張 睆，辛自強(qiáng)，陳英和，胡衛(wèi)平

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小學(xué)兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解水平及模式：基于潛在類別分析

張 睆1，2，辛自強(qiáng)3，陳英和4，胡衛(wèi)平1

（1．陜西師范大學(xué) 現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710062；2．山西師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾 041004；3．中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 社會(huì)與心理學(xué)院，北京 100081；4．北京師范大學(xué) 心理學(xué)部發(fā)展心理研究院，北京 100875）

分?jǐn)?shù)符號(hào)在不同情境下分別指稱部分－整體、測(cè)量、比、算子和商5種語義含義．使用分?jǐn)?shù)概念語義理解測(cè)驗(yàn)，基于潛在類別分析方法，對(duì)295名小學(xué)六年級(jí)兒童的分?jǐn)?shù)概念語義理解水平和模式進(jìn)行評(píng)估．結(jié)果表明：（1）從不同語義含義的理解水平差異上看，由高到低為商、部分－整體、測(cè)量、比、算子；（2）從語義含義掌握模式來看，部分－整體、測(cè)量、比、算子均可分為掌握良好組和不良組兩類．其中，在部分－整體和算子含義上，兩組被試?yán)斫馑讲煌Ｊ筋愃疲跍y(cè)量和比含義上，兩組兒童理解水平和模式均有較大差異；（3）從各語義理解的掌握模式類別間關(guān)系來看，掌握良好組的歸類一致性高于掌握不良組．

分?jǐn)?shù)概念；語義理解；掌握模式

1 前言

理解數(shù)學(xué)符號(hào)含義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)教育的基本要求，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)[1]．而在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)符號(hào)的含義尤難理解[2]．在數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)的形式化定義為“所有形如/的數(shù)集，其中、都是整數(shù)，且≠ 0”．該定義說明了分?jǐn)?shù)概念的符號(hào)形式（形如/的數(shù)集），并未說明符號(hào)/代表何種含義．概念分析表明，分?jǐn)?shù)/至少表示5種含義：部分－整體、測(cè)量、比、算子與商[3]．這些含義稱為分?jǐn)?shù)概念的語義含義（semantic meaning），代表了不同問題情境中兩個(gè)量間的特定關(guān)系[4]．具體而言，“部分－整體”含義表示了在分配問題情境中整體量與部分量之間的包含與補(bǔ)償關(guān)系，“測(cè)量”含義表示了測(cè)量情境中所測(cè)量與單位量之間的包含關(guān)系，“比”含義表示了比例問題情境中兩個(gè)量之間的比例關(guān)系，“算子”含義則表示了各種變換問題情境中輸入量與輸出量之間的變換關(guān)系，而“商”含義表示了在數(shù)學(xué)運(yùn)算中被除數(shù)與除數(shù)之間的除法運(yùn)算關(guān)系[5]．由于這些問題情境代表了小學(xué)階段兒童可能遇到的分?jǐn)?shù)問題，因此這些含義代表了小學(xué)階段兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)概念可能的語義理解．

教育雖邁向可能，卻須從現(xiàn)實(shí)出發(fā)．上述概念分析只說明了小學(xué)兒童可能的分?jǐn)?shù)概念語義理解，卻不能回答他們實(shí)際上如何理解分?jǐn)?shù)概念語義含義．要說明后者，關(guān)鍵是測(cè)評(píng)小學(xué)兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念語義含義的理解水平和掌握模式．所謂理解水平，即兒童對(duì)每種語義含義的理解水平的高低．所謂掌握模式，就是不同兒童對(duì)每種語義含義的具體理解方式．由于每種分?jǐn)?shù)語義含義的理解都包括一系列必要的認(rèn)知成分[6]（見表1），掌握模式即評(píng)估不同兒童在理解該種語義含義時(shí)，哪些認(rèn)知成分掌握較好，而哪些認(rèn)知成分掌握較差．

