陳騰飛，陳陶菲，向華平

(南京電子技術(shù)研究所，　江蘇 南京 210039)

引　言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)于1928年出現(xiàn)，并在20世紀(jì)80年代中后期開始成為國(guó)際上的研究熱點(diǎn)，進(jìn)入快速發(fā)展時(shí)期，距今已快速發(fā)展30余年，取得了豐碩的研究成果。并聯(lián)機(jī)構(gòu)已經(jīng)成功應(yīng)用于飛行模擬器、模擬對(duì)接試驗(yàn)臺(tái)、空間站異體同構(gòu)周邊式對(duì)接機(jī)構(gòu)、工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域、醫(yī)用機(jī)器人領(lǐng)域、并聯(lián)機(jī)床、微動(dòng)調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)、載荷模擬器、穩(wěn)定平臺(tái)、振動(dòng)隔離與精確指向機(jī)構(gòu)、FAST 500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡等諸多領(lǐng)域[1-3]。

傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、均化誤差、負(fù)荷自重比大等[4]優(yōu)點(diǎn)。如果將并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于天線座，則有以下優(yōu)點(diǎn)：1)提高天線座的剛度；2)提高陣面的指向精度；3)在大機(jī)動(dòng)環(huán)境下驅(qū)動(dòng)天線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)減輕電機(jī)負(fù)載；4)與驅(qū)動(dòng)并聯(lián)相對(duì)應(yīng)的是制動(dòng)并聯(lián)，這樣可以提高天線座鎖緊制動(dòng)的安全系數(shù)。這說(shuō)明將并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于天線座可以提高天線座的性能，開展這方面的研究工作對(duì)其工程應(yīng)用是有意義的。國(guó)內(nèi)已有相關(guān)高校、研究所對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在天線座上的應(yīng)用展開研究，主要是將Stewart平臺(tái)用于射電望遠(yuǎn)鏡的陣面調(diào)整機(jī)構(gòu)中[2]，以及FAST的饋源艙的兩級(jí)調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)[3]，但針對(duì)本文所提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究還較少。

文中根據(jù)一種機(jī)載天線座的技術(shù)指標(biāo)，提出一種3UPS-U型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，計(jì)算其自由度、位姿逆解和位姿正解，推導(dǎo)其雅可比矩陣并求解其速度正、逆解。最后基于理論模型，用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，得到位姿逆解和速度逆解的曲線。

1　自由度分析

3UPS-U型并聯(lián)機(jī)構(gòu)天線座由固定平臺(tái)A1A2A3、動(dòng)平臺(tái)B1B2B3、3個(gè)主動(dòng)鏈(A1B1、A2B2、A3B3)和1個(gè)從動(dòng)鏈OAOB組成。固定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)都是等邊三角形，OA、OB是其幾何中心。A1、A2、A3是虎克鉸，用U表示。B1、B2、B3是球鉸的位置，用S表示。從動(dòng)鏈OAOB中的點(diǎn)O是虎克鉸?；⒖算q和球鉸之間是移動(dòng)副，用P表示，由此組成3UPS-U型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具體的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1。

圖1　3UPS-U型機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

采用Kutzbach-Glübler公式計(jì)算此機(jī)構(gòu)的自由度：

(1)

進(jìn)一步分析此3UPS-U型并聯(lián)機(jī)構(gòu)天線座的自由度性質(zhì)。由文獻(xiàn)[5]可知，3個(gè)主動(dòng)鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)無(wú)運(yùn)動(dòng)約束，所以此并聯(lián)機(jī)構(gòu)天線座的自由度數(shù)和性質(zhì)取決于從動(dòng)鏈，由于從動(dòng)鏈只有一個(gè)U副，因此動(dòng)平臺(tái)的自由度數(shù)和性質(zhì)與U副相同，即此并聯(lián)機(jī)構(gòu)天線座具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)軸與從動(dòng)鏈U副的2個(gè)轉(zhuǎn)軸重合。

2　機(jī)構(gòu)位姿分析

2.1　機(jī)構(gòu)位姿逆解

求解此并聯(lián)天線座的機(jī)構(gòu)位姿逆解就是已知?jiǎng)悠脚_(tái)的姿態(tài)角，求解3個(gè)主動(dòng)鏈移動(dòng)副的伸縮位移變化量。為方便求解，需要在圖1中建立坐標(biāo)系。以從動(dòng)鏈OAOB的虎克鉸位置O為原點(diǎn)建立慣性坐標(biāo)系O-xyz，其中x軸平行于A1A2A3平面和OAA1直線，z軸垂直于A1A2A3平面，從動(dòng)鏈中虎克鉸的2個(gè)轉(zhuǎn)軸分別與此慣性坐標(biāo)系的x軸和y軸重合，此坐標(biāo)系與靜平臺(tái)固連，不隨動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)而動(dòng)。為方便推導(dǎo)求解，以O(shè)為原點(diǎn)建立隨動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′，其中x軸平行于B1B2B3平面和OBB1直線，z軸垂直于B1B2B3平面，此坐標(biāo)系與動(dòng)平臺(tái)固連，隨動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。

