王 青

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

經(jīng)典電磁學(xué)理論的核心是麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式。前者確定了電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)給定的電荷電流源密度分布的依賴(lài)方程組(或者說(shuō)已知電荷電流源的分布決定了電磁場(chǎng))，后者則對(duì)給定的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度給出了電荷電流源所受的電磁力(已知電磁場(chǎng)的分布決定了源的受力)，若再輔以牛頓第二定律并加上源所受的其他可能的非電磁力，則可以寫(xiě)出電荷電流源的運(yùn)動(dòng)方程(或者說(shuō)已知電磁場(chǎng)決定了電荷電流源的運(yùn)動(dòng))，場(chǎng)方程和運(yùn)動(dòng)方程兩者結(jié)合起來(lái)就確定了一個(gè)電磁系統(tǒng)的完整運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本文只限于討論真空中的電荷電流源及電磁場(chǎng)，如若考慮介質(zhì)材料，須要在上面所討論的電荷電流源中加入由于介質(zhì)的極化和磁化導(dǎo)致的極化磁化電荷電流的貢獻(xiàn)。

在學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用電磁學(xué)理論時(shí)我們總希望能盡量深入地理解它，特別是能有直觀圖像的理解，麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式為什么會(huì)是這個(gè)樣子？一定是需要目前電磁學(xué)理論所給出的這種結(jié)構(gòu)而不可能有所變化嗎？這個(gè)問(wèn)題在一般的教科書(shū)和研究論文中進(jìn)行深入論述的比較少，本文就此作一討論。

談?wù)摾斫庖粋€(gè)事物總要依據(jù)一些出發(fā)點(diǎn)，理解麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式同樣需要有出發(fā)點(diǎn)，教科書(shū)里一般有兩類(lèi)理解方式：一是從實(shí)驗(yàn)定律出發(fā)，另一是從作用量出發(fā)。對(duì)這兩種做法本文將分別在第1和第2節(jié)作一系統(tǒng)回顧和評(píng)述，在第3節(jié)給出一種自認(rèn)為更優(yōu)的新的理解方法，并進(jìn)行討論。著名物理學(xué)家費(fèi)曼曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“從一個(gè)新角度看待舊問(wèn)題是很有意思的”。如果覺(jué)得本文前面的基本內(nèi)容過(guò)于基本和簡(jiǎn)單，讀者可以直接從2.3節(jié)的對(duì)作用量做法的評(píng)述開(kāi)始閱讀。

1　從實(shí)驗(yàn)定律推導(dǎo)經(jīng)典電磁學(xué)理論

通常的靜態(tài)和穩(wěn)恒情形的麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式可以從實(shí)驗(yàn)給出的電荷源之間相互作用力的庫(kù)侖定律、電流源之間相互作用力的畢奧 薩伐爾定律出發(fā)，將電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別定義為單位電量的電荷電流源所受的電力和磁力得到。具體地，若一團(tuán)由電荷密度ρ1(r)電流密度j1(r)描述的穩(wěn)恒電荷電流源與另外一團(tuán)由電荷密度ρ2(r)電流密度j2(r)描述的穩(wěn)恒電荷電流源相互之間發(fā)生電磁相互作用，庫(kù)侖定律和畢奧-薩伐爾定律及疊加原理告訴我們第二團(tuán)電荷電流源對(duì)第一團(tuán)電荷電流源的電磁作用力是

其中，ε0和μ0分別是真空的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率;中括號(hào)里第一項(xiàng)是庫(kù)侖定律給出的電作用力;第二項(xiàng)是畢奧-薩伐爾定律給出的磁作用力，注意在式(1)中疊加原理所起的作用是使各個(gè)點(diǎn)電荷電流源之間的電磁相互作用力可相互疊加，因而使得總的兩團(tuán)電荷電流源的總相互作用電磁力呈現(xiàn)為一個(gè)數(shù)學(xué)上的積分求和形式，如果是純粹的點(diǎn)源只需將點(diǎn)電荷的電荷密度的δ函數(shù)表達(dá)式代入式(1)(注意電流密度也可以用電荷密度來(lái)表達(dá))即可完成式中的體積積分，得到點(diǎn)源之間的電磁相互作用力。式(1)給出的是二對(duì)一的作用力，反過(guò)來(lái)一對(duì)二的作用力只要把式(1)中的1和2下標(biāo)進(jìn)行交換就可得到。如果考慮電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度是單位電量的電荷電流源所受電力和磁力，可以進(jìn)一步把式(1)改寫(xiě)為

其中的電場(chǎng)強(qiáng)度E1(r1)和磁感應(yīng)強(qiáng)度B1(r1)分別為

式(2)的第二個(gè)式子就給出了洛倫茲力公式，而式(3)和式(4)就分別給出了穩(wěn)恒電荷電流源產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和靜磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。進(jìn)一步從式(3)通過(guò)一些微積分運(yùn)算，可以得到

其中去掉了腳標(biāo)1。式(5)給出的是麥克斯韋方程組中的第一個(gè)方程，其積分形式為

通常稱(chēng)為高斯定理，它表示一個(gè)體積內(nèi)部的總電荷由體積表面的總電場(chǎng)強(qiáng)度的通量決定。式(6)只對(duì)靜電場(chǎng)成立，在電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)要擴(kuò)展成實(shí)驗(yàn)上的法拉第電磁感應(yīng)定律，它將式(6)擴(kuò)展為

式(7)給出的是麥克斯韋方程組中的第三個(gè)方程。類(lèi)似地從式(4)通過(guò)一些微積分運(yùn)算，可以得到

式(8)給出的是麥克斯韋方程組中的第二個(gè)方程，式(9)積分表達(dá)式是

通常稱(chēng)為安培環(huán)路定理，它表示流過(guò)一個(gè)曲面的電流強(qiáng)度由曲面邊界上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)量決定。麥克斯韋人為補(bǔ)放進(jìn)式(9)里一個(gè)位移電流項(xiàng)以保證如下電荷守恒定律成立，即

因此式(9)被替換為

式(11)給出的是麥克斯韋方程組中的第四個(gè)方程，相應(yīng)地式(9′)也需要補(bǔ)充進(jìn)位移電流的貢獻(xiàn)。這樣從實(shí)驗(yàn)定律出發(fā)，包括疊加原理、庫(kù)侖定律、畢奧-薩伐爾定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、電荷守恒定律(它可看作麥克斯韋在安培環(huán)路定理中補(bǔ)充的位移電流的依據(jù))，就得到電磁學(xué)理論中的麥克斯韋方程組與洛倫茲力公式。

要想理解推導(dǎo)出的電磁學(xué)理論結(jié)果只需理解作為出發(fā)點(diǎn)的這些實(shí)驗(yàn)定律?？上н@些實(shí)驗(yàn)定律看起來(lái)似乎不那么好理解!為什么一定可以疊加？自然界存在的反例是除電磁力之外的另外兩種基本作用力：強(qiáng)相互作用力和弱相互作用力都不滿(mǎn)足疊加原理。電磁力為什么一定要平方反比？我們知道平方反比對(duì)應(yīng)電磁力的量子-光子是無(wú)質(zhì)量的，如果光子有質(zhì)量，平方反比則會(huì)被改變。雖然人們到目前為止并未測(cè)量到自由空間中的光子具有非零質(zhì)量，但實(shí)驗(yàn)只能給出光子非零質(zhì)量的上限值，永遠(yuǎn)無(wú)法確認(rèn)其精確為零。法拉第電磁感應(yīng)定律就更令人費(fèi)解了，為什么變化的磁場(chǎng)要產(chǎn)生電場(chǎng)？對(duì)動(dòng)生電場(chǎng)，可以依據(jù)洛倫茲力推導(dǎo)出相應(yīng)的法拉第電磁感應(yīng)定律，但對(duì)感生電場(chǎng)似乎找不出為什么是法拉第電磁感應(yīng)定律的理由。在后面的第3節(jié)將依據(jù)協(xié)變性給出一種理解和解釋。

有人認(rèn)為這些是實(shí)驗(yàn)定律，沒(méi)必要去理解它們，直接承認(rèn)就是。這就相當(dāng)于直接承認(rèn)麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式而不去理解它們?yōu)槭裁词沁@樣一樣，是一種知其然但不求知其所以然的不求甚解態(tài)度。

有人借助麥克斯韋方程組中出現(xiàn)的各種量在不同慣性參考系之間的洛倫茲變換關(guān)系，要求方程的形式在不同慣性參考系中都必須一樣，則可以從一組無(wú)源的麥克斯韋方程組(方程(7)和(8))和另一組有源的麥克斯韋方程組(方程(5)和(11))中各自任選一個(gè)方程推導(dǎo)出每組各自剩下的另外一個(gè)方程。這使我們可以把原本需要理解的4個(gè)麥克斯韋方程約化成兩個(gè)，讓問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。但遺憾的是這種處理只是簡(jiǎn)化了對(duì)麥克斯韋方程的理解，尚未根本解決問(wèn)題。因?yàn)槭Ｏ碌膬蓚€(gè)麥克斯韋方程的理解問(wèn)題依然未被解決，且為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)簡(jiǎn)化還額外施加了協(xié)變性(即洛倫茲變換及方程在所有慣性系都形式一樣)的假設(shè)。