評(píng)估掌握模式的實(shí)質(zhì)是進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)診斷，即根據(jù)兒童在測(cè)驗(yàn)上的反應(yīng)，對(duì)其知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類和識(shí)別．傳統(tǒng)的規(guī)則空間模型或?qū)傩詫哟文Ｐ?，雖可以在個(gè)體水平上對(duì)單個(gè)兒童的掌握模式進(jìn)行精確判定，但當(dāng)兒童數(shù)量較多時(shí)，往往會(huì)得出較多的掌握模式類別[7]．例如，有研究者使用規(guī)則空間模型方法分析了被試在瑞文推理測(cè)驗(yàn)上的掌握模式，最終得到48種典型掌握模式[8]．顯然，在面對(duì)眾多典型掌握模式時(shí)，教師將難以在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)進(jìn)行針對(duì)性的干預(yù)．因此，傳統(tǒng)的規(guī)則空間模型或?qū)傩詫哟文Ｐ头椒m有利于對(duì)個(gè)別學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確判定，并通過智慧教學(xué)輔助系統(tǒng)等個(gè)別教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的知識(shí)缺陷進(jìn)行補(bǔ)救，但過多的掌握模式并不利于教師在班級(jí)教學(xué)情境下對(duì)學(xué)生進(jìn)行群體水平的補(bǔ)救干預(yù)．

從課堂教學(xué)的現(xiàn)實(shí)需求來看，教師需要的知識(shí)結(jié)構(gòu)診斷方法，既要能科學(xué)地區(qū)分學(xué)生的掌握模式，同時(shí)類型數(shù)目又不宜太多．潛在類別分析（Latent Class Analysis,）可以起到這樣的作用．分析可以根據(jù)外顯的行為指標(biāo)來判斷個(gè)體的潛在心理特征進(jìn)行分類，得出各類型的人數(shù)比例，并判定個(gè)體的類別歸屬，有助于對(duì)各種特征的個(gè)體進(jìn)一步地研究和干預(yù)[9]．在知識(shí)和能力測(cè)驗(yàn)中，潛在類別模型是基于考生在每道題目上的作答情況對(duì)被試做出分類，而非僅僅基于總分高低．因此當(dāng)測(cè)驗(yàn)中每道題目都用于測(cè)量特定的認(rèn)知成分時(shí)，潛在類別就能表示個(gè)體對(duì)這些認(rèn)知成分的掌握模式[10]．同時(shí)，的類型判別標(biāo)準(zhǔn)相對(duì)簡(jiǎn)潔，因此得到的類型數(shù)目較少．例如，同樣是分析被試在瑞文推理測(cè)驗(yàn)上的掌握模式，當(dāng)使用潛在類別模型方法分析時(shí)，研究者得到3種典型的掌握模式[11]．另外，由于潛在類別分析是基于結(jié)構(gòu)方程模型的類別分析方法，在類別劃分上既有較為明確的判別標(biāo)準(zhǔn)，也不需考慮外顯變量的量綱差異，以及外顯變量之間的關(guān)聯(lián)性，因此也優(yōu)于傳統(tǒng)的聚類分析方法．

在研究中，將采用潛在類別分析法，探討小學(xué)兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念語義含義的理解水平和典型掌握模式．具體包括：（1）在多種分?jǐn)?shù)語義含義中，兒童對(duì)哪種含義掌握較好，哪種掌握較差；（2）對(duì)于每種語義含義，兒童具有哪些典型的掌握模式，不同的掌握模式間有何差異；（3）各典型掌握模式在不同語義含義間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．例如在部分整體概念上屬于某種典型掌握模式的個(gè)體，在另一子概念上的掌握模式如何．通過分析每種語義含義的理解水平，掌握模式，以及各語義含義的掌握模式間的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以對(duì)兒童分?jǐn)?shù)概念語義含義的掌握情況做出更為精細(xì)的診斷，從而為群體水平上的教育干預(yù)提供依據(jù)．

2 研究方法

2.1 被試

從山西省臨汾市和忻州市共4所普通小學(xué)中整班選取6年級(jí)兒童295名，其中男生150名，女生145名．平均年齡12.8歲．這些學(xué)校采用人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，所有兒童在測(cè)試前，均已學(xué)習(xí)過小學(xué)分?jǐn)?shù)知識(shí)的全部?jī)?nèi)容．

