劉夢(mèng)波,胡國(guó)平,周 豪,韓昊鵬

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院,陜西 西安 710051)

在通信領(lǐng)域,多輸入多輸出(multi-input multi-output,MIMO)技術(shù)可以擴(kuò)展通信容量,提高通信質(zhì)量。該技術(shù)依賴于系統(tǒng)的空間分集,可以用于雷達(dá)探測(cè)。MIMO雷達(dá)[1-2]在工作時(shí),通過(guò)天線陣元分集和信號(hào)波形正交,增大了雷達(dá)系統(tǒng)的靈活性,具有更高的角度估計(jì)精度和自由度以及更好的參數(shù)分辨率,因此受到了廣泛關(guān)注。

時(shí)間反轉(zhuǎn)(time reversal,TR)技術(shù)并不是時(shí)間倒流,它起源于光學(xué)研究,通過(guò)相位共軛,實(shí)現(xiàn)光信號(hào)的能量聚焦。在復(fù)雜多散射環(huán)境下,TR技術(shù)[3-5]根據(jù)靜態(tài)媒質(zhì)中波動(dòng)方程的時(shí)間對(duì)稱性和空間互易性,利用相干疊加來(lái)處理多徑分量,通過(guò)非相干疊加去除信號(hào)中的雜波干擾[6],從而使信號(hào)在時(shí)間和空間上聚焦。目前,各國(guó)學(xué)者對(duì)時(shí)間反轉(zhuǎn)的研究大多為MIMO通信。

近年來(lái),越來(lái)越多的國(guó)外學(xué)者將TR技術(shù)和雷達(dá)探測(cè)相結(jié)合,其中文獻(xiàn)[7-10]將TR技術(shù)應(yīng)用到雷達(dá)中,顯示其獨(dú)特的性能優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[8]首次將TR MIMO雷達(dá)體制擴(kuò)展到目標(biāo)定位,推導(dǎo)出克拉美-羅界的表達(dá)式,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明在強(qiáng)雜波的環(huán)境中,TR MIMO雷達(dá)有更好的目標(biāo)定位能力。但是,MIMO雷達(dá)在擁有良好性能的同時(shí),由于運(yùn)算量的大幅增加,給工程實(shí)踐帶來(lái)了困難,而時(shí)間反轉(zhuǎn)技術(shù)的接收重發(fā)也增大了計(jì)算冗余,所以TR MIMO雷達(dá)系統(tǒng)有龐大的計(jì)算量。目前,TR技術(shù)應(yīng)用到MIMO目標(biāo)定位也引起了國(guó)內(nèi)學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[3]將TR技術(shù)應(yīng)用于UltraWideband(UWB)-MIMO雷達(dá),利用多重信號(hào)分類(lèi)(multiple signal classification,MUSIC)算法進(jìn)行DOA(direction of arrival)和發(fā)射角(direction of departure,DOD)聯(lián)合估計(jì),增強(qiáng)了雷達(dá)的抗噪能力,有更好的估計(jì)精度。但是,TR MIMO和二維估計(jì)[11-12]都具有龐大計(jì)算量,造成了更加巨大的計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[13]提出了一種降維的MIMO雷達(dá)DOA算法,有效地降低了計(jì)算復(fù)雜度,并且對(duì)雷達(dá)的估計(jì)精度影響較小,但計(jì)算效率還有提升的空間。文獻(xiàn)[14]利用旋轉(zhuǎn)變換技術(shù)對(duì)噪聲子空間進(jìn)行降維重構(gòu),降低了噪聲子空間的維度,從而有效地降低了估計(jì)時(shí)間,但算法的精度和目標(biāo)分辨率都難以和MIMO雷達(dá)相比。