總的看來(lái)，雖然從實(shí)驗(yàn)定律出發(fā)導(dǎo)出麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式是歷史原本的發(fā)展路徑，但從理解經(jīng)典電磁學(xué)理論的角度，這不是一個(gè)有效的方式。

2　從作用量推導(dǎo)經(jīng)典電磁學(xué)理論

從本節(jié)開(kāi)始將使用狹義相對(duì)論協(xié)變的電磁學(xué)理論描寫(xiě)方式，只在必須時(shí)才使用分量回到上節(jié)給出的麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式的傳統(tǒng)非協(xié)變的表達(dá)式。本節(jié)主要是介紹標(biāo)準(zhǔn)的理論物理是如何從作用量推導(dǎo)出麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式的，并進(jìn)行評(píng)述。

在理論物理學(xué)中是把作用量作為物理系統(tǒng)的研究出發(fā)點(diǎn)，從作用量求極值得到體系的運(yùn)動(dòng)方程。一個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的運(yùn)動(dòng)方程可以通過(guò)作用量對(duì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡求極值得到，它實(shí)際是牛頓第二定律，其中出現(xiàn)的力就是洛倫茲力，而從作用量對(duì)其中的電磁勢(shì)求極值就給出有源的兩個(gè)麥克斯韋方程，另外兩個(gè)無(wú)源的麥克斯韋方程對(duì)下面就要引入的電磁勢(shì)來(lái)說(shuō)是恒等式，它們實(shí)際上是把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度改用電磁勢(shì)來(lái)表達(dá)時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)定義公式。

在作用量對(duì)電磁體系的描寫(xiě)中，描述電磁場(chǎng)的基本物理量不再是電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，而是最重要的基本量——四度電磁勢(shì)Aμ。為此需要先介紹它是如何引進(jìn)的。為了保證物理方程在所有慣性系都具有相同的形式(這是狹義相對(duì)論中的第一條基本假設(shè)：相對(duì)性原理)，物理量必須是洛倫茲變換下的張量。電磁場(chǎng)在勢(shì)的層級(jí)必須是一階張量也就是四矢量，比它更低階的標(biāo)量無(wú)法描述電磁場(chǎng)(還有一個(gè)次低階的1/2階張量也叫旋量在經(jīng)典場(chǎng)論中不會(huì)出現(xiàn))。因此我們就引入一個(gè)四度矢量——電磁勢(shì)Aμ來(lái)描述電磁場(chǎng)的行為(注意當(dāng)指定其為四矢量時(shí)意味著已經(jīng)確定了它在不同慣性系之間的洛倫茲變換關(guān)系)。在作用量體系中洛倫茲力公式和麥克斯韋方程組是分別從兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)進(jìn)行推導(dǎo)的，一個(gè)系統(tǒng)負(fù)責(zé)導(dǎo)出洛倫茲力公式和兩個(gè)無(wú)源的麥克斯韋方程，另一個(gè)系統(tǒng)負(fù)責(zé)導(dǎo)出另外兩個(gè)有源的麥克斯韋方程，下面分別敘述。

2.1　從作用量推導(dǎo)洛倫茲力公式和無(wú)源的麥克斯韋方程

先考慮洛倫茲力公式的推導(dǎo)。對(duì)一個(gè)電量為q質(zhì)量為m的點(diǎn)電荷在已知的外電磁勢(shì)Aμ中從固定的a點(diǎn)到固定的b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，需要確定它是從a走怎樣的軌跡運(yùn)動(dòng)到b的。取它在t時(shí)刻位于空間r處，用閔氏時(shí)空的四度坐標(biāo)矢量xμ=(r，i ct)來(lái)描寫(xiě)其軌跡，其中r是坐標(biāo)四矢量xμ對(duì)應(yīng)下腳標(biāo)μ分別取1、2、3的3個(gè)空間坐標(biāo)分量構(gòu)成的普通矢量，i ct是坐標(biāo)四矢量xμ對(duì)應(yīng)下腳標(biāo)μ取4的時(shí)間坐標(biāo)分量，它是純虛的(本文的協(xié)變表達(dá)采用了老式的標(biāo)記法，不區(qū)分協(xié)變和逆變指標(biāo)，代價(jià)是在時(shí)間分量中引入虛數(shù)i)。而對(duì)應(yīng)地描寫(xiě)這個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生電磁勢(shì)四矢量也可以分出其空間分量和時(shí)間分量，A是矢量勢(shì);φ是標(biāo)量勢(shì)或電勢(shì)。這個(gè)體系的作用量為

①要求S是標(biāo)量;

②要求S用d xμ和Aμ以最為簡(jiǎn)單的形式來(lái)構(gòu)造。其中第①條用來(lái)確保作用量一旦在某個(gè)慣性系取極值，則在所有慣性系都為極值;第②條找不出合適的理由只能理解為大自然喜歡簡(jiǎn)潔了。有了式(12)給出的對(duì)一個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)在外電磁勢(shì)Aμ中的作用量，下面就證明通過(guò)把它相對(duì)帶電質(zhì)點(diǎn)的軌跡d xμ求極值(因?yàn)閰f(xié)變的計(jì)算過(guò)程并不經(jīng)常在教科書(shū)中出現(xiàn)，以下就把詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程羅列出來(lái))，就可以得到含有洛倫茲力的軌跡運(yùn)動(dòng)方程。0=δS

其中我們引進(jìn)了四度速度矢量uμ

對(duì)式(14)等號(hào)右邊的第一項(xiàng)進(jìn)行交換δ和d對(duì)xμ的作用，δd xμ=dδxμ，然后分部積分，把d改為作用在前面的muμ+q Aμ上，差別是全微商導(dǎo)致的邊界項(xiàng)沒(méi)有貢獻(xiàn)，并把式(14)等號(hào)右邊第二項(xiàng)的腳標(biāo)交換名稱(chēng)，得到

由于上面公式里的δxμ是任意的，因此得到方程

是由電磁勢(shì)構(gòu)造的二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量。式(16)即是描述此帶電質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)論協(xié)變的牛頓第二定律運(yùn)動(dòng)方程，它給出四度力矢量Kμ為

F即是這個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)受到的洛倫茲力，從式(18)可以寫(xiě)出其第i個(gè)分量為

我們看到這個(gè)洛倫茲力對(duì)電磁勢(shì)的依賴(lài)是通過(guò)由電磁勢(shì)構(gòu)造的二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量Fμν(共有6個(gè)獨(dú)立分量)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，把其中的3個(gè)獨(dú)立空間分量定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度，另3個(gè)獨(dú)立的空間和時(shí)間的交叉分量定義為電場(chǎng)強(qiáng)度，即

則式(19)就恢復(fù)成通常所見(jiàn)的洛倫茲力公式

到此為止，我們?cè)谝粋€(gè)在外電磁勢(shì)中運(yùn)動(dòng)的帶電質(zhì)點(diǎn)體系中通過(guò)對(duì)作用量求極值推導(dǎo)出了帶電質(zhì)點(diǎn)所受的洛倫茲力。注意這里的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度是為了描述帶電質(zhì)點(diǎn)所受的外電磁力而通過(guò)式(17)和式(20)引入的有效導(dǎo)出量，它們不是體系的基本物理量，體系的基本物理量是四度電磁勢(shì)Aμ。

當(dāng)引進(jìn)了場(chǎng)強(qiáng)以后，發(fā)現(xiàn)這樣引入的場(chǎng)強(qiáng)張量自然滿(mǎn)足下面的方程

它是無(wú)源的麥克斯韋方程組的協(xié)變表達(dá)形式，對(duì)定義式(17)來(lái)說(shuō)它是恒等式。將式(22)改用式(20)中引入的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度來(lái)表達(dá)，經(jīng)過(guò)一些計(jì)算可以證明它的腳標(biāo)全都是空間分量的非平庸部分時(shí)，即是式(8)，而它的腳標(biāo)兩個(gè)是空間分量一個(gè)是時(shí)間分量的非平庸部分時(shí)，即是式(7)。由此在從作用量求極值推導(dǎo)出來(lái)的洛倫茲力中引入了電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度后，進(jìn)一步推導(dǎo)出了4個(gè)麥克斯韋方程組中的兩個(gè)無(wú)源方程式(7)和式(8)。尚未推導(dǎo)的就只剩下4個(gè)麥克斯韋方程組中的兩個(gè)有源方程了。

在進(jìn)入另外一個(gè)系統(tǒng)之前，先來(lái)討論目前系統(tǒng)的一些性質(zhì)。注意式(12)給出的作用量在電磁勢(shì)的如下規(guī)范變換下是保持不變的，即