2.2 研究工具

由張睆、辛自強(qiáng)編制的“兒童分?jǐn)?shù)概念理解測(cè)驗(yàn)”，該測(cè)驗(yàn)包括部分—整體、測(cè)量、算子、比、商5個(gè)分量表，除商以外，其余4個(gè)分量表均各包括5個(gè)項(xiàng)目，而每個(gè)項(xiàng)目均用于測(cè)查掌握該語義含義所需的特定認(rèn)知成分．測(cè)驗(yàn)結(jié)構(gòu)及項(xiàng)目說明見表1．

表1 “兒童分?jǐn)?shù)概念理解測(cè)驗(yàn)”測(cè)驗(yàn)結(jié)構(gòu)及項(xiàng)目說明

2.3 測(cè)驗(yàn)實(shí)施與計(jì)分

2015年3月下旬施測(cè)，采用隨堂團(tuán)體測(cè)驗(yàn)形式，要求學(xué)生40分鐘內(nèi)完成．由受過訓(xùn)練的心理學(xué)研究生擔(dān)任主試．最后發(fā)放問卷300份，共收回有效問卷295份．從實(shí)際施測(cè)情況看，所有學(xué)生均可以在40分鐘內(nèi)完成測(cè)驗(yàn)．

研究者在以下3個(gè)水平對(duì)測(cè)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)分．第一，認(rèn)知成分掌握水平，指標(biāo)為被試在每個(gè)項(xiàng)目上的計(jì)分，正確計(jì)1分，錯(cuò)誤計(jì)0分．第二，子概念掌握水平，將兒童在每個(gè)子概念上的平均得分作為指標(biāo)，表示兒童對(duì)該子概念的掌握水平．第三，分?jǐn)?shù)概念掌握水平，將兒童5個(gè)子概念的得分相加，作為兒童在整個(gè)分?jǐn)?shù)概念測(cè)驗(yàn)上的得分．

2.4 統(tǒng)計(jì)分析

使用Mplus7.0對(duì)各子概念進(jìn)行探索性潛在類別分析（）．?dāng)?shù)據(jù)分析包括兩個(gè)步驟，第一步，基于模型適配的檢驗(yàn)指標(biāo)確定最佳類別數(shù)目，并分析每一類別在各題項(xiàng)上的平均得分，從而為類別命名．每一種類別代表了兒童對(duì)特定語義含義的一種掌握模式．第二步，計(jì)算每個(gè)兒童在各類別上的歸屬概率，從而確定個(gè)體對(duì)每種分?jǐn)?shù)語義含義的掌握模式．

模型適配的檢驗(yàn)指標(biāo)主要有：（1）模型信息指數(shù)，包括、和，這些指標(biāo)數(shù)值越小，表示模型擬合越好．其中，指標(biāo)適用于較大樣本量（如1?000以上）．當(dāng)樣本量較小時(shí)，與指標(biāo)相比無偏性更佳，而指標(biāo)則是對(duì)指標(biāo)的矯正．（2）表示分類的準(zhǔn)確性，當(dāng)大于0.6時(shí)，表示分類準(zhǔn)確性在80%以上，而大于0.8則意味著分類準(zhǔn)確性在90%以上．（3）似然比檢驗(yàn)指標(biāo)，包括和，該類指標(biāo)說明，潛在類別為的模型，在數(shù)據(jù)擬合上是否顯著優(yōu)于類別數(shù)為-1的模型．在可能的類別數(shù)量較多，而被試量相對(duì)較少時(shí)，似然比檢驗(yàn)指標(biāo)能較為準(zhǔn)確地判定分類數(shù)量[13]．

3 結(jié)果

3.1 兒童對(duì)不同分?jǐn)?shù)語義含義的理解水平

統(tǒng)計(jì)被試在分?jǐn)?shù)概念每種語義理解上的平均得分，以代表被試群體對(duì)于該含義的一般理解水平，具體見表2．

表2 分?jǐn)?shù)概念不同語義理解下各項(xiàng)目得分的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

