◆任志宏 李 微 蔣 鍇

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深空通信中基于小波閾值算法的弱信號檢測

◆任志宏 李 微 蔣 鍇

（中國電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所 江蘇 210007）

深空通信中，由于通信鏈路距離極遠(yuǎn)，造成接收端接收到的信號非常微弱、信噪比極低以至于接收端不能夠完成信號的解調(diào)與譯碼。小波閾值法是一種能夠被應(yīng)用于在弱信號提取中的解決算法，后文中會給出小波閾值算法的詳細(xì)步驟并且對估算信號與實際信號之間載噪比和相關(guān)性進(jìn)行了仿真。另外，根據(jù)對采用了平移小波閾值變換法與未采用平移小波閾值變換法的仿真結(jié)果進(jìn)行對比分析。根據(jù)分析結(jié)果本文得出最后結(jié)論：小波閾值算法能夠有效提升信號的載噪比以及估算信號與實際信號之間的相關(guān)性，經(jīng)過這種方法的弱信號檢測處理，可以改善信號接收系統(tǒng)的工作性能；另外，基于平移變換的的小波閾值算法的性能優(yōu)于未經(jīng)過平移變換的小波閾值算法的性能。

深空通信；弱信號檢測；小波閾值算法

0 引言

近幾年，世界各國對航天探測活動的重視程度逐漸增加，航天裝備技術(shù)水平得到明顯提高，人類對宇宙的探索的深度與范圍不斷提升。同時，隨著深空探測距離的不斷增加，造成地面指控中心與航天探測器的通信距離越來越大，以至于不能通過一般的 信息傳輸手段來保證傳輸質(zhì)量。為了保證深空通信中信息的可靠傳輸，目前一般采用的解決途徑包括增大天線口徑、增加發(fā)射功率，提高載波頻率以及采用高增益的信道編碼技術(shù)等。但是隨著通信距離的不斷增加，這些傳統(tǒng)的技術(shù)途徑都從工程實現(xiàn)技術(shù)到成本資金投入上變得愈發(fā)困難，其發(fā)展前景不容樂觀，一個有效的解決思路就是通過改進(jìn)算法來提高接收信號的載噪比。由于噪聲譜是具有疊加性的，因此傳統(tǒng)的濾波器不具備降噪的作用，而小波閾值法可以有效的對疊加噪聲去噪。1994年，Donoho和Jhnstone發(fā)明了一種有效的降噪手段：利用小波的相關(guān)收縮特性來達(dá)到降噪的目的，我們稱此過程為WaveShrink閾值選擇[1]。從此以后，許多關(guān)于小波閾值的選擇算法不斷出現(xiàn)，包括SureShrink閾值選擇法[2]、ViewShrink選擇算法[3]等等。這些算法在降噪方面都表現(xiàn)出了良好的性能。本文當(dāng)中，我們選取小波閾值法的目的是提高深空通信中弱信號的載噪比。因為根據(jù)小波變換原理，有用信號經(jīng)過小波變換后的能量被壓縮到相對較少而數(shù)值較大的小波系數(shù)上，而同時白噪聲的能量分散在大量的數(shù)值而數(shù)值較小的小波系數(shù)上，然后可以通過設(shè)定閾值使幅值較小的小波系數(shù)為0從而達(dá)到降噪的目的[4]。因此，小波閾值法在深空通信中可以有效的對弱信號進(jìn)行提取。

1 基于小波閾值法弱信號提取的基本原理

1.1 基于 mallat的塔式算法

離散時間小波變換法（DWT）可以被應(yīng)用在多解析度分析（MRA）思想上。小波系數(shù)的分解可以用mallat塔式算法實現(xiàn)，如公式（1）和（2）所示：

