唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，張維忠

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基于問題鏈的中學數學有效教學研究——一項課例研究的啟示

唐恒鈞1，HAZEL TAN2，徐元根1，張維忠1

（1．浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004；2．莫納什大學，澳大利 亞墨爾本 3800）

以問題解決數學觀為依據，提出基于問題鏈的數學教學理念．課例研究中，新手教師與專家教師整體上體現了該理念，通過問題鏈為學生提供逐漸深入的數學理解和一定的探索空間．在數學主題聯(lián)結上分別表現出知識關聯(lián)與方法關聯(lián)兩種類型，并對整個教學產生影響．問題鏈教學受到課時的限制較為明顯，這需要單元設計等方式加以進一步解決．

數學問題鏈；有效教學；課例研究

中國學生在PISA、數學奧林匹克競賽上的卓越表現引起了人們的廣泛關注，但在解決富有挑戰(zhàn)性數學問題上的不足[1]，對數學價值的狹隘認識[2]等方面的問題也讓人擔憂．顧泠沅等基于實驗與反思，提出中國數學課堂教學改革應取得的如教師主導取向的有意義接受學習與學生自主取向的探究學習等若干平衡[3]．

一些調查研究表明課堂教學的改變比數學課程改革慢許多，也困難許多[4-6]，高中階段的教學改革更為艱難．因此，如何在現有教學傳統(tǒng)與教師信念的基礎上，推進教學改革，以更好地體現數學教學中各個對立面間的平衡？特別是，如何在歸納概括與邏輯推理的過程中體現數學變化中的不變性，如何實現教學設計和教師課堂指導基礎上的學生探究學習？以“問題鏈”為載體的高中數學教學設計與實施方式也許能在一定程度上促進上述平衡．“問題鏈”是指在課堂上呈現給學生的、有序的主干問題串．

該研究是基于問題鏈設計與實施的一個數學課例研究，并采用新手教師與專家教師之間對比的方式，初步考察實施過程中新手教師（NT）與專家教師（ST）有何共性與差異，為進一步推進問題鏈教學提供線索．

1 數學問題鏈教學的基本理念

著名數學家P. R. Halmos曾指出，“問題是數學的心臟”[7]．朱德全對教學本質的哲學思考后指出，“人的發(fā)展促成問題解決，問題解決指向人的發(fā)展”，“問題是教師教學的心臟，是學生學習的心臟”[8]．一些研究也將數學問題作為數學教育改革與研究的一個重要抓手[9-13]．可見，無論是數學的發(fā)展，還是對教學而言，問題都有著非常重要的意義．當然，數學教學及其發(fā)展是一種文化實踐，教學改革需要同時關注作為顯性表現的教學行為及其背后隱性的教學觀念．

1.1 關于數學的認識

Skemp認為對數學的不同認識決定了教師不同的教學方法[14]．Ernest把教師具有的數學觀分為3種不同的類型：問題解決式的數學觀、柏拉圖主義的數學觀、工具主義的數學觀[15]．黃毅英等曾對中國大陸數學教師的調查發(fā)現，主要持柏拉圖主義數學觀，即把數學看成是一個與邏輯有關的、有嚴謹體系的、關于圖形和數量的精確運算的一門學科[16]．蔡金法等的研究也得到類似的結論[17]．

而數學問題鏈期望能為學生提供數學發(fā)展的脈絡及其背后的數學方法論，因此更多地傾向于“問題解決式的數學觀”．即數學是一種多樣化的、連續(xù)不斷地、由問題驅動的人類創(chuàng)造性活動，是刻畫客觀世界和可能世界數量關系與空間形式的模式．這種觀念與教師原有觀念可能會存在一定的沖突．為緩沖其中的觀念矛盾，研究中強調數學觀念中的以下幾方面．

首先，數學是一種模式．數學教育中重要的不僅是作為模式的結果，還有模式的建構過程．前者是數學知識的傳承，后者則幫助學生理解數學知識的來龍去脈及其合理性．

其次，學校數學是結構化、脈絡化存在的．作為預設性的學校教育，其數學內容是經過篩選整理的，因此學校數學是在數學知識邏輯與學生認知邏輯基礎上加以理性重構的．在教學過程中要體現知識之間、方法之間的關聯(lián)，以體現數學建模過程及其背后的方法論原理．

