孫瑩 張偉

(非線性振動及機械結構強度北京市重點實驗室, 北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術學院, 北京 100124)

引言

環(huán)形桁架天線具有大口徑、重量輕、靈敏度高、拓撲結構簡單等特點,是目前大型衛(wèi)星天線的較為理想的結構形式.由于結構尺寸大以及材料的柔韌性等自身結構特點,環(huán)形桁架天線在空中展開后易出現(xiàn)變形,外加復雜的太空環(huán)境如：太陽輻射、熱激勵和微重力等,天線展開鎖定后在運行中易導致大幅的非線性振動.其振動形式主要有以下四種類型：(1)環(huán)形桁架與展開臂的整體彎曲振動;(2)環(huán)形桁架繞展開臂的面內(nèi)扭轉(zhuǎn)振動;(3)環(huán)形桁架繞展開臂的橫搖振動;(4)環(huán)形桁架面內(nèi)的呼吸振動.此外,還存在上述四種振動模態(tài)之間的非線性耦合振動.所以越來越多的國內(nèi)外學者對于環(huán)形桁架天線的非線性動力學行為展開了詳細的研究. Makarov等人[1]研究了環(huán)形柔性可展天線在穩(wěn)定狀態(tài)下的動力學行為.張等人[2]建立了環(huán)形桁架天線的運動方程,并分析了在1∶2內(nèi)共振下的非線性動力學行為.孫和張等人[3]利用能量相位法研究了環(huán)形桁架天線的全局分岔和多脈沖混沌運動.胡等人[4,5]建立了大型可展天線展開鎖定后在空中運行的動力學模型并分析了其動力學特性,而且還研究了一種由兩個剛性臂所支撐的大型空間可展天線的非線性動力學行為.范震等人[6]分析了大型空間環(huán)行天線結構振動的前四階模態(tài),并且研究了材料參數(shù)和邊界條件對振動模態(tài)和固有頻率的影響.

由于大幅振動嚴重影響衛(wèi)星天線的結構性能以及穩(wěn)定性,所以研究衛(wèi)星天線運行中的穩(wěn)定性變得尤為重要.而通常用高維非線性系統(tǒng)描述大型可展開天線的動力學行為.因此,可以利用高維非線性系統(tǒng)的局部分岔理論研究大型可展天線在臨界點附近可能發(fā)生的復雜動力學行為.近些年,國內(nèi)外學者在高維非線性系統(tǒng)的局部分岔問題研究方面取得了一些成果.Yu等人[7]研究了雙擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性并給出了分岔解的穩(wěn)定性條件.陳等人[8-10]利用理論和數(shù)值方法分析了不同非線性系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性和分岔解. Wei等人[11-13]針對不同的三維自治系統(tǒng)應用Routh-Hurwitz判據(jù)研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔行為以及混沌吸引子等.徐等人[14]利用規(guī)范型理論和中心流型定理分析了具有負阻尼的延遲振子的Hopf 分岔及穩(wěn)定性.

本文利用高維非線性理論以及數(shù)值方法研究了1∶1內(nèi)共振情況下環(huán)形桁架天線的穩(wěn)定性以及分岔特性. 在文獻[2] 所建立的運動方程的基礎上,利用多尺度法得到直角坐標系下的平均方程. 根據(jù)中心流形理論、非線性變換以及Routh-Hurwitz判據(jù)等得到了環(huán)形桁架天線的臨界條件. 分析了環(huán)形桁架天線平衡點附近的穩(wěn)定性, 并通過數(shù)值計算驗證了理論分析的準確性.

1 運動方程

在文獻[2]中環(huán)形桁架天線被簡化成等效圓柱殼結構模型,其動力學模型如圖1所示.為了研究環(huán)形桁架天線在實際情況下能夠產(chǎn)生何種內(nèi)共振情形,利用有限元方法對實際可展天線結構進行仿真,通過模態(tài)分析得到天線結構的振動頻率.根據(jù)有限元的模態(tài)析,給出了第四階和第五階振動模態(tài),如圖2和圖3所示.同時,得到了環(huán)形桁架天線前五階振動模態(tài)頻率,如圖4所示.從圖2,3和4中可以看出第四階模態(tài)和第五階模態(tài)的振動頻率比接近1∶1.因此,在第四階模態(tài)和第五階模態(tài)之間可能出現(xiàn)1∶1內(nèi)共振關系.所以,本文研究了環(huán)形桁架天線在1∶1內(nèi)共振下的穩(wěn)定性以及非線性動力學行為.