從表2中各平均數(shù)可以看出，對(duì)6年級(jí)兒童來說，在分?jǐn)?shù)概念的5種語義含義中，商含義平均得分最高，說明最容易理解，算子含義平均得分最低，說明最難理解．對(duì)各組分?jǐn)?shù)的重復(fù)測(cè)量方差分析也表明，5種語義的一般理解水平差異顯著，(4, 291)=147.63，<0.001，效果量2=0.67，進(jìn)一步事后檢驗(yàn)表明，部分－整體，測(cè)量，比、算子和商之間，兩兩差異均顯著．

3.2 兒童分?jǐn)?shù)語義理解的潛在類別

由于商含義只包含一種認(rèn)知成分（見表1），且其整體掌握水平最高，無需分析兒童在商含義的不同認(rèn)知成分上的掌握模式．因此，分別對(duì)兒童的部分—整體、測(cè)量、比和算子4種語義理解進(jìn)行了潛在類別分析．分別抽取了1~4個(gè)潛在類別模型，模型擬合指標(biāo)見表3．由于樣本量小于1?000，因此，主要參考的模型適配度指標(biāo)為和指標(biāo)．由表2可知，對(duì)各個(gè)分?jǐn)?shù)子概念來說，當(dāng)潛在類別數(shù)為2時(shí)，和指數(shù)最小，且或達(dá)到顯著水平．這說明，兒童對(duì)部分－整體、測(cè)量、比、算子的理解，均以兩個(gè)潛在類別為最佳．

表3 兒童分?jǐn)?shù)子概念理解的潛在類別模型比較

注：***< 0.001

確定了兩次測(cè)試的最佳類別數(shù)目后，進(jìn)一步分析了各潛在類別在觀測(cè)指標(biāo)上的得分，以描述和命名這些類別．分析結(jié)果見圖1．

總的來看，在4種分?jǐn)?shù)語義含義的掌握模式上，潛類別1兒童理解水平均好于潛類別2，因此，潛類別1可以命名為掌握良好組，潛類別2為掌握不良組．且掌握良好組人數(shù)均顯著高于掌握不良組人數(shù)．但進(jìn)一步分析可以看出，對(duì)于每種語義含義來說，掌握良好組并非在所認(rèn)知成分上均掌握良好，而掌握不良組也并非在所有認(rèn)知成分上掌握均差．在不同語義含義上，兩組兒童表現(xiàn)出不同的掌握模式特征．

在“部分—整體”含義上（見圖1A），對(duì)比兩組兒童的掌握模式特征，可以看出兩類兒童在掌握模式上表現(xiàn)出同樣的特點(diǎn)，即在判斷等分、識(shí)別部分與整體等認(rèn)知成分上表現(xiàn)均較好，而在理解整體與部分間的包含與補(bǔ)償關(guān)系等認(rèn)知成分上均表現(xiàn)略差．

在“測(cè)量”含義上（見圖1B），兩組兒童的掌握模式特征則有所不同．掌握良好組兒童在“測(cè)量”含義的5個(gè)認(rèn)知成分上掌握水平高且差異極小，較完整地掌握了“測(cè)量”含義所包含的認(rèn)知成分；而類別二兒童則僅在“確定單位”與“等分單位”上表現(xiàn)較好，而在分?jǐn)?shù)的數(shù)形轉(zhuǎn)換任務(wù)（將分?jǐn)?shù)表示位數(shù)軸上的點(diǎn)，以及將數(shù)軸上的點(diǎn)表示為分?jǐn)?shù)）掌握較差，僅部分掌握了測(cè)量含義的認(rèn)知成分．

在“比”含義上（見圖1C），兩組兒童表現(xiàn)出不同的掌握模式特征．在5種認(rèn)知成分上，掌握良好組兒童在油漆混合任務(wù)上表現(xiàn)最差，而其它任務(wù)表現(xiàn)較好．而掌握不良組兒童在所有題目得分均低于0.4，說明在比含義中的所有任務(wù)上表現(xiàn)均差，且在“不同測(cè)度量相比”的任務(wù)上表現(xiàn)最差．