為方便描述動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)變換，引入Euler姿態(tài)角。隨動(dòng)坐標(biāo)系O1-x1y1z1與慣性坐標(biāo)系O-xyz重合。先繞y1軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到坐標(biāo)系O2-x2y2z2，再繞x2軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角到隨動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′，由此建立慣性坐標(biāo)系和隨動(dòng)坐標(biāo)系的映射矩陣：

R=Ry,θRx,φ=

(2)

在O-xyz坐標(biāo)系中，A1、A2、A3三點(diǎn)的坐標(biāo)：

在O′-x′y′z′坐標(biāo)系中，B1、B2、B3三點(diǎn)的坐標(biāo)為：

由式(2)的映射矩陣得到B1、B2、B3三點(diǎn)在O-xyz坐標(biāo)系的坐標(biāo)：

(3)

在機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖中有矢量關(guān)系式：

(4)

則天線座在慣性坐標(biāo)系中任意姿態(tài)的主動(dòng)鏈長(zhǎng)度：

(5)

展開得：

(6)

由此，已知姿態(tài)角(θ,φ)，可由式(6)求得主動(dòng)鏈移動(dòng)副的伸縮位移變化：

Δli=li-l0

(7)

可見(jiàn)求解并聯(lián)天線座的機(jī)構(gòu)位姿逆解比較容易。在天線座實(shí)際控制系統(tǒng)中，當(dāng)輸入所需姿態(tài)角后，系統(tǒng)需要解算出電動(dòng)缸的伸縮量。并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解較容易求解，這降低了系統(tǒng)解算的難度，對(duì)天線座伺服系統(tǒng)有益。

2.2　機(jī)構(gòu)位姿正解

已知3個(gè)主動(dòng)鏈移動(dòng)副的伸縮位移變化量，求解動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角的過(guò)程就是求解機(jī)構(gòu)位姿正解。傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)比較復(fù)雜，根據(jù)約束條件，列出求解方程組，但是此方程組高度非線性，參數(shù)間相互耦合，因此位姿正解難度較大。如采用數(shù)值方法求解此非線性方程組，可以得到近似解。數(shù)值解有通用性，但是很難得到全部解。另一種解法是解析法，可以求得全部解，但是對(duì)每種類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)都需要分析推導(dǎo)，而且機(jī)構(gòu)自由度越多，分析推導(dǎo)的規(guī)模越龐大，越復(fù)雜[5]。由于本并聯(lián)天線座只有2個(gè)自由度，故采用解析法進(jìn)行求解。

根據(jù)式(6)可以得到3個(gè)主動(dòng)鏈的約束方程：

(xBi-xAi)2+(yBi-yAi)2+(zBi-zAi)2-li2=0

i=1,2,3

(8)

式(8)是關(guān)于θ、φ的三角函數(shù)高次非線性方程組，用解析法很難消元求解。為避免三角函數(shù)的引入，把映射矩陣(2)用方向余弦矩陣來(lái)表示：

(9)

一般的方向余弦矩陣共有9個(gè)元素，3個(gè)元素獨(dú)立，因此有6個(gè)約束方程：

lx2+ly2+lz2=1

(10)

mx2+my2+mz2=1

(11)

lxmx+lymy+lzmz=0

(12)

nx=lymz-lzmy

(13)

ny=lzmx-lxmz

(14)

nz=lxmy-lymx

(15)

由于式(9)和式(2)等效，因此：

ly=0

(16)

把式(9)帶入式(8)得到約束方程，此時(shí)約束方程的未知數(shù)由三角函數(shù)替換為式(9)的9個(gè)未知數(shù)。此3UPS-U型并聯(lián)天線座有3個(gè)主動(dòng)鏈，但是動(dòng)平臺(tái)只有2個(gè)自由度，驅(qū)動(dòng)數(shù)大于自由度數(shù)，屬于冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，因此式(8)的3個(gè)約束方程有2個(gè)相關(guān)，也就是3個(gè)約束方程中只有2個(gè)是獨(dú)立的方程。聯(lián)立式(8)和式(10)～(16)，共9個(gè)方程，形成九元二次方程組。通過(guò)符號(hào)推導(dǎo)，可以求得封閉解。