為了降低TR MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度,更好地將TR 技術(shù)應(yīng)用到MIMO目標(biāo)定位中,本文提出了一種基于降維(reduced dimension,RD)子空間旋轉(zhuǎn)變換技術(shù)(subspace rotation technique,SRT)的TR MIMO DOA估計(jì)算法。算法的主要思想是通過(guò)噪聲矩陣按行分塊并取其逆矩陣,構(gòu)造低維噪聲子空間,利用正交性原理獲得MUSIC函數(shù)譜進(jìn)行目標(biāo)角度估計(jì)。相比于傳統(tǒng)的TR MIMO DOA估計(jì)算法,本文算法有效地降低了計(jì)算量,提高了目標(biāo)分辨率,對(duì)目標(biāo)估計(jì)精度損失相對(duì)較小。

1 TR MIMO信號(hào)模型及MUSIC算法

1.1 TR MIMO信號(hào)模型

為說(shuō)明算法,本文建立單基地MIMO雷達(dá)模型,MIMO雷達(dá)陣元間距為d(d為波長(zhǎng)一半)且為均勻線陣,設(shè)計(jì)發(fā)射端陣元數(shù)為M,對(duì)應(yīng)的接收端為N。假設(shè)存在遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo),目標(biāo)數(shù)為K。在此模型中,發(fā)射和接收陣列間距較近,所以發(fā)射角和接收角可作近似處理,設(shè)為θk(k=1,2,…,K)。如圖1所示。

因此,在接收端通過(guò)匹配濾波器后可以得到信號(hào)矩陣為[13]

X=(At°Ar)S(t)+n(t)

(1)

式中:At=(at(θ1)at(θ2) …at(θK)),Ar=(ar(θ1)ar(θ2) …ar(θK))包含了K個(gè)目標(biāo)的角度信息;at(θk)=(1 e-jπsinθk… e-jπ(M-1)sinθk)T,ar(θk)=(1e-jπsinθk…e-jπ(N-1)sinθk)T分別為發(fā)射波和反射波導(dǎo)向矢量矩陣,S(t)=(β1ej2πf1tβ2ej2πf2t…βKej2πfKt)T,βk為目標(biāo)散射系數(shù);n(t)為均值為0且方差為σ2的高斯白噪聲,“°”為Khatri-Rao積。

At°Ar=(at(θ1)?ar(θ1)at(θ2)?ar(θ2)…at(θK)?ar(θK))

(2)

式中:“?”為Kronecker積,At°Ar為MN×K維矩陣。

為得到TR MIMO數(shù)據(jù)模型,根據(jù)時(shí)間反轉(zhuǎn)的原理,將MIMO雷達(dá)接收端信號(hào)矩陣取共軛并且時(shí)間反轉(zhuǎn),進(jìn)行能量歸一化,再次發(fā)射出去。發(fā)射信號(hào)模型為εX*(-t),則TR MIMO接收端通過(guò)匹配濾波器后的信號(hào)矩陣為[8]

(3)

式中:ε為常數(shù),作為能量歸一化因子;(·)*表示取復(fù)共軛;η=(ej4πf1t|β1|2ej4πf2t|β2|2… ej4πfKt|βK|2)T為K×1維矩陣;v為M2×1維高斯白噪聲,均值為0,方差為σ2IMM。

(4)

1.2 TR MIMO MUSIC算法

相對(duì)于理論分析,在實(shí)際操作中,考慮到采樣數(shù),協(xié)方差矩陣可以表示為

(5)

式中:(·)H表示取矩陣的共軛轉(zhuǎn)置,L為采樣快拍數(shù)。

對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行分解:

(6)

式中:λi(i=1,2,…,K)為R分解后的K個(gè)較大特征值,λj(j=K+1,K+2,…,M2)表示特征分解的M2-K個(gè)小特征值,ei和ej分別為λi和λj的特征向量。定義:

(7)

則分別以Es和En的列為基構(gòu)成信號(hào)子空間和噪聲子空間。根據(jù)正交性原理span(Es)⊥span(En),TR MIMO MUSIC算法為