因?yàn)橐?guī)范變換對(duì)式(12)等號(hào)右邊的第二項(xiàng)只在a和b這兩個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的頭和尾邊界上造成影響，而不影響我們所關(guān)心的軌跡中間。我們的討論固定了軌跡的兩端a和b，只討論兩端點(diǎn)之間的中間可能的軌跡變化，因此可以認(rèn)為式(12)第二項(xiàng)在規(guī)范變換式(23)下保持不變，簡(jiǎn)稱(chēng)規(guī)范不變，而式(12)第一項(xiàng)因?yàn)楦静灰蕾?lài)電磁勢(shì)Aμ因而也是規(guī)范不變的，因此稱(chēng)這個(gè)在外電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電質(zhì)點(diǎn)體系具有規(guī)范不變性。而推導(dǎo)出的結(jié)果——運(yùn)動(dòng)方程(16)和引申導(dǎo)出的無(wú)源麥克斯韋方程(22)顯然都是規(guī)范不變的，因?yàn)橛墒?17)定義的二階場(chǎng)強(qiáng)張量Fμν本身在規(guī)范變換式(23)下就是不變的量。這里引進(jìn)的規(guī)范不變性，在本文最后將升級(jí)成我們理解電磁作用最最重要的基本對(duì)稱(chēng)性。

2.2　從作用量推導(dǎo)有源的麥克斯韋方程

現(xiàn)在考慮一團(tuán)用四度電流密度矢量jμ=(j，i cρ)描寫(xiě)的已知的電荷電流源所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)系統(tǒng)，其中，j是電流密度;ρ是電荷密度，這個(gè)體系的作用量是

式(24)等號(hào)右邊的第一項(xiàng)只包含電磁勢(shì)Aμ，是描述一個(gè)無(wú)源電磁場(chǎng)的作用量項(xiàng)，第二項(xiàng)是電磁勢(shì)和電荷電流源的相互作用項(xiàng)，它實(shí)際就是式(12)中等號(hào)右邊的最小耦合項(xiàng)，只不過(guò)現(xiàn)在把原來(lái)的單個(gè)點(diǎn)電荷推廣到很多電荷分布的情形了。為了看到這一點(diǎn)首先注意到一般的四度電流密度回到針對(duì)電量為q的點(diǎn)電荷時(shí)可以寫(xiě)為

其中利用了在電磁學(xué)里對(duì)一團(tuán)以相同速度v運(yùn)動(dòng)的密度為ρ的電荷，其電流密度可以寫(xiě)為j=ρv的結(jié)果。把式(24)中的四度電流密度項(xiàng)針對(duì)電量為q的點(diǎn)電荷特別地寫(xiě)出來(lái)，并利用式(25)及對(duì)電量為q位于r′處的點(diǎn)電荷的電荷密度為ρ(r)=qδ(r-r′)，可以得到

其中空間體積積分由δ函數(shù)可以被積出來(lái)，結(jié)果約束到點(diǎn)電荷所在的空間位置，時(shí)間積分則直接通過(guò)被置換成對(duì)點(diǎn)電荷時(shí)空軌跡d xμ的積分。式(26)正是式(12)中的最小耦合項(xiàng)，也就是說(shuō)雖然現(xiàn)在與上面2.1節(jié)中討論的是不同的系統(tǒng)，但出現(xiàn)在作用量中的電荷電流源與電磁勢(shì)Aμ的相互作用項(xiàng)是完全一樣的。

現(xiàn)在討論在2.1節(jié)中的最小耦合項(xiàng)導(dǎo)致的規(guī)范變換對(duì)稱(chēng)性對(duì)很多電荷分布的情形是什么要求？把式(26)右邊滿(mǎn)足的規(guī)范不變性施加到式(26)的左邊，利用式(23)我們得到

其中進(jìn)行了分部積分并略去了不起作用的邊界項(xiàng)。由于α是任意的，因此式(27)成立要求

這是著名的電荷守恒的協(xié)變表達(dá)式，用分量寫(xiě)開(kāi)就是

因此對(duì)一團(tuán)電荷電流系統(tǒng)，要求其規(guī)范不變就導(dǎo)致電荷守恒，或者說(shuō)電荷守恒背后的對(duì)稱(chēng)性原理就是規(guī)范對(duì)稱(chēng)性。

既然式(24)中的第二項(xiàng)滿(mǎn)足規(guī)范不變或者電荷守恒，把這個(gè)性質(zhì)外推到強(qiáng)行要求式(24)的第一項(xiàng)也必須是規(guī)范不變的，即

③要求S規(guī)范不變。

這個(gè)第一項(xiàng)同樣滿(mǎn)足2.1節(jié)對(duì)作用量提的兩條要求①和②，而目前的規(guī)范不變(或電荷守恒)可以被看作是對(duì)那兩條要求再進(jìn)行補(bǔ)充的第③條要求，它對(duì)式(12)給出的作用量是恒滿(mǎn)足的。注意要求③對(duì)第一項(xiàng)是很不平庸的，如果沒(méi)有這個(gè)要求，則在第一項(xiàng)里可以出現(xiàn)更加簡(jiǎn)單的項(xiàng)：還可以在這項(xiàng)前乘個(gè)常數(shù)。這個(gè)項(xiàng)對(duì)應(yīng)電磁場(chǎng)量子-光子的質(zhì)量項(xiàng)，沒(méi)有這項(xiàng)也就對(duì)應(yīng)前面曾經(jīng)提到的光子沒(méi)有質(zhì)量，或者說(shuō)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性禁戒光子具有質(zhì)量。實(shí)際上即使?jié)M足上面①～③條要求，在式(24)中原本還可以允許存在一個(gè)和第一項(xiàng)類(lèi)似的項(xiàng)的εμνσρ是四階全反對(duì)稱(chēng)張量，ε1234=1，對(duì)腳標(biāo)交換偶次數(shù)值不變，交換奇次多出一個(gè)負(fù)號(hào)，腳標(biāo)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上相同則為零)，還可在這項(xiàng)前面乘以一個(gè)常數(shù)。只是這項(xiàng)是一個(gè)時(shí)空坐標(biāo)的全微商項(xiàng)：

若把它加到作用量中，考慮到還有一個(gè)時(shí)空體積積分這個(gè)項(xiàng)就變成在時(shí)空邊界(包括空間無(wú)窮遠(yuǎn)的邊界和時(shí)間的起始時(shí)刻和終了時(shí)刻的邊界)上場(chǎng)的貢獻(xiàn)。而在我們的討論中，時(shí)空邊界上的場(chǎng)要么是趨于零的要么是固定的，式(30)提供的這項(xiàng)對(duì)實(shí)際關(guān)心的時(shí)空邊界內(nèi)部的場(chǎng)的變化是沒(méi)有貢獻(xiàn)的，因此這項(xiàng)可以在作用量式(24)中不予考慮。值得指出的是，如果是討論有限大的介質(zhì)中的電磁場(chǎng)，式(30)可能會(huì)貢獻(xiàn)介質(zhì)邊界的一些效應(yīng)因而不能被忽略，這些效應(yīng)往往和拓?fù)溆嘘P(guān)，例如當(dāng)今在凝聚態(tài)物理中熱門(mén)的拓?fù)浣^緣體就和這項(xiàng)有關(guān)。

下面將通過(guò)式(24)給出的作用量對(duì)電磁勢(shì)Aμ求極值，得到兩個(gè)有源的麥克斯韋方程：

由于δAν是任意的，因此上式為零意味著

這就是有源麥克斯韋方程的協(xié)變形式，具體計(jì)算時(shí)可以發(fā)現(xiàn)它的時(shí)間分量是式(5)給出的麥克斯韋方程，空間分量是式(11)給出的麥克斯韋方程。以上是對(duì)已知的電荷電流源從作用量式(24)出發(fā)對(duì)電磁勢(shì)求極值推導(dǎo)出了兩個(gè)有源的麥克斯韋方程(5)和(11)。

2.3　對(duì)從作用量導(dǎo)出經(jīng)典電磁學(xué)理論的評(píng)述

在引進(jìn)了電磁勢(shì)后，從作用量出發(fā)，可以嚴(yán)格推導(dǎo)出洛倫茲力公式和麥克斯韋方程組，在這個(gè)體系中對(duì)經(jīng)典電磁學(xué)理論的理解就轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)電磁勢(shì)的引進(jìn)，對(duì)式(12)和式(24)中的作用量為什么這樣選取的理解和對(duì)為什么作用量要取極值的理解。本節(jié)開(kāi)始已經(jīng)討論過(guò)電磁勢(shì)的引進(jìn)理由，下節(jié)還會(huì)對(duì)它進(jìn)行更加深入的討論，在這里不再贅述。由于作用量是由前面提出的3個(gè)基本要求①、②、③來(lái)確定的，因此問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對(duì)這3條基本要求和為什么作用量要取極值的理解。下文將逐條討論。

對(duì)基本要求①，在經(jīng)典理論中只要求作用量的極值，而把作用量取為標(biāo)量似乎有些要求過(guò)高了，因?yàn)闆](méi)有見(jiàn)到非標(biāo)量的其他各種張量在洛倫茲變換下完全無(wú)法保持極值性質(zhì)的討論，①在經(jīng)典理論中提供的應(yīng)該是充分條件，而不是充分必要條件。如果進(jìn)一步考慮量子物理，在量子理論中，從路徑積分的角度可以看出，不只作用量取極值的軌跡對(duì)物理有貢獻(xiàn)，所有可能的軌跡都會(huì)有貢獻(xiàn)，且不同軌跡對(duì)物理的貢獻(xiàn)是以其作用量相應(yīng)取值作為權(quán)重的(權(quán)重因子正比于eiS/?)，因此要保證物理不隨慣性系選擇而改變，所有作用量的可能取值都不能隨慣性系的選擇變化，這正是對(duì)作用量為標(biāo)量的要求。