圖1 等效圓柱殼模型Fig.1 Model of equivalent circular cylindrical shell

圖2 環(huán)形桁架天線第四階振動模態(tài)Fig.2 The fourth order mode in vibration of the circular truss antenna

圖3 環(huán)形桁架天線第五階振動模態(tài)Fig.3 The fifth order mode in vibration of the circular truss antenna

圖4 環(huán)形桁架天線振動頻率Fig.4 The vibration frequency of the circular truss antenna

根據(jù)一階剪切變形理論,von Karman幾何關系以及Hamilton原理得到了等效圓柱殼的非線性偏微分方程,利用Galerkin方法對偏微分方程進行離散,我們主要考慮系統(tǒng)的橫向非線性振動,得到了兩自由度等效圓柱殼非線性呼吸振動常微分方程如下：

γ12w2+γ13w13+γ14w12w2+γ15w1w22+

γ16w23=γ17+γ18fTcos(Ωt)

(1a)

γ22w1+γ23w23+γ24w22w1+γ25w2w12+

γ26w13=γ27+γ28fTcos(Ωt)

(1b)

其中,w1(t)和w2(t)分別是第四階和第五階振動的模態(tài)函數(shù),fT為環(huán)形桁架天線的外激勵,μ1和μ2為結構阻尼系數(shù).

利用多尺度法分析等效圓柱殼的非線性呼吸振動方程,為了便于分析,引入如下參數(shù)變換：

γ11→εγ11,γ12→εγ12,γ13→εγ13,

γ14→εγ14,γ15→εγ15,γ16→εγ16,

γ17→εγ17,γ21→εγ21,γ22→εγ22,

γ23→εγ23,γ24→εγ24,γ25→εγ25,

γ26→εγ26,γ27→εγ27,μ1→εμ1,

μ2→εμ2

(2)

考慮1∶1內(nèi)共振情形,關系如下：

(3)

經(jīng)過計算,得到四維直角坐標系下的平均方程：

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

2 穩(wěn)定性和分岔分析

根據(jù)坐標平移原理,微分方程的非零平衡點都可以平移到零解平衡點處,因此,我們只需考慮零解平衡點附近的穩(wěn)定性.

由方程(4)可知,(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)為方程的平衡點,對應的Jacobian矩陣為：

(5)

Jacobian矩陣(5)對應的特征多項式如下：

f(λ)=a0λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4

(6)

其中,

a0=1

(7a)

a1=μ1+μ2

(7b)

(7c)

(7d)

(7e)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知,如果平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)是穩(wěn)定的,系統(tǒng)必須同時滿足如下條件：

a1>0,a1a2-a3>0,a4>0

a3(a1a2-a3)-a12a4>0

(8)

條件(8)表明Jacobian矩陣(5)的所有特征根實部均為負數(shù).而當條件(8)中有任何一個條件不滿足時,平衡點即為不穩(wěn)定解,系統(tǒng)將會出現(xiàn)分岔現(xiàn)象.因此,接下來我們將要對系統(tǒng)(4)進行局部穩(wěn)定性和分岔分析.

如果Jacobian矩陣(5)只有一個零特征根,對應的特征多項式(6)只有一個零解,則需要多項式(6)的系數(shù)a1,a2,a3,a4滿足a1·a2·a3≠0,a4=0.即如下條件：

(9)

根據(jù)方程(9),繼續(xù)推導得出：

μ1μ2-σ1σ2+γ12γ22=0,

(μ1σ2+μ2σ1)2=0

(10)

將方程(10)代入(7d)中,得到a3=0.如果條件a3=0和a4=0同時滿足,則會得到Jacobian矩陣(5)將有一對零特征根,這個結果與矩陣(5)有一個零特征根的結論相違背.因此,Jacobian矩陣(5)不可能存在只有一個零解的情況. 下面我們分析特征多項式(6)在平衡點處有雙零和兩個負特征值以及雙零和一對純虛特征值情形下的穩(wěn)定性.