在“算子”含義上（見圖1D），兩類兒童的掌握模式較為一致，在連續(xù)變換與偽變換任務(wù)上均表現(xiàn)較差，而在“用分?jǐn)?shù)表示變換”以及“變換率與輸入量無關(guān)”的理解上，掌握良好組兒童的表現(xiàn)要好于掌握不良組兒童．

圖1 不同分?jǐn)?shù)語義理解的潛在類別

3.3 不同分?jǐn)?shù)語義掌握模式間的關(guān)系

每個(gè)子概念上的不同掌握模式人數(shù)及其在其它模式上的對(duì)應(yīng)概率見表4．表中第1、2列為4種分?jǐn)?shù)語義含義及其典型掌握模式，第3列為每組模式的人數(shù)，4~19列為每組被試在其他組別中的人數(shù)和期望概率．以第一行為例，部分—整體含義中，掌握良好組265人，且這265人中，有73.2%（194人）同時(shí)處于測(cè)量掌握良好組，有96.2%（255人）同時(shí)處于比掌握良好組，有77.4%（205人）同時(shí)處于算子掌握良好組，其它各行含義相同．

對(duì)不同語義含義間掌握模式的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行兩兩比較，結(jié)果表明，4種語義含義間關(guān)聯(lián)性均顯著，卡方檢驗(yàn)：

所有<0.01．說明4種語義掌握模式分類間存在一致性．4種語義的掌握模式一致性程度有多高呢？作為衡量分類一致性的指標(biāo)，系數(shù)從高到低排序依次為：

所有<0.05，可見，所有系數(shù)小于0.4，說明雖存在一致性，但一致性程度較低．

表4 兒童各子概念潛在類別的人數(shù)及頻次

注：良好=掌握良好組，不良=掌握不良組

4 討論與建議

使用分?jǐn)?shù)概念語義理解測(cè)驗(yàn)，通過潛在類別分析方法，評(píng)估了小學(xué)六年級(jí)兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念語義含義的理解水平和掌握模式．結(jié)果表明，（1）從分?jǐn)?shù)語義理解水平上看，兒童對(duì)算子含義的掌握水平最低，而對(duì)于商含義的掌握水平最高．（2）從分?jǐn)?shù)語義掌握模式來看，部分—整體、測(cè)量、比、算子均可分為掌握良好組和掌握不良組兩類．其中，在部分－整體和算子含義上，兩組兒童掌握模式類似，而在測(cè)量和比含義上，兩組兒童掌握模式有較大差異．（3）從各語義含義掌握模式間關(guān)系來看，分?jǐn)?shù)語義含義掌握模式間存在分類一致性，其中掌握良好組的歸類一致性較高，而掌握不良組的歸類一致性較低．

從分?jǐn)?shù)語義理解水平來看，首先，有88%的兒童掌握了分?jǐn)?shù)的商含義，且顯著高于其它語義含義的掌握水平．由于分?jǐn)?shù)的商含義指分?jǐn)?shù)是“分子除以分母的運(yùn)算結(jié)果”，代表了兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)意義的理解．該結(jié)果意味著在分?jǐn)?shù)的多種語義含義中，兒童更易于掌握分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)運(yùn)算含義．這一方面可能是由于在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師更強(qiáng)調(diào)正式的數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算規(guī)則[14]．另一方面小學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算和分?jǐn)?shù)概念的理解，都以日常的等分經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)[15-17]，因此兒童較容易理解分?jǐn)?shù)的除法含義．其次，兒童對(duì)部分—整體含義的理解水平高于測(cè)量、比和算子．以往研究也表明，兒童對(duì)部分—整體含義的理解較好[18]，例如，郭萌等對(duì)五、六年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，兒童用真分?jǐn)?shù)表示面積陰影圖的正確率高達(dá)97.2%[19]，這是由于在分?jǐn)?shù)概念的多種語義含義中，部分—整體含義更易于與兒童已有的整數(shù)知識(shí)建立關(guān)聯(lián)．相反，兒童對(duì)于算子概念掌握較差，分?jǐn)?shù)的乘法算子含義，就是分?jǐn)?shù)作為倍數(shù)時(shí)的含義．以往的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題研究即表明與整數(shù)作為倍數(shù)相比，兒童很難理解分?jǐn)?shù)作為倍數(shù)時(shí)的含義[20]．