可以證明，信號f(t)可以經(jīng)由一組濾波器恢復(fù)，高分辨系數(shù)可以通過低分辨系數(shù)計算得出：

圖2表示小波重構(gòu)的過程。如果離散時間小波變換算法被應(yīng)用于抽樣序列為N的信號，該算法的計算復(fù)雜度大約為O(n)[6]。

圖2 小波重構(gòu)的過程

1.2 利用小波函數(shù)提取弱信號的原理

小波函數(shù)可以被應(yīng)用到弱信號提取中來，主要是因為小波函數(shù)具有高階消失矩特性，可以使信號的小波的相關(guān)系數(shù)在小波閾中是稀疏的，因此信號的能量可以被集中在一些大的小波系數(shù)中。同時，高斯白噪聲的小波變換系數(shù)遵循高斯分布，能量散布在所有小波系數(shù)的小波閾值中。因此通過被表示為公式(4) 的非線性閾值函數(shù)可以保留大的小波系數(shù)而使小的小波系數(shù)變?yōu)?。大多數(shù)的噪聲都可以通過這一方法來去除。在參考文獻(xiàn)[2]中描述了閾值函數(shù)并考慮在所有小波系數(shù)上的附加噪聲。

圖3 信號小波系數(shù)的相對幅值的累積分布函數(shù)圖

2 小波閾值法提取弱信號的具體內(nèi)容

在上文中，我們知道小波閾值法可以從含有噪聲的信號中提取有用信號。圖4表示小波閾值法的具體過程。

圖4 小波閾值法的具體過程

這種方法包含以下6個步驟：

步驟1：邊界處理過程；

在對小波的濾波推導(dǎo)過程中，信號時被假定為無限長的，但是在實際的處理過程中，信號往往被處理成有限的長度，因此復(fù)雜信號的邊界將產(chǎn)生不容忽視的錯誤。本文采用了對稱延展方法，如下式[7]：

步驟2：小波分解過程；

信號通過mallat算法分解，如公式（1）和（2）所示。

步驟3：平移不變變換過程；

小波閾值法將產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象[8]在信號奇異點(diǎn)上，這種現(xiàn)象將對弱信號的提取產(chǎn)生不利的影響。這里采用了平移不變變化法來抑制這種現(xiàn)象帶來的不利影響[9-10]，該過程可以消除由于在信號奇異點(diǎn)的信號震蕩，可以由公式（5）表示：

步驟4：閾值處理過程；

在小波分解過程之后，小波系數(shù)被送到閾值處理單元，該過程如公式（4）所示。

步驟5：小波重建過程；

信號通過mallat算法重建，如公式（3）所示。

步驟6：反向變換與信息提??；

對應(yīng)步驟3，信息通過反向不變平移變換如公式（6）所示：

而且由于數(shù)據(jù)信號通過步驟1被擴(kuò)展，因此數(shù)據(jù)信號的恢復(fù)需要從整個數(shù)量的數(shù)據(jù)信號中提取。

本文選用了兩個參量來分析小波閾值法的性能表現(xiàn)，分別是載噪比（CNR）與互相關(guān)系數(shù)（corr）：

（1） 閾值選取

本文選用了Sure閾值選取法，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，估算系數(shù)與真實系數(shù)之間的無偏差的均方誤差（MSE）可以由下式表示：

（2）小波函數(shù)的選取

如果小波函數(shù)具有較高的消失矩特性，閾值法會較為提取弱信號，但是同時計算復(fù)雜度將會提高。小波分解和重建過程中的總共計算復(fù)雜度可以由式（10）與式（11）表示：

M表示信號的長度，K表示總共分解的階數(shù)，L表示濾波器的范圍。圖5給出了一些常用小波函數(shù)的計算復(fù)雜度。從圖中可以看出同樣的高階消失矩，Daubechies和Symlets小波函數(shù)擁有最小的計算復(fù)雜度。本文選擇了Daubechies小波函數(shù)。

圖5 消失矩與計算復(fù)雜度的關(guān)系

圖6 消失矩對于輸出載噪比和互相關(guān)系數(shù)的影響

圖6給出了消失矩對于輸出載噪比和互相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系。隨著消失矩的增大，載噪比和互相關(guān)系數(shù)隨之增大，但是同時計算復(fù)雜度也隨之增加。因此我們需要在考慮弱信號提取能力與計算復(fù)雜度之間折衷考慮。本文選擇了對具有10階消失矩的Daubechies小波函數(shù)進(jìn)行研究仿真。

