宋坤駿， 丁建明， 林建輝

(西南交通大學(xué)　牽引動力國家重點實驗室， 成都 610031)

滾動軸承作為機(jī)械設(shè)備中常見且高故障率的部件，其狀態(tài)的及時監(jiān)測和故障的準(zhǔn)確診斷具有十分重要的意義。當(dāng)前振動信號故障特征提取手法有很多，包括快速傅里葉變換，小波變換，Wigner-Ville分布，由Huang等人[1]提出的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)和Dragomiretskiy等人[2]提出的變分模態(tài)分解(VMD)等。就EMD和VMD兩者的特點而言，EMD算法因為缺乏堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)面臨著模態(tài)混疊，端點效應(yīng)等問題。VMD算法源自嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，基本消除了模態(tài)混疊現(xiàn)象，同時由于VMD可看成一組自適應(yīng)的維納濾波器，因而對噪聲具有較高的魯棒性。VMD在實際工程應(yīng)用中面臨的主要問題在于算法參數(shù)的選取。針對這一問題，文獻(xiàn)[3]提出了以去噪后的信噪比和均方差為優(yōu)化目標(biāo)采用遺傳算法優(yōu)化VMD參數(shù)。文獻(xiàn)[4]提出了以模態(tài)分量的包絡(luò)熵值最小化為優(yōu)化目標(biāo)采用遺傳算法優(yōu)化VMD參數(shù)。上述兩種優(yōu)化方法均從信號預(yù)處理的角度出發(fā)，沒有結(jié)合分類算法，而參數(shù)選擇對于分類算法的效果實際上也有很大影響，典型例子當(dāng)屬支持向量機(jī)(SVM)。文獻(xiàn)[5]采用差分進(jìn)化算法通過最小化SVM在驗證集上的泛化誤差優(yōu)化SVM的參數(shù)，該方法的特點是原理較為簡單，優(yōu)化結(jié)果準(zhǔn)確，缺點是計算量偏大。文獻(xiàn)[6]為減小計算量，提出了基于Fisher準(zhǔn)則和最大熵原理的SVM核參數(shù)選取方法。文中借鑒其思想并加以提升，提出了以改進(jìn)的核空間多類別Fisher準(zhǔn)則為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化小波核極限學(xué)習(xí)機(jī)的核參數(shù)ω和a。

故障診斷流程如下：首先通過模態(tài)中心頻率錯開原則以及信噪比最大原則確定VMD預(yù)設(shè)模態(tài)數(shù)K和二次懲罰參數(shù)α。然后將信號通過VMD分解為若干模態(tài)分量，提取各分量的峭度，中心頻率和同原信號的距離相關(guān)系數(shù)作為輸入核極限學(xué)習(xí)機(jī)的特征向量，并使用模擬退火粒子群算法基于改進(jìn)的核空間Fisher準(zhǔn)則優(yōu)化小波核極限學(xué)習(xí)機(jī)的核參數(shù)ω和a。最后使用參數(shù)優(yōu)化的小波核極限學(xué)習(xí)機(jī)對軸承的4種故障進(jìn)行分類辨識。

1　變分模態(tài)分解(VMD)

VMD算法能夠非迭代地求出非平穩(wěn)信號的各個本征模態(tài)函數(shù)，不僅避免了EMD等迭代型算法的篩分停止準(zhǔn)則選取，模態(tài)混疊等問題，也有效提高了分解效率。同EMD不同的是，VMD需要預(yù)先設(shè)定希望獲得的本征模態(tài)函數(shù)(IMF)分量數(shù)K，它通過最小化K個模態(tài)函數(shù)的帶寬和構(gòu)造變分問題。求取模態(tài)函數(shù)帶寬和的手段是：先進(jìn)行Hilbert變換求出邊際譜，然后乘以指數(shù)因子將模態(tài)函數(shù)的頻譜移動到待求的中心頻率，最后計算上述信號的梯度平方L2范數(shù)作為帶寬的估計。整個需要求解的約束變分模型如下：

(1)

式中uk(t)為第k個IMF分量(1≤k≤K),ωk為其待求的中心頻率。Dragomiretskiy和Zosso通過引入二次懲罰因子α和Lagrange乘子λ消除約束，將上述極小值問題轉(zhuǎn)化為求解下述增廣Lagrange函數(shù)的鞍點