從分?jǐn)?shù)語義掌握模式來看，兒童對(duì)分?jǐn)?shù)語義含義的掌握分為掌握良好和掌握不良兩種模式，且掌握良好人數(shù)均高于掌握不良人數(shù)．在部分－整體含義上，掌握良好組與掌握不良組兩組兒童掌握模式類似，難以理解整體與部分間的包含與補(bǔ)償關(guān)系是兩組兒童的共同弱點(diǎn)．在測(cè)量含義上，兩組兒童在分?jǐn)?shù)數(shù)字線的3個(gè)數(shù)形轉(zhuǎn)換任務(wù)上差異較大，以往研究也表明，兒童在數(shù)字線估計(jì)任務(wù)上的表現(xiàn)，可以較好預(yù)測(cè)兒童分?jǐn)?shù)概念掌握水平[21]．這說明兒童對(duì)分?jǐn)?shù)測(cè)量含義掌握不良主要集中在分?jǐn)?shù)符號(hào)——數(shù)字線的表征轉(zhuǎn)換過程中．在比含義上，掌握良好組兒童占到全體被試的94%，除“比為相對(duì)量大小”外，其余認(rèn)知成分掌握水平普遍較高，而掌握不良組兒童雖然僅有4%，但對(duì)各認(rèn)知成分的掌握水平普遍較低，說明絕大多數(shù)兒童都能很好地掌握“比”含義，同時(shí)，對(duì)于兩組兒童來說，理解“比是相對(duì)量大小”都較為困難．

從掌握模式間關(guān)系來看，當(dāng)兒童對(duì)部分—整體含義掌握良好時(shí)，對(duì)其它語義含義的掌握也較好．這可能是由于“部分—整體關(guān)系”的含義較容易為兒童已有的整數(shù)概念同化，較易于理解，因此成為兒童掌握其它分?jǐn)?shù)概念語義含義的基礎(chǔ)．具體來說，兒童通過將一個(gè)整體等分為幾個(gè)相互獨(dú)立的部分，并將每個(gè)部分看作一個(gè)“1”，從而把分?jǐn)?shù)問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題加以解決[22]．事實(shí)上，在日常經(jīng)驗(yàn)和正式教學(xué)中，兒童往往通過部分—整體方式理解分?jǐn)?shù)概念．在正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念之前，兒童即可以使用等分的方式解決一些簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)問題．即使學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之后，兒童最初也往往是依靠分割和計(jì)數(shù)的方法來解決分?jǐn)?shù)問題[23-24]．

研究結(jié)果也表明，部分—整體并非兒童掌握其它分?jǐn)?shù)理解方式的必須途徑．兒童有可能在沒有良好掌握“部分整體”含義的條件下，較好掌握“比”的語義含義．比意味著兩個(gè)量的相對(duì)大小，研究表明，分割計(jì)數(shù)和相對(duì)量大小知覺都是個(gè)體建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)[25]．在沒有掌握分割計(jì)數(shù)之前，兒童就已經(jīng)能夠基于直覺判斷相對(duì)量的大小，因此，兒童完全有可能在沒有掌握部分整體含義的條件下，掌握比的含義．

從小學(xué)分?jǐn)?shù)概念教學(xué)來看，研究結(jié)果有助于為解答下列教學(xué)問題提供啟發(fā)．

第一，對(duì)于全體學(xué)生來說，分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的難點(diǎn)是什么？研究結(jié)果中，掌握良好組和掌握不良組被試均難于理解的認(rèn)知成分，可能構(gòu)成了小學(xué)兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解的難點(diǎn)．具體包括（1）部分量與整體量間的包含與補(bǔ)償關(guān)系，（2）比例是一個(gè)相對(duì)大?。ū壤评恚?）算子的連續(xù)變換．可以看出，這些都涉及特定問題情境中兩個(gè)量之間復(fù)雜關(guān)系．掌握這些關(guān)系，是全體小學(xué)兒童分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．