（3）小波分解層數(shù)的選擇

采用小波閾值法在在分解層數(shù)較多時對消除噪聲信號有很大幫助。如圖7中所示為分解層數(shù)與載噪比、互相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系。隨著小波分解層數(shù)的增加，輸出載噪比和互相關(guān)系數(shù)增加。同時，計算復(fù)雜度很快增加到最大，如圖8和圖9中所示。在本文中，我們選取了9層分解層數(shù)作為研究參數(shù)。

圖7 小波分解層數(shù)對載噪比的影響

圖8 小波分解層數(shù)對載噪比的影響

圖9 分解層數(shù)對計算復(fù)雜度的影響

3 仿真結(jié)果分析

本文選擇10階消失矩的小波函數(shù)以及9層的分解層數(shù)，閾值函數(shù)選取軟閾值函數(shù)。圖9中表示的是載噪比、互相關(guān)系數(shù)與沒有采用平移不變變化的關(guān)系圖。

在圖10的左側(cè)表示經(jīng)過小波閾值法的處理，載噪比得到提高。并且輸入載噪比越高，提升效果越少。當(dāng)輸入載噪比為-20dB時，增益大約為18dB；而當(dāng)輸入載噪比提高到10dB時，增益不超過5dB。這是由于當(dāng)輸入信號的載噪比較高時，噪聲信號相對較小，因此噪聲信號就相對較難從整個信號中消除。如果輸出載噪比很低，接收系統(tǒng)不能夠正常工作，因為信號誤碼率會很高。本文在設(shè)置載噪比閾值下線為2dB。僅有載噪比高于2dB時，系統(tǒng)才能正常工作。

圖10的右側(cè)表示的是輸出信號與實際輸出信號的互相關(guān)系數(shù)要高于輸入信號與實際輸入信號的互相關(guān)系數(shù)。隨著輸入信號的載噪比的增加，輸出相關(guān)系數(shù)首先上升到最大約為-5dB，隨后開始下降。如果變量互相關(guān)系數(shù)較低，那么由于信號的嚴(yán)重失真變形接收系統(tǒng)不能夠?qū)π盘栠M(jìn)行解調(diào)。本文設(shè)置輸出信號與真實輸出信號之間的互相關(guān)系數(shù)閾值為0.65，僅在互相關(guān)系數(shù)大于0.65時系統(tǒng)才能正常工作。

在深空通信中，輸入信號的載噪比的范圍通常處于-3dB到-7dB之間。信號非常弱并且夾雜很多噪聲信號，造成誤碼率非常高，因此通信系統(tǒng)不能正常工作。但是經(jīng)過小波閾值法處理之后，輸出載噪比增加到3.5dB到6dB，此時互相關(guān)系數(shù)高于0.65。輸出信號可以被解調(diào)和解碼，系統(tǒng)能夠正常工作。

圖11 平移不變法的載噪比對比

圖12 平移不變法的互相關(guān)性能對比

圖11和圖12表示了加入平移不變法之后系統(tǒng)性能的提升。在平移過程中，輸出載噪比提升了大約1dB，并且輸出的互相關(guān)系數(shù)提高了0.065。所以當(dāng)接收信號在-7dB到-3dB之間時，輸出信噪比大約為4.5dB到7dB之間，輸出互相關(guān)系數(shù)約為0.71，這將減少編碼與調(diào)制的技術(shù)壓力。

4 結(jié)束語

本文討論了小波閾值法在深空通信中弱信號提取的性能表現(xiàn)，并且通過仿真分析得到了載噪比與估計信號和真實信號之間互相關(guān)系數(shù)的仿真結(jié)果。最終，本文得到如下結(jié)論，深空通信中輸入信號的載噪比分布于-7dB至-3dB之間，經(jīng)過小波閾值法對弱信號進(jìn)行提取之后，載噪比將提升至3.5dB至6dB，并且互相關(guān)系數(shù)提升至大于0.65。而且，采用平移不變的小波閾值法的性能優(yōu)于未采用平移不變變化法。

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