對(duì)基本要求②，初看起來(lái)挺自然的，但細(xì)究現(xiàn)實(shí)世界確存在不選最簡(jiǎn)單理論結(jié)構(gòu)的例子。在量子場(chǎng)論中可以證明一個(gè)量子場(chǎng)論的體系可以用一個(gè)有效的經(jīng)典場(chǎng)論體系來(lái)描寫(xiě)，并且量子場(chǎng)論提供了一套完整按照普朗克常數(shù)正冪次展開(kāi)的計(jì)算這個(gè)有效經(jīng)典場(chǎng)論體系的作用量的方法[1]，結(jié)果這個(gè)有效作用量在最低階(普朗克常數(shù)的零次冪)就是量子體系的作用量，后面再加上正比于普朗克常數(shù)各階冪次的量子修正。如果原來(lái)量子體系的作用量滿(mǎn)足了基本要求②，那么這個(gè)有效作用量就顯然不再滿(mǎn)足了，因?yàn)槟切﹣?lái)自量子修正的項(xiàng)顯然要比原來(lái)出現(xiàn)在量子體系里的作用量中的項(xiàng)要復(fù)雜得多，因而破壞了簡(jiǎn)單性原則。注意這里量子物理所起的效果是破壞確定作用量的基本要求，而在上面對(duì)①的討論中確是反過(guò)來(lái)，量子物理是更加支持確定作用量的基本要求。

對(duì)基本要求③，由于規(guī)范不變性是一個(gè)很抽象的對(duì)稱(chēng)性，要求物理體系滿(mǎn)足這個(gè)對(duì)稱(chēng)性在直觀上并不好理解。在目前已知的除引力外的3種物質(zhì)間的基本相互作用原始都具有某種規(guī)范對(duì)稱(chēng)性，或者說(shuō)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性加上基本要求①和②完全決定了這些基本相互作用，但實(shí)驗(yàn)證實(shí)了對(duì)弱作用的規(guī)范對(duì)稱(chēng)性發(fā)生了自發(fā)破缺。在下一節(jié)的新的理解方式中，我們將放棄①和②，將③最后上升為唯一用來(lái)決定和理解理論的基本要求。直觀上從規(guī)范對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出的電荷守恒定律(如果是其他的規(guī)范對(duì)稱(chēng)性也就對(duì)應(yīng)其他荷的守恒定律)相對(duì)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性似乎更好理解一些，畢竟它只是說(shuō)孤立的電荷不會(huì)產(chǎn)生或湮滅。

對(duì)作用量取極值這一經(jīng)典力學(xué)體系最基本的最小作用量原理，看起來(lái)很自然和優(yōu)美，但如在對(duì)①的討論中提到的，當(dāng)進(jìn)入量子物理后，就不再只是作用量的極值對(duì)物理有貢獻(xiàn)了，非極值也會(huì)有貢獻(xiàn)，因此似乎極值原理在自然界也并不總普適，而只針對(duì)經(jīng)典體系適用。實(shí)際上即使只對(duì)經(jīng)典體系，筆者也在文獻(xiàn)[2]中介紹和討論過(guò)一些可能不存在作用量的電磁體系。

本節(jié)是把電荷電流源與場(chǎng)分開(kāi)看成各自獨(dú)立的系統(tǒng)進(jìn)行討論的，為使討論完備，下面補(bǔ)充討論把兩者結(jié)合起來(lái)的自作用體系。有人說(shuō)既然在2.2節(jié)引進(jìn)了電磁場(chǎng)的作用量，也就是式(24)中的第一項(xiàng)，為什么在式(12)中不考慮這一項(xiàng)的貢獻(xiàn)呢？我們可以辯解說(shuō)式(12)描寫(xiě)的是在外電磁場(chǎng)情形下的體系，純電磁場(chǎng)的項(xiàng)不應(yīng)該參與對(duì)作用量求極值因而不產(chǎn)生貢獻(xiàn)。但仔細(xì)檢查求作用量極值的步驟式(14)，其中確實(shí)含有對(duì)電磁勢(shì)的變分δAμ，只是由于外電磁勢(shì)是固定的不再是獨(dú)立變分變量，這個(gè)變分進(jìn)一步被約化成對(duì)其所依賴(lài)帶電點(diǎn)電荷的時(shí)空坐標(biāo)的變分：

它說(shuō)明即使電磁勢(shì)本身是固定的，由于帶電質(zhì)點(diǎn)在其中運(yùn)動(dòng)，含電磁勢(shì)的項(xiàng)仍可能會(huì)對(duì)變分有貢獻(xiàn)。由此確實(shí)應(yīng)該把式(24)中的第一項(xiàng)加入式(12)。以下看看真把它加進(jìn)去的效果。利用式(31)的推導(dǎo)過(guò)程，可以讀出加進(jìn)這項(xiàng)導(dǎo)致在式(14)中需要新補(bǔ)充一項(xiàng)：

其中的δxσ只在前面的場(chǎng)強(qiáng)和電磁勢(shì)中所依賴(lài)的坐標(biāo)位于粒子的軌跡上時(shí)才不為零，而帶電質(zhì)點(diǎn)的軌跡是在四維時(shí)空中的一條曲線(xiàn)，在這條曲線(xiàn)(無(wú)窮細(xì))上式(34)前面的時(shí)空積分體積元d t d V→0，因而導(dǎo)致式(34)實(shí)際上為零。式(31)最后一個(gè)等式的右邊第二項(xiàng)不像第一項(xiàng)(也就是式(34))在帶電質(zhì)點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)上為零，是因?yàn)槠渲械碾娏髅芏仍谲壽E上出現(xiàn)了δ函數(shù)的無(wú)窮大，它和無(wú)窮小的時(shí)空體積聯(lián)合給出了有限的貢獻(xiàn)。因此得到結(jié)論，即使把式(24)中的第一項(xiàng)加入式(12)，由于新加項(xiàng)的實(shí)際貢獻(xiàn)為零，因此對(duì)2.1節(jié)的結(jié)果式(16)沒(méi)有任何影響，也就是洛倫茲力公式是不變的。而把式(24)中的第一項(xiàng)加入式(12)后，式(12)所描寫(xiě)的系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)就通常不再被理解為系統(tǒng)之外的電磁場(chǎng)了，而是系統(tǒng)本身的帶電點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。對(duì)這樣一個(gè)源和其產(chǎn)生的場(chǎng)結(jié)合起來(lái)的自作用體系，我們現(xiàn)在證明了洛倫茲力公式仍然是正確的!雖然在原始洛倫茲力公式的場(chǎng)強(qiáng)中若考慮受力電荷所發(fā)出的場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生不知如何處理的無(wú)窮大。

上面討論問(wèn)題類(lèi)似地也可以反過(guò)來(lái)問(wèn)，既然在2.1節(jié)引進(jìn)了帶電質(zhì)點(diǎn)本身的作用量，也就是式(12)中的第一項(xiàng)，那么為什么在式(24)中不考慮這一項(xiàng)的貢獻(xiàn)呢？這里的回答是平庸的：完全可以在式(24)中加上這一項(xiàng)(當(dāng)然要針對(duì)每個(gè)點(diǎn)電荷都加相應(yīng)的一項(xiàng))，但在式(31)的對(duì)有源麥克斯韋方程的推導(dǎo)的過(guò)程中，由于這些新加的項(xiàng)和動(dòng)力學(xué)變量電磁勢(shì)無(wú)關(guān)，因而對(duì)求極值沒(méi)有影響，也就對(duì)最后推導(dǎo)出的有源麥克斯韋方程沒(méi)有影響，或者說(shuō)對(duì)自作用電磁體系的電磁場(chǎng)仍然滿(mǎn)足有源的麥克斯韋方程。因此不管如何組合，場(chǎng)方程和洛倫茲力公式都總是成立的(無(wú)源的部分如前面的討論——只依賴(lài)定義式(17)，和作用量選擇無(wú)關(guān))。

3　對(duì)經(jīng)典電磁學(xué)理論依據(jù)電磁勢(shì)的新理解

從理解經(jīng)典電磁學(xué)理論的角度看，第2節(jié)依據(jù)作用量的方法顯然比第1節(jié)依據(jù)實(shí)驗(yàn)的方式好，還有沒(méi)有更好的方式呢？有的!這是本節(jié)要介紹和討論的內(nèi)容。判斷是否更好就看是否發(fā)展了一些新的更簡(jiǎn)潔、更直觀的理解方式來(lái)替換第2節(jié)中所給出的3條基本要求和最小作用量原理。

