(diǎn)是圓的中心點(diǎn)，我們可以把它叫做圓心。

五、研究圓形特征，創(chuàng)造畫圓方法

研究數(shù)學(xué)就是研究解決實際問題的數(shù)學(xué)方法。開始，我們隨手畫圓，畫得很不圓，只有借助實物模型才能把它真實地描出來。如果無法借助實物模型描繪圓形，那么我們該怎么辦？

1．畫圓的策略思想。

我們已經(jīng)知道：圓有圓心，有半徑；我們也可以通過推測知道：圓上的點(diǎn)可以由圓心與半徑來決定。因此，我們的結(jié)論：如果知道圓的位置，如果知道圓的半徑，那么就可以找出圓上的點(diǎn)。畫出所有圓上的點(diǎn)，圓形也就畫出來了。圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。

2.畫圓的操作技術(shù)。

第一步：實際測量實體圓的直徑，通過計算獲得圓的半徑；第二步：確定畫圓的位置，也就是定好圓心；第三步：根據(jù)測量距離的經(jīng)驗，依據(jù)半徑長度確定圓上的一個點(diǎn)；第四步：以此類推，畫出圓上所有的點(diǎn)；第五步：第一步到第四步的操作技術(shù)的改良，形成類似于圓規(guī)的畫圓工具，并介紹圓規(guī)的結(jié)構(gòu)、功能，詮釋圓規(guī)的作圖原理。

六、總結(jié)探究結(jié)果，明確圓的意義

通過自己的探索發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，我們知道了圓心、半徑與直徑，也知道了圓上的點(diǎn)是離開圓心的距離是半徑的點(diǎn)，“圓”是這些點(diǎn)的一個集合。圓的半徑?jīng)Q定圓的大小。畫圓的方法，分為幾種情況：一是畫隨意的圓，只要在平面（物體的表面，即紙或板等）上，確定任意一點(diǎn)作為圓心，取任意可取的長度作為半徑，畫出圓上的所有點(diǎn)就行；二是畫確定大小與確定位置的圓，這時，你必須找到確定的點(diǎn)作為圓心，必須以規(guī)定的長度作為半徑長度，才可以畫出圓上的所有點(diǎn)；三是畫某個實物表面上的圓，這時，你必須自主確定畫圓的位置，必須測量實物表面上的圓的直徑（或者半徑），才可能將實物表面上的圓，畫到你需要的平面（設(shè)計圖紙或練習(xí)紙）上。

通過總結(jié)回顧，我們知道了圓是到定點(diǎn)（圓心）距離（半徑）都相等的點(diǎn)的軌跡（集合）。

七、交流研究結(jié)論，拓展研究思路

自然現(xiàn)象含有動靜兩種狀態(tài)。“圓的意義的獲取與表征”的過程是基于靜態(tài)現(xiàn)象觀察感知為邏輯起點(diǎn)的探索發(fā)現(xiàn)過程，這是一次“圓的認(rèn)識”教學(xué)設(shè)計的全新探索，充分體現(xiàn)了人認(rèn)識客觀世界的自然性與邏輯性。事實上，與圓相關(guān)的自然現(xiàn)象還存在著一種動態(tài)現(xiàn)象，如，摩天輪、風(fēng)車或繩子一端吊上一個物件手拿住另一端用力甩動等，如果對這種動態(tài)現(xiàn)象進(jìn)行想象與抽象，那么對于認(rèn)識圓的圓心、半徑、動點(diǎn)軌跡等數(shù)學(xué)概念會具有更豐富的直觀支持。