(2)

這里二次懲罰項可以提升收斂性能和對噪聲的魯棒性，拉氏乘子使得重構(gòu)約束條件得到嚴(yán)格滿足?？赏ㄟ^交替方向乘子法(ADMM)求解上述問題，每次求解一個變量，其他變量視為已知，可以在頻域求得第n+1次迭代的結(jié)果為

(3)

(4)

(2)n=n+1迭代開始

2　小波核極限學(xué)習(xí)機(jī)[7]

極限學(xué)習(xí)機(jī)[8]是一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特殊訓(xùn)練算法，該算法最大的特點在于大大減少了需要迭代計算求解的權(quán)值和偏置個數(shù)，將原兩層權(quán)值的迭代求解問題轉(zhuǎn)換為通過最小二乘法求解最后一層的輸出權(quán)值。因而不僅大大加快了訓(xùn)練速度，而且非但沒有喪失泛化能力反而有所提升。單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層公式為

=h(x)β

(5)

這里h(x)=[h1(x),h2(x),…,hL(x)]T和β=[β1,β2,…,βL]T分別是隱藏層激活函數(shù)向量和隱藏層輸出權(quán)值，ai和bi分別是輸入層權(quán)值和偏置，β由正則化的Moore-Penorse廣義逆給出為

βt=HT(I/C+HHT)-1T

(6)

上式中關(guān)于N個輸入樣本[x1,x2,…,xN]的隱層輸出矩陣H定義為

(7)

其中L是隱層神經(jīng)元數(shù)，而關(guān)于N個輸入樣本的訓(xùn)練數(shù)據(jù)目標(biāo)矩陣則由下式定義

(8)

其中m是輸出維數(shù)。由以上公式可以得出ELM算法的訓(xùn)練流程圖如下：

圖1　極限學(xué)習(xí)機(jī)訓(xùn)練流程

由圖1知，原始極限學(xué)習(xí)機(jī)算法需要隨機(jī)選取輸入層權(quán)值ai和輸入層偏置bi,手動選取隱層神經(jīng)元數(shù)L，給算法帶來很大不確定性。仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，這些參數(shù)的作用僅在于設(shè)定隱層特征映射h(x)的具體形式，而實際上由式(5)和式(6)可知，在輸出函數(shù)中無需知道h(x)的具體形式,只需知道內(nèi)積h(xi)·h(xj)的形式即可，如下式所示：

fL(x)=h(x)β=[K(x,x1),…,K(x,xN)](1/C+

G)-1T

(9)

(10)

小波核函數(shù)中的參數(shù)ω和a將通過文中的改進(jìn)Fisher準(zhǔn)則采用模擬退火粒子群算法予以聯(lián)合優(yōu)化。

3　改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則

(11)

文中Fisher準(zhǔn)則用于指導(dǎo)核函數(shù)參數(shù)的選擇，也就是用來挑選隱層非線性特征映射φ，為此需要將核空間的類間離散度和類內(nèi)離散度用核函數(shù)表達(dá)出來，這是可以辦到的，結(jié)果為

(12)

(13)

(14)

以上S2/S1的表達(dá)式中，xir代表第i類的第r個樣本點。

實際運用時為了計算方便和精度考慮，可以等價地最小化S1-S2。

4　模擬退火粒子群算法

粒子群算法(PSO)[10]是一種在復(fù)雜解空間中通過粒子群的運動近似搜索最優(yōu)解的啟發(fā)式算法，具有易于實現(xiàn)和收斂速度快的優(yōu)點，但在進(jìn)化后期容易出現(xiàn)粒子趨同，收斂停滯，優(yōu)化精度不理想等現(xiàn)象?？紤]到模擬退火算法具有較強(qiáng)的概率突變跳出局部最優(yōu)解的能力，提出一種結(jié)合模擬退火和粒子群算法的混合優(yōu)化算法?；谀M退火的粒子群算法的步驟如下

① 隨機(jī)初始化種群中各個微粒的位置xi和速度vi

② 初始化pi為粒子i當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的位置，初始化pg為當(dāng)前所有粒子中最優(yōu)個體的位置

③ 確定初始溫度，一般采用如下初始溫度和退溫方式：

T(t+1)=λT(t)T(0)=f(pg)/ln5

(15)