1.2 關于數學教學的觀念

基于學校中的數學是一種模式，并以結構化、脈絡化的形式存在的，因此數學學習中并不是所有的新知識要當新知識來教．教學中展現數學知識、方法間的類比、轉化極為重要，它也能使新知識的學習變得簡單而有脈絡．比如，指數函數、對數函數和冪函數等3個初等函數的教學中，將指數函數及其性質當成新知識學習，教學中放慢節(jié)奏讓學生體會研究指數函數及其性質時的基本角度與方法，對數函數教學則可以作為例題教學，給學生更多的探索空間去歸納形成其定義及性質，而冪函數則作為練習，其教學需給學生以更大的自由探索空間．所以，在數學教學中擁有聯(lián)系、轉化的觀點，用問題解決的方式教學新知識，教學節(jié)奏是先慢后快的，學生探索空間也是先小后大的．

上述教學觀念不僅僅強調學生對已有知識及常規(guī)問題解決方法的傳承，還強調展現如何針對問題選擇數學知識與方法甚至建構新的數學知識與方法加以解決的過程，后者是需要學生自己親自體驗與習得的．比如，在學生學習高中圓錐曲線中的拋物線方程時，常規(guī)的教學方法是為學生建立好坐標系，并結合拋物線的概念求出拋物線的標準方程，然后再配以練習加以理解與鞏固．這樣的教學確實能使學生比較好地掌握拋物線的標準方程，并以此為基礎解決相關的問題．但問題是，學生能理解這么建立坐標系的理由嗎？因此，數學教學中要為學生提供個體探索與冷靜思考的時間與空間，學生在教師所設計的主干問題的驅動下進行獨立探索是問題鏈教學中非常重視的學習行為．

1.3 “數學問題鏈”及教學

“問題鏈”教學，一方面為學生提供思考的問題，在內容上可以引導學生獲得較為深入的數學．而另一方面，問題與問題之間的跨度為學生多樣的思維與探索提供了可能性．

在構建問題鏈的過程中，首先需要考察所教學的數學主題與其它主題之間的關聯(lián)，并構思該數學主題的教學聯(lián)結點．這里的關聯(lián)包括知識內容、思想方法、研究視角等3個方面的關聯(lián)形式．其次，思考該主題學習過程中需要解決的核心問題及其順序．再次，進一步結合學生的學習實際，構建教學設計中的主干問題鏈，并在課堂上以這一問題鏈驅動學生的學習．

2 課例研究過程

參與研究的新手教師擁有數學教育碩士學位，實驗進行時已有3年教學經驗，而專家教師是′′省名師工程班學員，擁有高級職稱，并曾獲得省級教學比賽一等獎．

課例研究的主題為“拋物線及其標準方程”第一課時．但為了更好地突顯研究意圖，并減少教師在教學該內容時受原有教學經驗的影響，將該內容的學習時間提前．具體地，新手教師的學生剛學過“曲線與方程”，而專家教師的學生還未學習“曲線與方程”這一內容．

在數據收集過程中，兩節(jié)課都被錄像并轉譯成文字，其它數據還包括授課教師的反思、研究者的田野筆記等．在數據分析的過程中，先提煉了課堂上的問題鏈，并結合課堂觀察與課后反思提煉出每個問題的目的，并在此基礎上對新手教師與專家教師的問題鏈及其目的進行對比；其次通過對問題鏈的時間線分析，提煉出兩位教師教學重點及教學節(jié)奏的特點．

3 研究發(fā)現

新手教師與專家教師在教學設計和課堂上呈現的問題鏈及其目標如表1和表2所示．

表1 專家教師問題鏈及其目的

表2 新手教師問題鏈及其目的

3.1 拋物線與其它主題的關聯(lián)

由表1和表2可以發(fā)現，專家教師以直線方程的建立過程為例，回顧解析幾何中研究直線的方法以及從建系到求出直線方程的整個過程．新手教師則從“拋物線”這個主題詞入手，激活新主題與二次函數圖象之間的關聯(lián)，并通過“拋物線除了開口方向、頂點、對稱軸這些特征外，還有哪些特征？”引入新課．當然新手教師在Q3中也回顧了解析幾何的研究方法，但僅作為一個子問題以引導學生思考拋物線方程的求法．