2.1 雙零和兩個負特征根

在這一節(jié)中,我們主要研究特征多項式(6)在平衡點處有雙零和兩個負數(shù)特征根的情況.為了便于分析,選取方程(4)中的參數(shù)如下：μ1=μ2=2,γ13=γ14=γ15=γ16=8,γ12=2,γ22=-4 ,γ23=γ24=γ25=γ26=8,σ2=-2,σ1=2 ,γ18=γ28=0,其中γ12,γ13,γ14,γ15,γ16,γ23,γ24,γ25,γ26為系統(tǒng)的幾何結構參數(shù),因此這些參數(shù)值只能取正或者零.γ22=-4為一組可以進行代數(shù)運算的幾何參數(shù),正直或者負值均可取,取負值時系統(tǒng)在平衡點處有兩個負特征根,為穩(wěn)定狀態(tài).σ1和σ2為系統(tǒng)的調(diào)諧參數(shù),既可取負值又可取正值.參數(shù)則方程(6)對應的特征多項式和特征根為：

f(λ)=λ4+4λ3+4λ2=0,

λ1,2=0,λ3,4=-2

(11)

選取μ1和μ2作為攝動參數(shù),引入攝動變換μ1=2+ε1和μ2=2+ε2. 給出如下的穩(wěn)定性變換：

(12)

將變換(12)代入方程(4),系統(tǒng)被改寫成為如下形式：

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

其中,非線性項Ngi(i=1,2,3,4)的表達式見附錄A.

由中心流形降維方法可以知道系統(tǒng)(12)的局部動力學行為由變量y1和y2決定,而非主變量y3和y4的分岔解利用變量y1和y2來表示,可得到y(tǒng)3和y4的表達式如下：

(14a)

(14b)

將方程 (14)代入方程 (13),在方程(13)的前兩個方程中忽略y3和y4兩個變量,這種研究方法不影響(y1,y2)的分岔解和穩(wěn)定性條件.因此,要研究系統(tǒng)(13)的平衡點處的分岔和穩(wěn)定性問題,只需分析降維后的二維系統(tǒng),該系統(tǒng)如下：

(15a)

(15b)

(16a)

(16b)

根據(jù)不等式(16) ,定義穩(wěn)定性臨界曲線如下：

(17a)

L2:ε1-ε2=0

(17b)

L3: [(ε1-ε2)2-8ε1](ε1-ε2-8)-64=0

(17c)

根據(jù)方程(17),可得平衡點的穩(wěn)定性區(qū)域分布圖,如圖5所示.臨界曲線L1,L2和L3將平面(ε1,ε2)分為穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域,其中多項Ⅰ為穩(wěn)定區(qū)域,Ⅱ為不穩(wěn)定區(qū)域.

圖5 雙零和兩個負數(shù)特征根的穩(wěn)定區(qū)域以及不穩(wěn)定區(qū)域Fig.5 Stable region and the unstable region for the case of a double zero and two negative eigenvalues

為了驗證理論分析結果的有效性,我們對平均方程(4)進行數(shù)值分析.在穩(wěn)定區(qū)域Ⅰ中選取參數(shù)值(z1,z2,z3,z4)=(0.002,0.001,0.003,0.001)和(ε1,ε2)=(-0.5,0.1),我們得到圖6.從圖6中可以觀察到相空間中的軌線是周期軌線,因此軌線是穩(wěn)定的周期軌道.同理,在不穩(wěn)定區(qū)域II中選取參數(shù)值(z1,z2,z3,z4)=(0.003,0.001,-0.03,0.001)和(ε1,ε2)=(0.5,-0.2),得到圖7.根據(jù)圖7可以觀察到,軌線是從中心向外盤旋運動遠離初始點,所以該軌線是不穩(wěn)定的.