④ 按照下列公式更新各個微粒的速度和位置：

vij(t+1)=φ{(diào)vij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+

c2r2[pgj-xij(t)]}

(16)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(17)

⑥ 按照各微粒的新位置更新個體最優(yōu)位置pi和群體最優(yōu)位置pg

⑦ 在同一溫度下，步驟④～⑥重復(fù)L次

⑧ 更新溫度

⑨ 若達(dá)到最大迭代次數(shù)，則停止搜索，輸出群體最優(yōu)值，否則轉(zhuǎn)④

5　故障特征提取

距離相關(guān)系數(shù)[11]是傳統(tǒng)Pearson線性相關(guān)系數(shù)的一種改進(jìn)，它基于兩個隨機(jī)向量X和Y的聯(lián)合分布fXY(x,y)和各自分布的乘積fX(x)fY(y)之間的函數(shù)距離，可以度量兩個隨機(jī)向量X和Y之間的非線性相關(guān)關(guān)系。隨機(jī)向量X和Y的樣本Xk和Xk，(k=1，2，…，n)之間的經(jīng)驗距離相關(guān)系數(shù)定義為

(18)

上式中若分母為0，則dCor(X,Y)=0，其中經(jīng)驗距離協(xié)方差dCov(X,Y)定義為

(19)

和式中的有關(guān)項定義為

6　試驗數(shù)據(jù)分析

文中所用故障軸承振動加速度數(shù)據(jù)來自美國Case Western Reserve University，數(shù)據(jù)的采樣頻率為12 kHz,軸承轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)頻率30 Hz。軸承損傷點是用電火花機(jī)人工加工形成的，其直徑為0.017 8 cm。測試軸承是SKF6205型深球溝軸承的驅(qū)動端軸承。采集了外圈，內(nèi)圈，滾動體故障和正常情況共4種信號。每種信號取長度為2 048的一段作為樣本進(jìn)行特征提取。

以內(nèi)圈信號為例，首先基于任意兩個模態(tài)分量的中心頻率不能太過接近，即最小中心頻率間隔不能小于最大中心頻率間隔的20%定出VMD算法的模態(tài)數(shù)K=4。K=2～5的情況下根據(jù)采樣頻率可計算出內(nèi)圈故障信號各模態(tài)中心頻率如表1所示，由表1可見當(dāng)K=5時最后兩個模態(tài)的中心頻率較為接近，可能發(fā)生模態(tài)混淆，故取K=4。

VMD的二次懲罰參數(shù)α的最優(yōu)值可以通過信噪比和模態(tài)帶寬方面的考慮求得。首先來考慮信噪比，這里采用的降噪方案基于上節(jié)的距離相關(guān)系數(shù)，具體方法是求出各個模態(tài)分量同原信號的距離相關(guān)系數(shù)，舍去小于最大相關(guān)系數(shù)25%的較小相關(guān)系數(shù)對應(yīng)的IMF分量，剩余的IMF分量求和重構(gòu)即完成降噪過程。例如表2給出了內(nèi)圈故障信號在α=2 000，K=4，τ=0的情況下各模態(tài)同原信號的距離相關(guān)系數(shù)dCor值。

表1　內(nèi)圈故障信號各IMF中心頻率

表2　內(nèi)圈故障信號各IMF同原 信號距離相關(guān)系數(shù)

由于表中最小的相關(guān)系數(shù)大于最大相關(guān)系數(shù)的25%，所以沒有模態(tài)被舍去，即便如此，這4個模態(tài)重構(gòu)求和后并不精確等于原信號。這是因為以去噪而非重構(gòu)原信號為目的，為了將噪聲排除在重構(gòu)和外，已將施加重構(gòu)約束的拉氏乘子λ(t)的更新系數(shù)τ的值設(shè)為0(見VMD算法流程第5步)。根據(jù)重構(gòu)前后信號u(t)和f(t)，可以算出信噪比

(20)

計算發(fā)現(xiàn)信噪比隨著懲罰參數(shù)增大而減小且遞減速率漸趨緩慢(圖2)。由于VMD可以看成自適應(yīng)的維納濾波器組，因而信噪比跟模態(tài)分量帶寬一樣均隨懲罰參數(shù)變小而變大，兩者變化趨勢是一致的。