可見，當面對方法關聯(lián)或知識關聯(lián)的選擇時，專家教師更會關注方法上的聯(lián)系，并在整節(jié)課的實施過程中關注學生對方法的體驗；而新手教師則更容易建立起知識間的關聯(lián)，雖然也注重方法的聯(lián)系，但更多地只是將這種聯(lián)系作為方法應用的鋪墊，而非方法本身．這里其實體現了兩位教師不同的教學觀點．即新手教師更多地是從多角度理解給定的主題，并建立不同角度之間的關聯(lián)，其目的在于對該主題內容的深入學習；而專家教師則更重視作為某一數學領域的通法學習，其目的是通過更具普遍性的方法統(tǒng)整學習內容．也正是這一原因，專家教師由Q1至Q2的過渡更具有內在連貫性．

3.2 問題鏈中問題間的關系及其潛在邏輯

從兩節(jié)課的一級問題及其關系來看，除了導入部分的差異之外，體現了如下核心問題或任務：拋物線上動點具有什么特征？如何用解析幾何的方法刻畫這些特征？拋物線、準線、焦點之間的關系以及相應的方程或坐標，并加以應用．

因此，整體教學思路是一致的，均是通過作圖呈現拋物線的幾何特征，然后用解析幾何方法得到拋物線標準方程，再進一步應用拋物線標準方程以及相關概念解題．問題鏈的建構也以此為依據，體現了數學知識的形成過程．通過問題使學生體會解決數學問題的脈絡．

進一步分析兩節(jié)課的二級問題，新手教師表現出對知識細節(jié)的關注與落實，強調層層遞進的教學思路．比如，學生根據作圖過程獲得了拋物線的定義（Q2-2），教師馬上追問“書上的定義中，為什么定點不在定直線上？（Q2-3）”；在獲得開口向右的拋物線標準方程（Q3-4）后，新手教師又通過Q3-5和Q3-6對這一概念進行深化理解；Q4的4個二級問題的設計也體現了對“標準方程”細致的理解；在對開口向右的拋物線進行了精細學習之后，才進一步去討論其它開口方向的拋物線．而專家教師則表現出先粗后細、前鋪墊后雕琢的教學思路．比如，關于定點不能在定直線上這一問題，專家教師是在學生考察了所有4個開口方向的拋物線之后才提出來的（Q4-4）；關于拋物線開口方向與定點、定直線的關系，專家教師在畫第一條拋物線之后就讓學生開始想象（Q2-2）．

反思中，新手教師認為新知識的學習應盡可能地細化，“因為如果不注意，可能會對后面的理解與解題產生影響．比如說，如果學生對標準方程中的‘標準’二字理解不到位，就會在解題中出錯．”專家教師也指出，“知識的細化很重要，這往往也是教學難點，這需要慢慢地輔墊．可以是先放得開一些，然后回過來再作進一步精煉，這其實也是數學發(fā)展過程中的本來面目．”可見，雖然基于問題鏈的教學試圖更多地呈現數學的發(fā)展脈絡，但新手教師會在知識形成與知識同化兩種學習邏輯上徘徊，表現出“發(fā)展性”與“控制性”兩種數學價值取向[18]間的博弈，而專家教師強調知識的形成過程，體現出較為一致的“發(fā)展性”價值取向．

3.3 課堂行為與時間分布

根據對課堂教學活動的開放式編碼分析，提煉出課堂上出現的以下7種課堂行為：教師解釋（A）、教師演示（B）、教師布置任務（C）、師生問答（D）、學生獨立完成任務（E）、學生表述與解釋（F）、教師呈現學生作品并（由教師或學生）解釋（G）．根據這一分類得到兩位教師的教學活動時間線：