圖6 穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌跡Fig.6 Trajectory of the stable region

圖7 不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌跡Fig.7 Trajectory of the unstable region

2.2 雙零和一對純虛復數(shù)特征根

在本小節(jié),我們研究特征多項式(6)在平衡點處有雙零和一對純虛復數(shù)特征根的情況.為了便于分析,我們選取方程(4)中的參數(shù)如下：μ1=μ2=0,σ1=σ2=γ12=γ22=1.則方程(6)對應的特征多項式和特征根為：

f(λ)=λ4+λ2,λ1,2=0,λ3,4=±i

(18)

選取μ1和μ2作為攝動參數(shù),引入攝動變換μ1=ε1和μ2=ε2.將攝動變換代入Jacobian矩陣(5),則Jacobian矩陣(5)對應的特征多項式可以寫成如下形式：

f(λ)=λ4+c1λ3+c2λ2+c3λ+c4

(19)

其中,

c1=ε1+ε2

(20a)

(20b)

(20c)

(20d)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知,如果平衡點是穩(wěn)定的,則需要滿足如下條件：

ε1+ε2>0

(21a)

(21b)

(21c)

從不等式(21)中可以觀察到：當不等式(21c)成立時,不等式(21b)也一定成立.則根據(jù)不等式(21),我們可以定義穩(wěn)定區(qū)域的臨界曲線如下：

L4:ε1+ε2=0

(22a)

(22b)

根據(jù)方程(22)可以得到平衡點的穩(wěn)定性區(qū)域分布圖,如圖8所示. 臨界曲線L4和L5將平面(ε1,ε2)分成穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域,其中Ⅰ代表穩(wěn)定區(qū)域, Ⅱ代表不穩(wěn)定區(qū)域.

圖8 雙零和一對純虛復數(shù)特征根的穩(wěn)定區(qū)域以及不穩(wěn)定區(qū)域Fig.8 Stable region and the unstable region for the case of a double zero and a pair of purely imaginary eigenvalues

同上,在不同的區(qū)域內(nèi)選取不同的參數(shù)值驗證理論分析.首先我們在穩(wěn)定性區(qū)域I中選取參數(shù)值(z1,z2,z3,z4)=(0.002,0.001,0.003,0.001)和(ε1,ε2)=(-0.5,0.1),我們得到圖9. 從圖9中可以明顯觀察到,相空間軌線從初始點逐漸盤旋趨于平衡點達到穩(wěn)定狀態(tài).在不穩(wěn)定區(qū)域II中選取參數(shù)值(z1,z2,z3,z4)=(0.003,0.001,-0.03,0.001)和(ε1,ε2)=(0.5,-0.2),得到圖10.如圖10所示,軌線從初始點起呈螺旋狀向外運動,偏離初始點,軌線是不穩(wěn)定的.

圖9 穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌跡Fig.9 Trajectory of the stable region

圖10 不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌跡Fig.10 Trajectory of the unstable region

3 結論

本文研究了1∶1內(nèi)共振情形下環(huán)形桁架天線的局部分岔問題,即平衡點附近的1*.穩(wěn)定性和非線性動力學行為.通過理論分析,我們得到了兩種不同形式下平衡點的穩(wěn)定區(qū)域以及不穩(wěn)定區(qū)域,分別是平衡點為雙零和兩個負數(shù)特征根情形以及平衡點為雙零和一對純虛復數(shù)特征根情形. 根據(jù)四維平均方程進行數(shù)值分析,選取不同的參數(shù)研究環(huán)形桁架天線系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在不同的區(qū)域內(nèi)選取參數(shù)值,得到相應的相空間軌線圖,軌線圖進一步驗證了數(shù)值計算和理論分析的一致性.通過所得到的數(shù)值計算和理論分析研究結果,可以優(yōu)化環(huán)形桁架天線系統(tǒng)的結構設計以及調(diào)控系統(tǒng)參數(shù),從而預防和避免環(huán)形桁架天線在運行中產(chǎn)生大幅振動.

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