圖2　不同懲罰參數(shù)α下VMD濾波后信噪比

由于參數(shù)α越小信噪比越大且各模態(tài)的帶寬越大，因此應(yīng)當(dāng)選取各模態(tài)無頻帶交疊時的最小α值。各模態(tài)頻帶不發(fā)生交疊的條件是任兩模態(tài)中心頻率間隔大于兩模態(tài)帶寬之和的一半。由此可以計算出滿足上述條件的最小α取值為300。

獲得VMD算法關(guān)鍵參數(shù)K和α之后，將信號做VMD分解,分解所得IMF分量的時域波形如圖3所示。圖3中模態(tài)的沖擊成分以200個采樣點為周期，對應(yīng)頻率為60 Hz,這不是故障的特征頻率而是軸承旋轉(zhuǎn)頻率的倍頻，所以難以從時域信號判斷故障類型。隨后提取各模態(tài)的峭度，模態(tài)中心頻率和同原信號的距離相關(guān)系數(shù)作為輸入小波核極限學(xué)習(xí)機(jī)的特征向量。核極限學(xué)習(xí)機(jī)的核參數(shù)ω和a使用核空間的改進(jìn)Fisher準(zhǔn)則予以優(yōu)化。求解此優(yōu)化問題用到模擬退火粒子群算法，算法參數(shù)為粒子數(shù)N=40，學(xué)習(xí)因子c1=2.05，c2=2.05，收縮因子φ=0.729，最大迭代次數(shù)M=100，退火常數(shù)λ=0.5。優(yōu)化計算得到的小波核參數(shù)的最優(yōu)值為ω=1.232，a=34.69。小波核函數(shù)指數(shù)因子中的參數(shù)a的增加會增加該指數(shù)因子，從而增大了核空間的內(nèi)積，直觀上提高了核空間的線性區(qū)分度。

為說明文中提出的算法的效果，運行3組對比試驗：(1)同樣的粒子群算法參數(shù)但使用原始Fisher準(zhǔn)則，優(yōu)化得到的小波核參數(shù)的最優(yōu)值為ω=0.002 55，a=4.275。(2)將同一信號進(jìn)行EMD分解，提取分解后同原信號距離相關(guān)系數(shù)最大的前4個IMF分量的峭度，平均瞬時頻率以及距離相關(guān)系數(shù)后輸入?yún)?shù)同為ω=1.232，a=34.69的核極限學(xué)習(xí)機(jī)中。(3)同一組信號VMD分解，但是用普通的相關(guān)系數(shù)而非距離相關(guān)系數(shù)作為特征。

全部4組試驗條件下測試集準(zhǔn)確率隨正則化參數(shù)變化的曲線如圖4所示，由圖4看出，4組試驗條件下測試集準(zhǔn)確率均隨著正則化參數(shù)C增大而增大，且增幅漸趨平緩。使用VMD分解且用改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則優(yōu)化的小波核極限學(xué)習(xí)機(jī)的分類準(zhǔn)確率最高，說明Fisher準(zhǔn)則改進(jìn)后確實起到了進(jìn)一步改良非線性特征映射，使得映射后不同類別的樣本點在核空間中更為有效分離的作用。造成這種現(xiàn)象的原因是改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則通過類間最小差異度和類內(nèi)最大差異度定義的類內(nèi)和類間離散度比原始Fisher準(zhǔn)則通過樣本均值定義的類內(nèi)和類間離散度更為合理，考慮了類中樣本點分布的極差，顧及了分布的全局性質(zhì)。而以樣本均值為代表計算的離散度體現(xiàn)的是個別樣本點的局部性質(zhì)。因而改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則能夠在核空間獲得更為優(yōu)良的線性可分性。使用普通相關(guān)系數(shù)而非距離相關(guān)系數(shù)作為特征的試驗組準(zhǔn)確率排在最后，這是因為距離相關(guān)系數(shù)比起通常的只能度量線性關(guān)系的線性相關(guān)系數(shù)更好地反映了隨機(jī)變量間的非線性依賴關(guān)系，是一種更為有效的刻畫隨機(jī)變量間獨立性的統(tǒng)計量。

圖3　α=300 K=4時VMD 4個模態(tài)的時域圖

圖4　測試集準(zhǔn)確率隨正則化 參數(shù)C變化曲線

為了研究文中所提算法對噪聲的魯棒性，對4種工況振動信號加入信噪比為5 dB的高斯白噪聲后再進(jìn)行VMD分解，特征抽取和狀態(tài)識別。表3和表4分別為加入噪聲前后的混淆矩陣數(shù)據(jù)。