NT:_B_D_B_ D_E_D_E_D_ E_ E_ E_ D_ end

ST: D_ E_ E_ B_ D_ E_ E_ E_ D_ E_ D_ end

圖1直觀地呈現了兩節(jié)課課堂行為的時間線，可見各類活動的安排比較瑣碎．這似乎表明，教師在課堂上會不斷地細化學習任務．圖2顯示了不同類型的課堂行為在整節(jié)課中所占的時間百分比．其中，“師生問答”是最常見的活動形式，兩課均占整節(jié)課的34%左右，曹一鳴等也將此行為作為數學課堂關鍵性最高的A層教學行為[19]．教師在反思中表明了這樣做的兩個主要原因，一是為了能按時完成教學任務并適應學生的實際，這是對教學現實理性把握與妥協(xié)；二是因為，他們長期以來已習慣于問答式的教學，在課堂上不自覺地問了許多小問題．

圖1 時間線上課堂行為

圖2 不同課堂行為的時間比重

其次是學生獨立完成任務，專家教師和新手教師的課上分別占22.09%和25.97%．進一步考察兩節(jié)課上要求學生獨立完成的具體任務，新手教師的課上共有10分36秒，分布在拋物線標準方程形成過程中的求方程階段（3′57″），根據已知拋物線求標準方程、準線方程和焦點坐標（3′10″），例題求解（3′29″），均為求值的問題．而專家教師的課上共有9′45″，分布在回憶研究直線的解析幾何方法（37′），建立合適的坐標系（4′38″），求標準方程（2′40″），根據已知拋物線求標準方程、準線方程和焦點坐標（1′6″），因此將一半以上的時間放在方法的回顧和坐標系的建立上．

另外，專家教師習慣于在任務布置的過程中非常明確地表達要求（占14.84%，而新手教師只占2.45%）．專家教師在反思中指出，“這樣做能提前解決學生容易誤解的地方”．可見，盡管專家教師強調呈現數學知識發(fā)展的過程，但又通過教學對其中一些容易出錯的問題加以控制，這同樣體現在專家教師對課堂上的解釋與說明予以重視（占9.93%，而新手教師只占2.2%）．比較而言，新手教師更強調對學生作品的評價以及學生自己的解釋（分別占17.39%和10.86%，而相應地專家教師課上分別為5.59%和5.17%）．她認為，“學生作品是很重要的學習資源，特別可以讓學生從錯誤中學習．另外，學生的解釋不僅可以給其他同學以啟示，也能進一步理清他自己的思路．”這里似乎體現出專家教師在教學中出現了更具控制性的價值取向，而新手教師則表現了更具發(fā)展性的取向，這與之前問題鏈的分析結果出現了差異．也說明教師的價值取向在不同情境下會有所變化．即，專家教師在知識形成過程中強調發(fā)展性，而在解題過程中強調控制性；新手教師在解題過程中表現出發(fā)展性，在知識形成過程中則處于兩種價值取向的徘徊狀態(tài)．

3.4 課堂教學的重心與教學節(jié)奏

將兩節(jié)課的問題鏈按照教學功能進行歸納提煉，可以分成復習引入、拋物線概念形成（包括實驗與觀察、特征與定義等環(huán)節(jié)）、拋物線標準方程建立（包含建立坐標系、方程求解、標準方程概念等）、拋物線標準方程深化（包括拋物線各要素間的關系、其它開口方向的拋物線標準方程等相關問題）、例題、作業(yè)、小結等環(huán)節(jié)．

由時間的分布看（表3），拋物線標準方程的建立是兩節(jié)課的共有教學重點，新手教師和專家教師分別占28.5%和28.2%，但從二級環(huán)節(jié)來看，新手教師將重點放在根據設置好的坐標系求方程，而專家教師則將重點放在坐標系的建立上．兩節(jié)課在其它環(huán)節(jié)的重視程度明顯不一致．具體地，新手教師的教學比重從高到低依次為深化理解（29.7%），例子（24%），拋物線概念形成（15%），復習（1.9%），小結（0.9%）；而專家教師則依次是復習（24.8%），拋物線概念形成（20.1%），深化理解（15%），作業(yè)（6.2%），小結（0.8%）．

表3 各教學環(huán)節(jié)的時間比重

另外，從圖3可以發(fā)現，專家教師的課堂節(jié)奏整體上呈現出前松后緊的特點，課的前半段更強調方法的學習，而后半段則變成方法的應用，特別表現在“深化理解”這一環(huán)節(jié)上．整節(jié)課試圖體現以問題為明線、以方法為暗線，前慢后快的教學節(jié)奏．新手教師的課堂則將教學的重心均衡分配，特別關注與求值、解題相關的內容．