(8)

2 基于RD-SRT的TR MIMO DOA估計(jì)算法

2.1 TR MIMO降維變換

由文獻(xiàn)[11]可知,TR MIMO的合成導(dǎo)向矢量a(θ)中僅有2M-1個(gè)不同的元素,則a(θ)可以重新寫(xiě)為

(9)

式中:b(θ)=(e-jπ(M-1)sinθk… 1 … ejπ(M-1)sinθk)T是(2M-1)×1維矩陣,G為MM×(2M-1)維變換矩陣

(10)

根據(jù)式(10),定義W=GHG。則W=diag(1,2,…,M,…,2,1)∈C(2M-1)×(2M-1)。

利用W-1/2GH,可對(duì)接收信號(hào)Y作降維處理,則有:

(11)

(12)

此時(shí),空間譜函數(shù)可表示為

(13)

2.2 子空間旋轉(zhuǎn)變換

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(19)可構(gòu)造如下空間譜函數(shù):

(20)

2.3 p最優(yōu)值討論

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知,p存在最優(yōu)解使得本文算法的計(jì)算量最小。所以,根據(jù)p的取值范圍,即2≤p≤2M-1-K,從算法復(fù)雜度入手,對(duì)p做如下討論。

CFJ=O{(2M-1)2K}

(21)

CO=O{p(2M-1)(2M-1-K)}+O{(2M-1)(2M-1-K)}

(22)

將搜索范圍設(shè)為[-π/2,π/2],總的搜索點(diǎn)數(shù)為T(mén),那么在搜索時(shí)RD-MUSIC的復(fù)雜度為

CRD=O{2TM(2M-1-K)}

(23)

本文算法搜索時(shí)的復(fù)雜度為

CSS=O{2Tp(2M-p)}

(24)

綜上所述,RD-MUSIC和本文算法的復(fù)雜度分別為

CRM=O{(2M-1)2K}+O{2TM(2M-1-K)}

(25)

CRSM=O{(2M-1)2K}+O{p(2M-1)(2M-1-K)}+O{(2M-1)(2M-1-K)}+O{2Tp(2M-p)}

(26)

一般來(lái)說(shuō),有T?M>K,因此可作如下近似:

(27)

顯然,p應(yīng)該以CRSM取得最小值為原則,同時(shí)滿足2≤p≤2M-1-K的條件,即:

(28)

可以分3種情況討論p的最優(yōu)值:

①情況1。M≥K+1,此時(shí),2M-1-K≥M,CRSM在邊界p=2及p=2M-1-K的取值如圖2所示,p的最優(yōu)值為popt=2。

②情況2。(3/2)+(K/2)≤M

根據(jù)以上分析,可得:

(29)

3 算法步驟及性能分析

3.1 算法步驟

綜上所述,本文算法具體步驟如下:

①對(duì)TR MIMO雷達(dá)接收信號(hào)進(jìn)行降維變換,即Z=W-1/2GHY;

⑤通過(guò)式(20)進(jìn)行角度估計(jì)。

3.2 算法性能分析

1)估計(jì)精度和分辨率。

2)算法的復(fù)雜度。

根據(jù)式(29)和式(27),可以看出,在p=popt時(shí),本文算法復(fù)雜度最低為

CRSM=8T(M-1)

(30)

RD-MUSIC和本文算法復(fù)雜度的比值為

(31)

圖5為比值H隨陣元數(shù)的變化圖。從圖中可知,在較少目標(biāo)和較多陣元時(shí),本文算法的計(jì)算效率具有更大的優(yōu)勢(shì)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了證實(shí)算法的正確性,通過(guò)以下5組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。在實(shí)驗(yàn)中,設(shè)計(jì)MIMO模型的陣元間距為信號(hào)波長(zhǎng)一半且為均勻線陣,發(fā)射端陣元M=8,接收端陣元N=6,采樣數(shù)L=200。設(shè)置目標(biāo)數(shù)K=3,來(lái)波方向分別為θ1=-10°,θ2=20°,θ3=40°。為了分析算法的統(tǒng)計(jì)性能進(jìn)行300次Monte Carlo仿真。定義靠近角θ1和θ2,如果有函數(shù)f(·)滿足:

(32)

即認(rèn)為分辨成功。

1)檢驗(yàn)算法估計(jì)性能仿真實(shí)驗(yàn)。

圖6為使用本文算法和文獻(xiàn)[17]算法進(jìn)行的30次DOA估計(jì),其中選取信噪比RSN=-15 dB,3個(gè)目標(biāo)的角度分別為θ1=10°,θ2=15°,θ3=20°,φ為空間譜。

從圖6可以看出,文獻(xiàn)[17]算法難以分辨靠近目標(biāo),而本文算法在較低的信噪比下可以估計(jì)出目標(biāo)的DOA,并且每個(gè)目標(biāo)的譜峰位置較為集中,具有較好的估計(jì)性能和可靠性。

2)檢驗(yàn)信噪比對(duì)算法精度影響仿真實(shí)驗(yàn)。

圖7為不同信噪比4種算法的均方根誤差(σ),從圖7中可以看出,在低信噪比(RSN<-5 dB)時(shí),文獻(xiàn)[17]的低復(fù)雜度算法誤差明顯增大。另一方面,本文算法相比于MUSIC算法和RD-MUSIC算法的精度僅有較小損失,明顯好于文獻(xiàn)[17]。

3)檢驗(yàn)快拍數(shù)對(duì)算法精度影響仿真實(shí)驗(yàn)。

圖8是通過(guò)改變快拍數(shù)來(lái)觀察均方根誤差的變化,其中選取信噪比RSN=0。

從圖8可以看出,圖中的算法在低快拍時(shí)都能表現(xiàn)出良好的性能,本文算法性能甚至接近于MUSIC算法,明顯好于文獻(xiàn)[17]低復(fù)雜度算法。

4)檢驗(yàn)算法目標(biāo)分辨率仿真實(shí)驗(yàn)。

圖9和圖10分別給出了θ1=15°和θ2=16°的2個(gè)近目標(biāo)分辨成功率隨信噪比和快拍的變化關(guān)系。圖中,η為分辨成功率,圖9的快拍數(shù)為200,圖10選取RSN=0。

從圖9和圖10中可以看出,相比于圖中其他算法,本文算法擁有最高的分辨成功率,在低信噪比(RSN<-5 dB)和小快拍數(shù)(l<80)下全面優(yōu)于其他幾種算法。

5)算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。

圖11為本文算法、RD-MUSIC算法和文獻(xiàn)[17]中算法在不同陣元數(shù)的條件下完成一次DOA估計(jì)的時(shí)間對(duì)比,其中選取信噪比RSN=0,目標(biāo)位置分別為θ1=-10°,θ2=20°,θ3=40°。圖中,ts為仿真時(shí)間。

從圖11可以看出,對(duì)于計(jì)算時(shí)間,本文算法明顯低于未經(jīng)子空間重構(gòu)的算法并接近于文獻(xiàn)[17]中的算法。在大陣元數(shù)的條件下,相比于RD-MUSIC算法,本文算法擁有更低的計(jì)算時(shí)間,這與前面給出的計(jì)算量分析結(jié)果一致。

5 結(jié)論

本文將時(shí)間反轉(zhuǎn)技術(shù)用于MIMO雷達(dá)系統(tǒng),結(jié)合降維思想和子空間旋轉(zhuǎn)變換技術(shù),提出了一種科學(xué)的多目標(biāo)角度估計(jì)方法。算法充分反映了TR MIMO雷達(dá)估計(jì)精度和分辨率高等特點(diǎn),極大地降低了傳統(tǒng)算法的計(jì)算量。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。

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