首先用四度電磁勢(shì)Aμ來(lái)描述電磁場(chǎng)的行為，這是第2節(jié)給出的作用量的理解方式中同樣要做的假設(shè)，理由已在第2節(jié)一開(kāi)始介紹過(guò)了，這個(gè)假設(shè)雖然不夠直觀但確是無(wú)奈而又必須的基本選擇。實(shí)際上電磁勢(shì)是整個(gè)電磁作用最為基本而又神秘和難以理解的基元，電磁場(chǎng)作用量中電荷電流源與電磁場(chǎng)相互作用的最小耦合項(xiàng)中現(xiàn)身的不是電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度而是電磁勢(shì)，這一現(xiàn)象本身就顯示電磁勢(shì)在電磁作用理論中的地位遠(yuǎn)比電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度重要。電磁勢(shì)的空間分量是電磁學(xué)中的矢量勢(shì)，它在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)中是最難讓人理解的量。很多人說(shuō)它沒(méi)有物理意義，因?yàn)槠浜幸?guī)范變換自由度(實(shí)際上到本文最后，我們將把這種規(guī)范變換自由度導(dǎo)致的規(guī)范對(duì)稱(chēng)性上升為理解電磁理論的第一原理，而將電磁勢(shì)反過(guò)來(lái)看成是實(shí)現(xiàn)這種對(duì)稱(chēng)性的手段和工具);又有人說(shuō)它有物理意義，因?yàn)锳B效應(yīng)確實(shí)給出可觀察的現(xiàn)象;楊振寧先生在研讀早年法拉第寫(xiě)的據(jù)說(shuō)沒(méi)有一個(gè)公式的三卷不朽巨著《電學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究》后撰寫(xiě)了《麥克斯韋方程和規(guī)范理論的概念起源》，楊先生在該文中提到，法拉第的書(shū)中的電緊張態(tài)(實(shí)際就是矢量勢(shì))頻繁出現(xiàn)在書(shū)的各處，并且又被頻繁賦予各種其他的名字，諸如特殊態(tài)、強(qiáng)度態(tài)、特殊狀態(tài)等，但從始至終未給出清晰的定義。法拉第是特別以物理圖像和直觀見(jiàn)長(zhǎng)的大物理學(xué)家，他都描述不清這個(gè)矢量勢(shì)，可見(jiàn)要想直觀出其真面目何其之難!因此對(duì)電磁勢(shì)的理解目前我們可能只能止步于此。

一旦有了電磁勢(shì)Aμ，就可以人為地利用式(17)定義二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量Fμν。人們會(huì)問(wèn)，為什么要特別選擇如此的方式構(gòu)造這樣一個(gè)反對(duì)稱(chēng)的場(chǎng)強(qiáng)張量？目前最可信賴(lài)的回答就是我們需要一個(gè)最為簡(jiǎn)單并且在式(23)給出的規(guī)范變換下保持規(guī)范不變的量?；蛘邠Q句話(huà)說(shuō)：是要求理論具有規(guī)范對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致我們引入了這個(gè)規(guī)范不變的量。而如2.1節(jié)最后的部分所討論的，從Fμν的定義又可以直接給出無(wú)源的麥克斯韋方程組式(22)。首先就從四度電磁勢(shì)的存在及二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量的定義出發(fā)導(dǎo)出了無(wú)源的麥克斯韋方程。

進(jìn)一步注意到對(duì)引進(jìn)的用四度矢量勢(shì)定義的二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量Fμν，它自然滿(mǎn)足方程：

這提示我們?nèi)舭词?32)定義一個(gè)四度電流密度jμ，這個(gè)四度電流密度將滿(mǎn)足電荷守恒式(28)。注意在這里有源的麥克斯韋方程式(32)不是推導(dǎo)或假設(shè)出來(lái)的，而是作為對(duì)電荷電流源的定義而出現(xiàn)的，也就是說(shuō)我們用有源的麥克斯韋方程通過(guò)電磁場(chǎng)來(lái)定義電荷電流源的密度。進(jìn)一步利用式(20)從二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量出發(fā)再定義具體的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，因而式(32)的分量形式就如2.2節(jié)最后所述變成式(5)和(11)。按現(xiàn)在的做法，式(5)被理解和解釋為用電場(chǎng)強(qiáng)度的散度?·E定義了體系的電荷密度ρ，而式(11)被理解和解釋為用磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度?×B和電場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率定義了體系的電流密度j。而傳統(tǒng)對(duì)這兩個(gè)有源的麥克斯韋方程的理解是：我們事先已經(jīng)從別的地方分別定義或引進(jìn)了電荷密度ρ、電流密度j、電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，式(5)和(11)這兩個(gè)方程只是建立起這些量之間的關(guān)系，把它們相互關(guān)聯(lián)起來(lái)。而我們現(xiàn)在放棄了來(lái)自別處的電荷密度ρ和電流密度j定義，改為采用這兩個(gè)方程來(lái)定義它們，也就是放棄了原來(lái)電荷電流的實(shí)體定義，而改用電磁場(chǎng)來(lái)定義和描述它們，這樣做合理嗎？有依據(jù)嗎？目前能夠挖掘出的合理性有如下3條：一是如此定義的電荷密度ρ和電流密度j滿(mǎn)足電荷守恒定律式(29);二是在電磁學(xué)的鏡像法中，源的分布完全是由場(chǎng)來(lái)決定的，并且我們經(jīng)常賦予現(xiàn)實(shí)以虛幻的“鏡像”電荷電流源來(lái)描述實(shí)際的電磁場(chǎng)分布，鏡像源并不是真實(shí)存在的源，而只是在非求解區(qū)域虛設(shè)的圖像感很強(qiáng)直觀的源，只不過(guò)它們?cè)谇蠼鈪^(qū)產(chǎn)生物理的電磁場(chǎng);三是如果我們接受電荷電流分別是電場(chǎng)和磁場(chǎng)源的圖像這一觀念，在場(chǎng)的力線(xiàn)圖上確能夠看出源的獨(dú)有的特點(diǎn)。在三維歐幾里得空間中數(shù)學(xué)上的場(chǎng)論給出對(duì)矢量場(chǎng)的空間分布只存在兩種類(lèi)型的源，分別用散度和旋度代表。散度的直觀圖像是場(chǎng)點(diǎn)單位體積的通量，直接對(duì)應(yīng)場(chǎng)力線(xiàn)的發(fā)散或收斂源，也就是?·E從電力線(xiàn)看確實(shí)是電場(chǎng)發(fā)散和匯聚的核心，也就是源;而旋度的直觀圖像是場(chǎng)點(diǎn)單位表面的環(huán)量，直接對(duì)應(yīng)場(chǎng)力線(xiàn)的渦流源。?×B從磁力線(xiàn)看確實(shí)是磁場(chǎng)渦旋的中心，也就是源。從這個(gè)角度，麥克斯韋方程組另外兩個(gè)無(wú)源的方程原本也應(yīng)該拿來(lái)定義磁荷和磁流的源，只是自然界中不存在磁單極因此那兩個(gè)方程定義的是零磁荷磁流源。這也反映了這樣一個(gè)事實(shí)：只要從四度電磁勢(shì)出發(fā)，就自然不會(huì)存在磁單極!這也可以看成一種對(duì)磁單極不存在的理論詮釋。

上面的討論若要更完備則在式(11)中還額外要考慮麥克斯韋人為加入方程的位移電流，其直觀圖像應(yīng)回溯到原始麥克斯韋文章中給出的渦旋模型，現(xiàn)代的理解是在考慮了介質(zhì)這一項(xiàng)從原來(lái)恰好是極化隨時(shí)間變化額外產(chǎn)生的電流項(xiàng)，如此反襯理解原來(lái)的應(yīng)該是個(gè)代表電流效應(yīng)的項(xiàng)。另一個(gè)不依賴(lài)介質(zhì)對(duì)的理解是，由于我們通過(guò)式(17)和(20)就可以知道電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度在洛倫茲變換下是相互轉(zhuǎn)換的(也就是電場(chǎng)和磁場(chǎng)只是一個(gè)統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的不同側(cè)面)，另外也同時(shí)知道?和在洛倫茲變換下也是相互轉(zhuǎn)換的，由此?×B和在洛倫茲變換下就是相互轉(zhuǎn)換的，一個(gè)在所有慣性系都具有同樣形式的方程若具有?×B項(xiàng)，則一定也會(huì)有項(xiàng)，因?yàn)榧词箾](méi)有換個(gè)慣性系也會(huì)通過(guò)洛倫茲變換冒將出來(lái)，類(lèi)似地若方程里有?×E項(xiàng)，則一定也會(huì)有項(xiàng)，這就形成第1節(jié)說(shuō)的不容易理解的法拉第電磁感應(yīng)定律。在這里電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度在洛倫茲變換的具體變換性質(zhì)是非常重要的，例如它們就決定了?·B和在洛倫茲變換下不會(huì)像?×B和那樣可以相互轉(zhuǎn)換，?·E和在洛倫茲變換下也不會(huì)相互轉(zhuǎn)換。這樣看似乎比較復(fù)雜，反而是在1+3維閔氏時(shí)空中用二階場(chǎng)強(qiáng)張量的協(xié)變散度來(lái)定義協(xié)變的四度電流密度，也就是式(32)，可以比較簡(jiǎn)明直接地說(shuō)明問(wèn)題。從協(xié)變性的角度看，由于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度是電磁場(chǎng)的不同側(cè)面，一個(gè)的旋度一定會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)的時(shí)間微商，或從圖像上隨時(shí)間變化的一個(gè)一定會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)的渦旋，也可以說(shuō)對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度這一對(duì)物理量，一個(gè)的時(shí)間變化率也是另一個(gè)的渦旋源。簡(jiǎn)潔地說(shuō)就是一個(gè)場(chǎng)渦旋的源有物理的流密度還有另一個(gè)場(chǎng)的時(shí)間變化率。如此我們可以說(shuō)從場(chǎng)的角度來(lái)定義和理解產(chǎn)生場(chǎng)的源既是合理的也是自然和簡(jiǎn)單的，在這樣的詮釋框架里，源不再是基本的而是場(chǎng)的衍生物，是場(chǎng)的發(fā)散和匯聚或渦旋的核心。這是一個(gè)完全依據(jù)場(chǎng)所建立的簡(jiǎn)潔直觀的物理圖像!