圖3 不同教學環(huán)節(jié)的時間比重

4 結論與反思

首先，兩位教師的教學都在一定程度上體現了“問題鏈”教學的理念．從問題鏈來看，呈現了以下邏輯：對動點幾何特征的歸納中形成拋物線概念，讓學生體會客體變化中的本質不變性（幾何特征）；在此基礎上利用解析幾何的方法研究拋物線的幾何特征，以體現數學模式觀念；又通過研究其它開口方向的拋物線體現類比思維和共同的方法．同時通過問題鏈將整節(jié)課引向深入，為學生提供高水平數學學習的機會，通過學生獨立完成任務，也讓學生有一定的探索空間．

其次，從問題鏈的具體設計與實施而言，雖然兩節(jié)課均表現出對“關聯(lián)”的重視，但聯(lián)結點不同：知識關聯(lián)與方法關聯(lián)．這種差異除了表現在作為教學聯(lián)結點的復習環(huán)節(jié)，還表現在二級問題的設計、教學重心的安排等方面．其背后體現了兩位教師不同的教學觀點．即新手教師強調知識層層遞進，而專家教師則強調先粗后細、前鋪后琢．進一步從時間線的角度看，方法聯(lián)結能較好地實現前慢后快的教學節(jié)奏，更能體現“問題鏈”教學的理念．

再次，盡管兩節(jié)課最終完成預定的教學任務，學生也能解決預設的大部分問題，但教學時間的限制仍是影響“問題鏈”教學的重要因素．雖然兩位教師在課堂上采取細化問題鏈、師生問答等方法加快教學節(jié)奏，但都存在不同程度的超時現象．事實上，當采用問題鏈進行教學時，教師都試圖為學生提供較多的探索空間，這勢必會增加教學時間．由前述，“方法聯(lián)結”能使教學節(jié)奏變得前慢后快，因此在未來的“問題鏈”教學中應更多地倡導“方法聯(lián)結”，讓學生體驗、獲得數學探究的基本視角與通法．另外，還應探索并實踐單元設計的思路，將具有共同研究視角或共通研究方法的數學主題作為一個單元，進行整體設計與實施，重新調整單元內各主題的課時，并體現以下教學思路：通過第一個主題的學習提煉并獲得基本的研究視角與方法，并在后續(xù)主題中以問題解決的形式加以應用．

盡管從目前的試驗來看，參與的教師能接受這一改革理念，也能在課堂中加以采用，學生也能獲得較好的數學體驗．但值得注意的是，該研究主要是在一個教師專業(yè)發(fā)展項目中得以實施的，因此所形成的研究共同體是松散的，在時間上也表現出零散性，課例研究的數量也非常有限．因此，未來需要開展更深入而具有連貫性的探索．

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Effective Teaching with Mathematics Question-Chain in Senior High Schools

TANG Heng-jun1, HAZEL TAN2, XU Yuan-gen1, ZHANG Wei-zhong1

(1. College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China; 2. Faculty of Education, Monash University, Melbourne 3800, Australia)

Ideal of teaching mathematics with question-chain was proposed based on the mathematical conception of problems solving. In a lesson study, both novice teacher and specialist teacher implemented the ideal in their classes, aimed to provide students with gradually deepening mathematical understanding and a certain exploring space. There were two kinds of mathematics connections used by the novice and the specialist respectively, i.e. content connectionmethods connection, which influenced latter instruction. Its value was limited by class time, which needed more studies on solutions such as unit plan.

mathematical question-chain; effective teaching; lesson study

2018–01–08

教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目——文化視野下中澳數學課程的比較研究（14YJC880066）；浙江師范大學研究生重點課程建設一般項目——數學課程與教材分析

唐恒鈞（1979—），男，浙江余姚人，副教授，博士后，主要從事數學課程與教學研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0030–05

唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，等．基于問題鏈的中學數學有效教學研究——一項課例研究的啟示[J]．數學教育學報，2018，27（3）：30-34．

[責任編校：周學智]