第二，掌握不良的學(xué)生究竟“差”在何處？對(duì)這部分學(xué)生的教學(xué)重點(diǎn)是什么？在研究結(jié)果中，那些掌握良好組兒童能夠較好理解，而掌握不良組兒童卻理解較差的認(rèn)知成分，可能構(gòu)成了分?jǐn)?shù)概念掌握不良兒童的教學(xué)重點(diǎn)．具體包括，（1）測(cè)量含義中，分?jǐn)?shù)的數(shù)形轉(zhuǎn)換；（2）比含義中，用分?jǐn)?shù)表示比例關(guān)系，比例關(guān)系的判別；（3）測(cè)量含義中，用分?jǐn)?shù)表示變換關(guān)系．可以看出，這3組認(rèn)知成分都是分?jǐn)?shù)的表征轉(zhuǎn)換任務(wù)，其共通之處是用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)特定量間的關(guān)系．這與范文貴等的調(diào)查結(jié)果相一致[26]．因此，用分?jǐn)?shù)來表示特定問題情境中的兩個(gè)量，是分?jǐn)?shù)概念掌握不良的教學(xué)重點(diǎn)．

5 結(jié)論

（1）兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念的5種語義含義的掌握水平，由高到低依次為商、部分—整體、測(cè)量、比、算子．

（2）兒童對(duì)部分—整體、測(cè)量、比、算子等4種語義含義的掌握模式，可以簡(jiǎn)單分為掌握良好和掌握不良兩類．其中，在部分－整體和算子含義上，兩組兒童掌握模式類似，而在測(cè)量和比含義上，兩組兒童掌握模式有較大差異．

（3）不同語義含義的掌握模式分類存在一致性．其中，掌握良好組的歸類一致性較高，而掌握不良組的歸類一致性較低，即兒童對(duì)某種語義含義掌握良好時(shí)，對(duì)其它子概念也能掌握較好．但是在對(duì)某種語義掌握不良組的兒童未必在其它語義上也掌握不良．

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Pupil’s Master Level and Pattern for Understanding of Fraction’s Sematic Meaning: Based on Latent Class Analysis

ZHANG Huan1, 2, XIN Zi-qiang3, CHEN Ying-he4, HU Wei-ping1

(1. MOE Key Laboratory of Modern Teaching Technology, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China;2. School of Education Science, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China;3. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;4. Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Fraction, an abstract symbol, had the different semantic meanings in different contests. In this study, the scale was administered to 295 six grade children and an exploratory latent class analysis was conducted to evaluate their master level and patterns for understanding of fraction’s sematic meaning. Result showed that: (1) in the five semantic meanings of fraction, the quotient meaning was mastered best and the operator meaning was mastered worst by children. (2) In the semantic meaning of part-whole, measure, ratio and operator, children were all defined in two classes, good-mastered group and poor-mastered group. The two groups had similar patterns in part-whole and operator meanings, but deferent patterns in ratio and measure meanings. (3) Coherence between the several sematic meanings of good-mastered group was higher than coherence of poor-mastered group.

concepts of fraction; understanding of semantic meaning; master pattern

2018–01–22

國家社科基金重大項(xiàng)目——中國兒童青少年思維發(fā)展數(shù)據(jù)庫建設(shè)及其發(fā)展模式的分析研究（14ZDB160）

張睆（1979—），男，山西陽泉人，山西師范大學(xué)講師，陜西師范大學(xué)博士生，主要從事認(rèn)知發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究．

G622

A

1004–9894（2018）03–0066–06

張睆，辛自強(qiáng)，陳英和，等．小學(xué)兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解水平及模式：基于潛在類別分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：66-71．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]