以上這種討論因?yàn)橹苯俞槍?duì)麥克斯韋方程組似乎可以被拿來(lái)應(yīng)用到第1節(jié)，也就是在第1節(jié)里不必退回到實(shí)驗(yàn)定律的原始形態(tài)，姑且把做了一定推導(dǎo)演繹后得到的麥克斯韋方程就看成是變形了的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這樣似乎也可以從它們來(lái)直接理解電磁學(xué)理論。其實(shí)不然，因?yàn)槿绻苯俞槍?duì)麥克斯韋方程組，就得假設(shè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，這比假設(shè)存在四度電磁勢(shì)要復(fù)雜(一個(gè)是6個(gè)變量，另一個(gè)是4個(gè)變量)，而且還看不清楚其洛倫茲變換關(guān)系。若一開(kāi)始就假設(shè)二階反對(duì)稱(chēng)場(chǎng)強(qiáng)張量Fμν，可以確定其洛倫茲變換關(guān)系，但只要沒(méi)有其與電磁勢(shì)的關(guān)系式(17)，雖然對(duì)有源的麥克斯韋方程組，確可把它們看成是對(duì)電荷電流源的定義，我們?nèi)耘f無(wú)法推出無(wú)源的麥克斯韋方程組，因此也就無(wú)法解釋為什么沒(méi)有磁單極。

另一種質(zhì)疑此種理解有源麥克斯韋方程組的可能是：假如現(xiàn)實(shí)的電磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的光子有非零質(zhì)量，那么規(guī)范對(duì)稱(chēng)性破缺了，電荷守恒將不再成立。這時(shí)由于我們?nèi)杂秒姶艅?shì)作為理論的基礎(chǔ)，因而無(wú)源的麥克斯韋方程(22)仍然成立，但有源的麥克斯韋方程組(32)就不再成立了，需要在其中加上一個(gè)光子質(zhì)量項(xiàng)的貢獻(xiàn)。如果堅(jiān)持使用原來(lái)的對(duì)應(yīng)零質(zhì)量光子的式(32)，我們失去了把它作為電荷電流源定義的基礎(chǔ)，因?yàn)樗x的電荷電流源是滿(mǎn)足電荷守恒的，而實(shí)際的情形卻不是，因此這時(shí)的式(32)給出的不是物理電荷電流源的正確定義，而當(dāng)失去了這個(gè)電荷電流源的正確物理定義后，原來(lái)的對(duì)應(yīng)零質(zhì)量光子的式(32)也就不再有物理意義和價(jià)值了。那么可否把加進(jìn)了光子質(zhì)量項(xiàng)的修改了的式(32)作為電荷電流源的定義呢？雖不能說(shuō)不行，但沒(méi)有了電荷守恒約束，我們現(xiàn)在無(wú)法知道用這個(gè)修改了的式(32)定義的源是否真是物理的電荷電流源，因?yàn)槿狈σ粋€(gè)像原來(lái)電荷守恒那樣的可觀察的實(shí)驗(yàn)定律的佐證或支持。而從場(chǎng)的力線(xiàn)分布看，修改式(32)對(duì)應(yīng)的分量方程(5)和(11)也都要修改要加進(jìn)光子質(zhì)量的貢獻(xiàn)，我們可以把這些新的光子質(zhì)量項(xiàng)看成是有效的電荷電流源，由于這些有效的電荷電流源依賴(lài)電磁勢(shì)因而它們會(huì)在全時(shí)空都有分布。因此在現(xiàn)在的時(shí)空中既有原來(lái)的物理電荷電流源，又混有新加的有效電荷電流源，它們都可以使電力線(xiàn)發(fā)散或匯聚，磁力線(xiàn)渦旋(由于式(22)仍舊成立，磁力線(xiàn)不會(huì)發(fā)散或匯聚永遠(yuǎn)只是渦旋，而電力線(xiàn)確可以渦旋)，因而從直觀電磁場(chǎng)的力線(xiàn)分布，分辨不出哪些發(fā)散、匯聚和渦旋的核心是來(lái)自物理電荷電流源，哪些又是來(lái)自有效電荷電流源。至少不再有通過(guò)場(chǎng)的分布來(lái)直接鑒別物理電荷電流源的能力，而必須通過(guò)某種方式先扣除掉(例如根據(jù)光子的質(zhì)量大小)有效電荷電流源后，才可能從場(chǎng)的分布得到物理的電荷電流源。從這個(gè)角度說(shuō)，現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)(光子無(wú)質(zhì)量)的麥克斯韋方程組相比它的其他各種可能的變形或異化來(lái)說(shuō)直觀物理圖像最為清晰、簡(jiǎn)單和自然。當(dāng)然可能有人會(huì)進(jìn)一步質(zhì)詢(xún)說(shuō)，前面討論的位移電流，也就是電場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率，不也在全時(shí)空產(chǎn)生了有效的電流密度(對(duì)應(yīng)地磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率產(chǎn)生了有效的磁流密度)貢獻(xiàn)了嗎？在那里得到物理的電荷電流源不也得扣除位移電流嗎？筆者認(rèn)為那里首先也是最為重要的是物理的電荷電流源仍有電荷守恒定律支持，而這個(gè)守恒定律的指引，就體現(xiàn)為在協(xié)變表達(dá)式(32)下，物理的四度電流密度就是二階場(chǎng)強(qiáng)張量的四度全散度。而在光子有質(zhì)量的情形，我們對(duì)物理的電荷電流源不再有電荷守恒定律支持，也就沒(méi)有相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。實(shí)際上對(duì)光子有質(zhì)量的情形，也不是不可以保留電荷守恒的要求的。只是那會(huì)對(duì)四度電磁勢(shì)額外導(dǎo)致一個(gè)約束條件，即要求其四度散度為零，也就是滿(mǎn)足洛倫茲規(guī)范。這樣額外加入理論的約束條件很不自然，而為了能超出這個(gè)約束，則我們需要在理論中引入一個(gè)新的標(biāo)量場(chǎng)。這導(dǎo)致場(chǎng)論中的Stueckelberg理論。具體討論可見(jiàn)本人的文章[3]，不在這里詳述。因此即使強(qiáng)行要求電荷守恒成立雖然在理論上也是可行的，但會(huì)把理論搞得更加復(fù)雜。

我們現(xiàn)在已經(jīng)建立起了麥克斯韋方程組，所依據(jù)的除了基本的四度電磁勢(shì)Aμ的定義外，借助了電荷守恒定律(或其背后的規(guī)范不變性)用來(lái)支持我們對(duì)電荷電流源的定義。這個(gè)守恒定律也不是假設(shè)的而是推導(dǎo)出來(lái)的，我們做的只是把推導(dǎo)出來(lái)的式(28)或式(29)詮釋為我們所熟悉的電荷守恒定律而已。一旦有了這樣的詮釋?zhuān)覀兙蜑殡姾擅芏群碗娏髅芏鹊亩x奠定了堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)。剩下的就是如何理解洛倫茲力公式了，當(dāng)談及洛倫茲力時(shí)首先就涉及力的定義，在2.1節(jié)我們是通過(guò)從作用量求極值推導(dǎo)出帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，再與標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)狹義相對(duì)論修正的牛頓第二定律對(duì)比認(rèn)出了洛倫茲力(這里還隱含了對(duì)牛頓第二定律結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí))。由于我們目前已經(jīng)已經(jīng)引進(jìn)了電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，而且知道了他們之間的洛倫茲變換關(guān)系(這些可以通過(guò)式(17)的二階張量的洛倫茲變換關(guān)系及式(20)對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義推導(dǎo)出來(lái))。如果我們進(jìn)一步假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度就是靜止的單位電荷所受的力，則當(dāng)電荷勻速運(yùn)動(dòng)形成穩(wěn)恒電流時(shí)，我們可以將電荷靜止系(那里沒(méi)有磁場(chǎng))中電荷所受的力用靜止系的電場(chǎng)強(qiáng)度乘上電荷的電量表達(dá)出來(lái)，而利用洛倫茲變換，靜止系的電場(chǎng)強(qiáng)度又可以表達(dá)為運(yùn)動(dòng)系的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的組合，且這種組合方式恰好就具有洛倫茲力的結(jié)構(gòu)，只是相差一個(gè)整體的和速度相關(guān)的因子，再利用狹義相對(duì)論力學(xué)中力的洛倫茲變換把力從電荷靜止系變換回運(yùn)動(dòng)系，這個(gè)額外的因子正好就消掉了，我們就推導(dǎo)出了運(yùn)動(dòng)系中看到的電荷受力的洛倫茲力公式，這是一種依據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的力的含義及洛倫茲變換的洛倫茲力的推導(dǎo)。按照上面對(duì)麥克斯韋方程組的推導(dǎo)和理解，我們不再依靠作用量及最小作用量原理，而改用推導(dǎo)出的電荷守恒定律來(lái)支持定義電荷電流源的方式來(lái)理解有源的麥克斯韋方程。是否可以按照類(lèi)似的思路和做法來(lái)處理洛倫茲力呢？答案是肯定的，下面同樣放棄作用量及最小作用量原理，也不采用使用電場(chǎng)強(qiáng)度定義力的方式，而改用推導(dǎo)出能動(dòng)量轉(zhuǎn)化和守恒定律來(lái)定義力的方式來(lái)理解洛倫茲力公式。以下先依據(jù)已知的通過(guò)電磁場(chǎng)定義的電荷電流源及麥克斯韋方程組推導(dǎo)協(xié)變的電磁場(chǎng)的能動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律。先定義一個(gè)四度力密度