以上文分析為基礎(chǔ)，可解得姿態(tài)角：

(17)

(18)

3UPS-U型并聯(lián)天線座機(jī)構(gòu)的位姿正解的求解過(guò)程與其他類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比較為簡(jiǎn)單，這主要是因?yàn)殪o平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)間連接的虎克鉸從動(dòng)鏈限制了它的自由度，降低了位姿正解的求解難度。這種位姿正解的理論值為后續(xù)理論分析打下了基礎(chǔ)。

3　機(jī)構(gòu)速度分析

圖2　參數(shù)矢量圖

動(dòng)平臺(tái)球鉸位置點(diǎn)Bi處的速度：

vi=ω×ri

(19)

移動(dòng)副線速度是球鉸位置點(diǎn)速度在主動(dòng)鏈方向的投影：

(20)

(21)

這就是此3UPS-U型并聯(lián)天線座的速度逆解，則速度正解：

(22)

式(21)是移動(dòng)副線速度和動(dòng)平臺(tái)慣性坐標(biāo)系角速度之間的映射關(guān)系，為方便使用，需要建立絕對(duì)角速度和姿態(tài)角速度間的映射關(guān)系式即(θ,φ)→ω。

動(dòng)平臺(tái)在隨動(dòng)坐標(biāo)系O′-x′y′z′的角速度和姿態(tài)角的映射關(guān)系式可用Euler運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表述：

(23)

動(dòng)平臺(tái)在慣性坐標(biāo)系O-xyz的角速度：

ω=Rω(O′)

(24)

由此映射關(guān)系式建立。

4　數(shù)值仿真

本節(jié)對(duì)2、3節(jié)的理論推導(dǎo)進(jìn)行數(shù)值仿真，給出數(shù)值算例。對(duì)各參數(shù)的賦值如下：

靜平臺(tái)A1A2A3的外接圓直徑r1=500 mm，動(dòng)平臺(tái)B1B2B3的外接圓直徑r2=280 mm，中央虎克鉸與靜平臺(tái)距離h1=500 mm，中央虎克鉸與動(dòng)平臺(tái)距離h2=120 mm。為避開機(jī)構(gòu)的奇異位姿，把動(dòng)平臺(tái)繞z軸旋轉(zhuǎn)20°作為初始位姿的輸入。依照雷達(dá)天線的經(jīng)典轉(zhuǎn)動(dòng)路徑，設(shè)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角(θ,φ)從(0,0)到(35°,35°)，再回到初始位姿(0,0)，共用時(shí)2 s。具體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用參數(shù)方程表述為：

用Matlab編程計(jì)算得到3個(gè)移動(dòng)副相對(duì)于初始位姿的位移曲線，見(jiàn)圖3。

圖3　移動(dòng)副位移曲線

由式(19)～(24)計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)在慣性坐標(biāo)系的角速度曲線(圖4)和3個(gè)移動(dòng)副的線速度曲線(圖5)。

圖4　動(dòng)平臺(tái)絕對(duì)角速度曲線

圖5　移動(dòng)副線速度曲線

5　結(jié)束語(yǔ)

本文基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)天線座的優(yōu)勢(shì)，提出一種3UPS-U型并聯(lián)天線座。計(jì)算出此并聯(lián)天線座的自由度，分析了位姿逆解和位姿正解?；谶\(yùn)動(dòng)模型，推導(dǎo)出雅可比矩陣，建立移動(dòng)副輸入線速度和動(dòng)平臺(tái)輸出角速度間的映射關(guān)系。

根據(jù)設(shè)計(jì)尺寸參數(shù)，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值仿真，得到給定運(yùn)動(dòng)軌跡下，移動(dòng)副的位移曲線和速度曲線。

研究結(jié)果表明：該類構(gòu)型的并聯(lián)天線座滿足天線的機(jī)械掃描自由度要求；位姿逆解的易解性對(duì)于伺服控制有益；用解析法求解位姿正解可以得到全部解，并且為下一步的理論研究打下基礎(chǔ)；中央虎克鉸的存在簡(jiǎn)化了此并聯(lián)天線座的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過(guò)程，使雅可比矩陣能夠以較簡(jiǎn)潔的方式表述出來(lái)；數(shù)值仿真分析得到的數(shù)據(jù)曲線為天線座的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供借鑒。

本文所做相關(guān)分析為更深一步的理論研究如奇異分析、動(dòng)力學(xué)建模、性能分析打下基礎(chǔ)，并對(duì)工程應(yīng)用中的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和伺服控制具有重要的參考意義。

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