表3　算法在添加高斯白噪聲前混淆矩陣

表4　算法在添加高斯白噪聲后混淆矩陣

由表4可知，加入高斯白噪聲后，文中算法對正常工況，外圈故障，內(nèi)圈故障和滾動體故障的識別率分別為97.5%，95%，100%和95%,平均識別率仍然達(dá)到了96.875%，表明VMD分解方法具有良好的噪聲魯棒性。作為對比，表5和表6是采用EMD分解方法的相應(yīng)混淆矩陣，可以看到噪聲的加入嚴(yán)重影響了EMD的分類準(zhǔn)確率。EMD分解方法不能很好地應(yīng)用于實際中富含噪聲的真實信號。

表5　采用EMD分解的算法在添加 高斯白噪聲前混淆矩陣

表6　采用EMD分解的算法在添加 高斯白噪聲后混淆矩陣

為了說明核極限學(xué)習(xí)機(jī)相對同樣基于核方法的支持向量機(jī)學(xué)習(xí)算法的優(yōu)越性，表7給出了基于VMD分解和SVM分類算法的混淆矩陣數(shù)據(jù)。這里在4類數(shù)據(jù)的每2類之間訓(xùn)練一個Morlet小波核SVM分類器，核參數(shù)采用改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則予以優(yōu)化，樣本最后的分類結(jié)果是在2類分類中“勝出”數(shù)最大的類別。

從表7可知SVM平均識別率為95.625%，同表3對比可知在準(zhǔn)確率方面略低于核極限學(xué)習(xí)機(jī)。表8給出了不同的訓(xùn)練樣本數(shù)占總樣本數(shù)百分比情況下基于交叉驗證和基于改進(jìn)的核空間Fisher準(zhǔn)則的SVM 核參數(shù)尋優(yōu)耗時和準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)。

表7　采用VMD分解的SVM算法的混淆矩陣

表8　基于交叉驗證和基于Fisher準(zhǔn)則的 SVM核參數(shù)優(yōu)化的準(zhǔn)確率和耗時數(shù)據(jù)

從表8看出改進(jìn)的核空間的Fisher準(zhǔn)則相比交叉驗證的參數(shù)優(yōu)化方法而言在準(zhǔn)確率上相差不多但是參數(shù)優(yōu)化的耗時有明顯下降。所以就SVM算法來說，改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則不失為一種快速的優(yōu)選參數(shù)的手段。對于核極限學(xué)習(xí)算法而言，由于核極限學(xué)習(xí)機(jī)的訓(xùn)練速度遠(yuǎn)快于SVM，因而改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則在耗時上的優(yōu)勢無法發(fā)揮，但是對于小樣本訓(xùn)練集的情形，交叉驗證方法不再適用，而改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則仍然可以在小樣本情形下指導(dǎo)SVM和核極限學(xué)習(xí)機(jī)的核參數(shù)優(yōu)化。

7　結(jié)　論

針對核極限學(xué)習(xí)機(jī)在軸承故障診斷中遇到的參數(shù)選取問題提出了一種采用改進(jìn)后核空間中的Fisher準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選的方案，針對振動信號信噪比低的問題提出了一種基于變分模態(tài)分解和距離相關(guān)系數(shù)的濾波和特征提取方法。通過實驗數(shù)據(jù)的分析，得出以下結(jié)論：

(1) 距離相關(guān)系數(shù)能夠很好地度量隨機(jī)變量間的非線性相關(guān)關(guān)系，在濾波和特征提取方面的效果要優(yōu)于線性相關(guān)系數(shù)。

(2) VMD分解方法有效避免了EMD分解的模態(tài)混疊現(xiàn)象，而且對噪聲有較高魯棒性，在軸承故障信號分析領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。

(3) 提出的改進(jìn)的Fisher準(zhǔn)則相比原始的Fisher準(zhǔn)則提升了分類算法的泛化性能，相比交叉驗證法降低了參數(shù)優(yōu)化耗時，適用于SVM算法的參數(shù)優(yōu)化以及小樣本情形下核極限學(xué)習(xí)算法的參數(shù)優(yōu)化。