將fμ認(rèn)定為四度力密度，是因?yàn)橛腥缦潞愕仁剑?/p>

其中，

在式(37)第一行第一個(gè)等號(hào)右邊利用了式(32)將四度電流密度替換為了場(chǎng)強(qiáng)張量(因?yàn)榘凑瘴覀兊脑忈專(zhuān)?32)就是用來(lái)定義四度電流密度的)，在式(37)第四行最后一項(xiàng)重新標(biāo)記了下標(biāo)，在式(37)第七行的最后一項(xiàng)利用了式(22)。把式(37)和定義式(36)結(jié)合起來(lái)就是

式(39)詮釋為它是體系能動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律的協(xié)變表達(dá)式，其中的二階對(duì)稱(chēng)張量Tμν是體系的能動(dòng)量張量，也就是用場(chǎng)強(qiáng)定義的電磁場(chǎng)的能動(dòng)量密度和能動(dòng)量流密度。利用式(20)并與教科書(shū)對(duì)比很容易讀出其純空間分量Tij是動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律中的電磁場(chǎng)動(dòng)量流密度張量的分量，純時(shí)間分量T44是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律中的電磁場(chǎng)能量密度的負(fù)值，而時(shí)間空間交叉分量Ti4=T4i是能量轉(zhuǎn)化與守恒定律中的電磁場(chǎng)能流密度的第i個(gè)分量乘以系數(shù)i/c，同時(shí)也是動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律中的電磁場(chǎng)動(dòng)量密度的第i個(gè)分量乘以系數(shù)i c。

正是依據(jù)能動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律式(39)，才可以把fμ詮釋為體系中的四度電磁力密度，因?yàn)楫?dāng)它為零時(shí)，體系的電磁能動(dòng)量是分別守恒的。只有其不為零時(shí)，才會(huì)使電磁能動(dòng)量出現(xiàn)向機(jī)械能動(dòng)量的轉(zhuǎn)化。當(dāng)然這種力密度的詮釋隱含了對(duì)能動(dòng)量轉(zhuǎn)化和守恒定律結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，就像第2節(jié)里要隱含對(duì)牛頓第二定律結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)類(lèi)似(注意這里說(shuō)的隱含對(duì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)是指定律的結(jié)構(gòu)是推導(dǎo)出來(lái)的，但如何認(rèn)識(shí)這些結(jié)構(gòu)確是需要假設(shè)的)。能動(dòng)量轉(zhuǎn)化和守恒定律現(xiàn)在被用來(lái)直接定義洛倫茲力，這一點(diǎn)與前面電荷守恒定律只是用來(lái)支撐和佐證通過(guò)有源麥克斯韋方程定義的電荷電流源的作用是不一樣的，雖然它們都是從原始四度電磁勢(shì)一步步嚴(yán)格推導(dǎo)出來(lái)的，那里守恒定律和定義以電荷電流密度為代表的物理量是兩件獨(dú)立的事情，這里守恒定律和定義以洛倫茲力為代表的物理量合成一件事情了。

注意式(36)定義的力密度對(duì)電量為q的位于r′處的點(diǎn)電荷利用式(25)及點(diǎn)電荷的電荷密度為ρ(r)=qδ(r-r′)變成

上式是一個(gè)四矢量的力密度，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的空間體積積分后即可得到力，但由于空間體積不是洛倫茲變換不變量，所得到的力將不再是四矢量。為了得到以四矢量形式出現(xiàn)的力，我們需要改造空間積分的積分體積元，可以證明是一個(gè)洛倫茲變換不變的空間積分體積元。因?yàn)樵诼鍌惼澴儞Q下導(dǎo)致的體積收縮被后面乘的因子所貢獻(xiàn)的膨脹效應(yīng)所抵消。這個(gè)體積元在速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)回到原始的普通空間體積元d V。用這樣一個(gè)洛倫茲不變的空間體積元對(duì)式(40)實(shí)施空間體積積分，就得到四矢量形式的力，即

它正好是式(18)給出的四度力矢量。

有了針對(duì)fμ的四度電磁力密度的解釋?zhuān)淇臻g分量f就是普通的電磁力密度，利用式(20)和式(25)，就得到了針對(duì)力密度的標(biāo)準(zhǔn)的洛倫茲力公式：

到此最后推出了洛倫茲力公式，它實(shí)際是以作為洛倫茲力定義的面目出現(xiàn)的，所依賴(lài)的支撐是推導(dǎo)出的能動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律。

在對(duì)麥克斯韋方程組的理解中，除了將其作為電荷電流源的定義外，還討論了其從場(chǎng)強(qiáng)的力線(xiàn)觀看的直觀圖像。下面相應(yīng)地討論在場(chǎng)強(qiáng)的力線(xiàn)圖上能看出些什么力的信息。式(39)的空間分量為

其中，

是電磁場(chǎng)的動(dòng)量流密度，它是三維空間的二階對(duì)稱(chēng)張量，f就是式(42)定義的洛倫茲力密度，g=ε0E×B是電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度。將式(43)等式右邊第二項(xiàng)移到等號(hào)左邊，再對(duì)等式兩邊針對(duì)任一體積V進(jìn)行體積積分，得

其中，等號(hào)左邊是體積V中體系的總動(dòng)量，也就是體積V中的所有帶電體的機(jī)械動(dòng)量和電磁場(chǎng)的動(dòng)量之和，的時(shí)間變化率，等式右邊是此體積表面所受的總的面積力，其單位表面所受的面積力為

其中，n是表面的法向單位矢量，式(45)右邊的體積表面面積分元可以寫(xiě)為dσ=n dσ。式(45)表明體積V內(nèi)的總動(dòng)量變化率可由體積表面的受力來(lái)表達(dá)，而帶電體機(jī)械動(dòng)量的時(shí)間變化率就是帶電體所受到的洛倫茲力，即

類(lèi)似地把

理解為體積V內(nèi)的電磁場(chǎng)所受的某種體積力?？梢酝ㄟ^(guò)計(jì)算從式(45)右邊讀出的電磁場(chǎng)在任意一個(gè)表面所產(chǎn)生的單位表面的面積力f表面進(jìn)一步細(xì)化為

其中，fE是純由電場(chǎng)貢獻(xiàn)的單位表面受力;fB是純由磁感應(yīng)強(qiáng)度貢獻(xiàn)的單位表面受力，且

其中，eE和eB分別是在電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度與界面表面法向矢量n分別所在的平面里的沿表面切向的單位矢量，θE和θB分別是在電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度與界面表面法向矢量n分別所在的平面里電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度與界面表面法向矢量n之間的夾角。式(49)、(50)、(51)給出的f表面實(shí)際上就是法拉第對(duì)電磁場(chǎng)力線(xiàn)受力的橡皮筋圖像的精確定量描述。它給出對(duì)一個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度(或磁感應(yīng)強(qiáng)度)分布空間中沿電力線(xiàn)(或磁力線(xiàn))的一個(gè)力線(xiàn)的流管，計(jì)算式(50)(或(51))得到此管兩端受的是拉力，側(cè)面受到的是壓力。更一般地，對(duì)空間任何一塊體積V，如果把包圍這個(gè)體積表面的所有由 式(49)給出的表面力都積分起來(lái)，由式(45)、(47)、(48)知這就是該體積中的電荷電流源所受到的洛倫茲力和電磁場(chǎng)受的體積力的疊加。如果只關(guān)心這個(gè)體積中的電荷電流源受到的洛倫茲力，就可以通過(guò)將體積表面來(lái)自電磁場(chǎng)的表面力扣除體積里面電磁場(chǎng)受到的體積力得到。注意表面力式(49)和由式(48)決定的電磁場(chǎng)所受的體積力都是由電磁場(chǎng)來(lái)描述的，并且它們對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的具體依賴(lài)結(jié)構(gòu)雖然不容易理解但卻是嚴(yán)格推導(dǎo)出來(lái)的。這給出了一個(gè)對(duì)電荷電流源所受的洛倫茲力的純電磁場(chǎng)描寫(xiě)，就像前面用電磁場(chǎng)描寫(xiě)電荷電流源一樣。

將力用場(chǎng)強(qiáng)的圖像詮釋與前面的電荷電流源用場(chǎng)強(qiáng)的圖像詮釋做一對(duì)比，這里用電磁場(chǎng)給出的表面力對(duì)應(yīng)式(5′)左邊的電場(chǎng)在體積表面面積分給出的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量，或在等式兩邊同時(shí)做了曲面積分后的式(11)左邊的磁感應(yīng)強(qiáng)度在曲面邊界曲線(xiàn)積分給出的磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)量，而在從表面力甄別洛倫茲力的過(guò)程中要被扣掉的電磁場(chǎng)的體積力式(48)則對(duì)應(yīng)把在等式兩邊同時(shí)做了曲面積分后的式(11)擴(kuò)充人為加進(jìn)來(lái)的位移電流項(xiàng)，式(5′)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的項(xiàng)。在目前這種都用場(chǎng)強(qiáng)的圖像來(lái)詮釋電荷電流源和其受力的圖像里，源的討論和力的討論很重要的共同點(diǎn)是都需要先計(jì)算電磁場(chǎng)在所討論區(qū)域的邊界作貢獻(xiàn)，對(duì)式(5′)和本節(jié)談的受力邊界都是包圍區(qū)域體積V的表面，對(duì)在等式兩邊同時(shí)做了曲面積分后的式(11)邊界是包圍區(qū)域曲面的曲線(xiàn)。正是這些來(lái)自邊界上的電磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)決定了區(qū)域內(nèi)部包含的電荷電流源及其受力(還要扣掉位移電流和電磁場(chǎng)受的體積力)，這現(xiàn)象體現(xiàn)和蘊(yùn)含了一些全息的特點(diǎn)，即邊界上場(chǎng)的信息決定了內(nèi)部源的信息。

在我們這種新的對(duì)電磁學(xué)理論的理解和詮釋中，從假設(shè)四度電磁勢(shì)存在而導(dǎo)出的守恒定律(包括電荷守恒和能動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒)對(duì)我們?cè)忈岆姾呻娏髟吹拿芏燃奥鍌惼澚ζ鹆朔浅；A(chǔ)和關(guān)鍵的支撐作用。守恒定律中的守恒量的認(rèn)定和詮釋恰恰是抽象的物理思想和現(xiàn)實(shí)的日常生活中體會(huì)總結(jié)和提煉出來(lái)的概念相互融合的連接之處，就像趙凱華先生在其紀(jì)念費(fèi)曼百年的力作[4]中提到的費(fèi)曼所編的積木數(shù)目守恒的例子那樣：“一個(gè)孩子有28塊積木，這些積木完全一樣，而且不可破壞。每天早晨媽媽將這孩子和他全部的積木關(guān)在一間房子里，晚上她回來(lái)后總仔細(xì)地把積木的數(shù)目點(diǎn)過(guò)。不錯(cuò)，多少天來(lái)一直是28塊。一天積木只剩下27塊，她在室內(nèi)細(xì)心地尋找后，發(fā)現(xiàn)有一塊積木在小地毯下面。又有一天積木剩下26塊，室內(nèi)遍尋不著，然而窗子開(kāi)著，她探頭向外張望，發(fā)現(xiàn)兩塊積木在外邊。再有一天，她驚愕地發(fā)現(xiàn)積木變成30塊。后來(lái)她才知道，是一個(gè)小朋友帶著他同樣的積木來(lái)玩過(guò)，多出來(lái)的積木是這孩子留下的。她處置了多余的積木后，把窗子關(guān)起來(lái)，再不讓別的孩子進(jìn)來(lái)。于是在相當(dāng)一段時(shí)間里情況正常，直到有一天她只能找到25塊積木。這孩子有個(gè)玩具箱，媽媽想打開(kāi)這箱子找積木，孩子尖叫起來(lái)，不讓她開(kāi)箱。媽媽只好稱(chēng)一下這箱子的重量。她以前知道，每塊積木重3盎司，28塊積木在外時(shí)箱子的重量為16盎司，她計(jì)算一下得到：眼前積木數(shù)25+(箱重-16盎司)/3盎司=常數(shù)28。于是她確信，缺失的積木被鎖在玩具箱里。這箱子沒(méi)再打開(kāi)過(guò)，可是積木又少了許多。仔細(xì)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，澡盆里臟水的水位升高了。顯然，孩子把一些積木丟進(jìn)了澡盆。但是水太渾濁，媽媽無(wú)法看清，然而她知道，澡盆里的水原來(lái)有6英寸深，每塊積木使水位升高1/4英寸，于是她的計(jì)算公式里又添了一項(xiàng)：眼前積木數(shù)25+(箱重-16盎司)/3盎司+(澡盆的水位-6英寸)/(1/4英寸)=常數(shù)28。隨著事態(tài)一步步地復(fù)雜化，越來(lái)越多的積木跑到她無(wú)法看到的地方。可是她找到一系列附加項(xiàng)，需要添加到她的計(jì)算公式里，以代表那些看不到的積木塊數(shù)。這個(gè)復(fù)雜的公式保持著28那個(gè)數(shù)目不變?！痹谧匀唤绨l(fā)現(xiàn)存在某種量在系統(tǒng)的演變過(guò)程中保持不變，在費(fèi)曼的例子中是小孩子玩的積木數(shù)目，而在本文討論的電磁學(xué)理論中是假設(shè)了四度電磁勢(shì)存在后所推導(dǎo)出的電荷和能動(dòng)量，我們所做的只是把它們?cè)忈尀槟撤N守恒定律，而通過(guò)這種詮釋在本文中就進(jìn)一步認(rèn)定出來(lái)了電荷電流源和洛倫茲力。

到此為止僅僅依賴(lài)四度電磁勢(shì)，和對(duì)從它演繹出的電荷守恒定律和能動(dòng)量轉(zhuǎn)化守恒定律的詮釋?zhuān)辉僖揽孔饔昧考捌浯_定作用量的各種基本要求和最小作用量原理，我們完整地推導(dǎo)出了麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式。其中推導(dǎo)出的電荷守恒定律用于支撐和詮釋電荷和電流密度，能量和動(dòng)量轉(zhuǎn)化與守恒定律用于定義力密度。

4　結(jié)語(yǔ)

在本文所描述的對(duì)電磁學(xué)理論的理解中，電荷密度、電流密度和其受力都是通過(guò)電磁場(chǎng)來(lái)定義的，特別是電荷電流源是可以十分清晰地直接從場(chǎng)的力線(xiàn)分布來(lái)鑒別出來(lái)的(而偏離現(xiàn)在的經(jīng)典電磁學(xué)，如前面討論的有質(zhì)量光子的理論就不再有這么簡(jiǎn)潔清晰的圖像或要構(gòu)造更為復(fù)雜的理論);而整個(gè)對(duì)電磁理論的理解最后全都?xì)w功于最最基本的存在四度電磁勢(shì)Aμ!或者換句話(huà)說(shuō)只要存在四度電磁勢(shì)，并認(rèn)定理論具有規(guī)范不變性，最自然和簡(jiǎn)單地就演繹出了現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)典電磁學(xué)理論，而不是其他。如果進(jìn)一步非要把四度矢量勢(shì)的存在和要求它生成的規(guī)范變換對(duì)稱(chēng)性?xún)烧咧g再作一抉擇的話(huà)，則應(yīng)該選擇規(guī)范對(duì)稱(chēng)性。因?yàn)槿粢哂幸?guī)范對(duì)稱(chēng)性(更嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)是由式(23)定義的規(guī)范變換導(dǎo)致的規(guī)范對(duì)稱(chēng)性，也是在理論物理中稱(chēng)之的U(1)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性)，則必須存在四度電磁勢(shì)，或者換句話(huà)說(shuō)，四度電磁勢(shì)實(shí)際只是實(shí)現(xiàn)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性的工具和手段。因此結(jié)論是規(guī)范對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致了我們的經(jīng)典電磁學(xué)理論!我們?cè)诂F(xiàn)代意義上回到了楊振寧先生指出的法拉第巨著里所特別強(qiáng)調(diào)的電緊張狀態(tài)對(duì)經(jīng)典電磁學(xué)有著根本的影響的結(jié)論!而區(qū)區(qū)一個(gè)看似簡(jiǎn)單不太起眼的為實(shí)現(xiàn)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性而引入的四度電磁勢(shì)Aμ，在一步步不斷地巧妙構(gòu)造和詮釋下，居然最后完整地搭建起了整個(gè)經(jīng)典電磁學(xué)理論的大廈，描述自然界的理論居然如此簡(jiǎn)潔而精妙，實(shí)在令人嘆為觀止!