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(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

1 引 言

碳納米管(CNTs)具有高強度、高剛度、低密度以及良好的延展性[1]等優(yōu)點，可用作復(fù)合材料的增強相。研究表明，很低的CNTs含量就可以極大提高CNTs增強復(fù)合材料的力學性能[2]。當CNTs在基體材料中遵循某種特定規(guī)律呈梯度分布時就形成了CNTs增強型功能梯度復(fù)合材料(FG-CNTRC)。隨著微/納米機電技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)G-CNTRC已經(jīng)廣泛應(yīng)用于微/納米級別的傳感器、制動器以及顯微鏡等[3]。

諸多試驗已經(jīng)證實，當結(jié)構(gòu)的幾何尺寸接近微米量級時，材料將表現(xiàn)出比宏觀狀態(tài)下更高的剛度，即尺度效應(yīng)[4]。傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學理論無法描述這種現(xiàn)象，因此發(fā)展了能夠解釋尺度效應(yīng)的應(yīng)變梯度理論[5]和偶應(yīng)力理論[6]。這兩種理論都在本構(gòu)關(guān)系中引入了若干個和尺度效應(yīng)有關(guān)的尺度參數(shù)。

Yang等[7]提出了只含有一個尺度參數(shù)且適用于各向同性材料的修正偶應(yīng)力理論。近年來，基于該理論建立了一系列板和梁模型[8,9]。隨后，陳萬吉等[10]提出了一種能夠適用于各向異性材料的新修正偶應(yīng)力理論，并基于該理論建立了各向異性的微/納觀復(fù)合材料層合梁及層合板模型[10-12]。

當較長的CNTs在基體中沿特定方向排列時，F(xiàn)G -CNTRC 可作為各向異性材料。Shahriari等[13]基于應(yīng)變梯度理論較早建立了各向異性 FG -CNTRC 板的自由振動模型。目前基于偶應(yīng)力理論的各向異性 FG-CNTRC 板的研究尚屬空白。

本文基于修正偶應(yīng)力理論，建立了只含有一個尺度參數(shù)的各向異性 FG -CNTRC 板的自由振動模型?；诠茴D原理推導(dǎo)了運動微分方程，并以四邊簡支板為例對板自由振動頻率進行了計算。

2 新修正偶應(yīng)力理論

(1)

式中u和ω分別為平動位移和轉(zhuǎn)動位移。該理論下的本構(gòu)關(guān)系定義為

(2)

式中δ是克羅內(nèi)克符號，λ和G是Lame常數(shù)，σi j為正應(yīng)力，mi j為偶應(yīng)力，li是材料尺度參數(shù)。下標i和j均為自由指標。

3 FG -CNTRC 板的基本方程

薄板或中厚板的橫向變形和翹曲變形很小，可采用Mindlin板理論對位移進行描述：

(3)

式中u0和v0分別為板中性面沿x軸方向和y軸方向的位移，Ψx和Ψy分別為板繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角。

板的轉(zhuǎn)動位移由公式ωi=1/2ei j kuk,j得到(本文假設(shè)轉(zhuǎn)動位移ωz=0[12])。由式(1)可進一步得到應(yīng)變分量和曲率分量。

本構(gòu)關(guān)系表示為

σ=Qε

(4)

式中σ和ε分別為應(yīng)力和應(yīng)變,Q為剛度矩陣。

Q11=E11/(1-υ12υ21)，Q12=υ21E11/(1-υ12υ21)

Q22=E22/(1-υ12υ21)，Q33=G12，Q44=G13

Q55=G23，Q66=G13，Q77=G23，G12=G13=G23

lb和lm分別為CNTs和基體材料的尺度參數(shù)。E11和E22分別為板沿CNTs和垂直于CNTs方向的彈性模量，G12，G13和G23為板的剪切模量，υ12和υ21為泊松比，且有[14]

(5)

橫觀各向同性截面內(nèi)的纖維(斷面)可以看成是夾雜，該夾雜的尺寸遠大于橫觀各向異性截面內(nèi)的纖維和基體的夾雜尺度。因此，CNTs的尺度參數(shù)lb遠大于基體的尺度參數(shù)lm，為了便于工程應(yīng)用，可近似認為lm=0，即只需一個尺度參數(shù)。

本文考慮CNTs的四種分布方式[14]

(6)

式中z為沿板厚的坐標值，以板厚中性面為z=0的面。

4 FG -CNTRC 板的運動方程

FG -CNTRC 板的哈密頓原理表示為

(7)

式中U為應(yīng)變勢能，W為外力功，T為動能，t1和t2表示時間，

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(8～10)代入式(7)可得板的運動微分方程為

(12)

邊界條件為

電視畫面中的字幕發(fā)布了首相的指示：“你們中的許多人都安全地聚集在學校禮堂和社區(qū)中心里。我們要求你們待在原地，這樣你們能得到處理。假如你們待在家中，請待在原地；我們會找到你?！?/p>

(13)

5 算例分析

簡支板的邊界條件為

at edgex=0,a

at edgey=0,b

(14)

位移試函數(shù)設(shè)為

(15)

式中α=π/a，β=π/b。u00,v00,Ψx0,Ψy0和w0為待定系數(shù)，ω為待求頻率。a和b分別為板沿CNTs和垂直于CNTs方向的長度。

將式(15)代入運動微分方程(12)得到

([K]-ω2[M]){U}=0

(16)

式中 {U}={u00v00Ψx0Ψy0w0}T，[K]和[M]分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。對式(16)求廣義特征值便可得到板的自振頻率。計算過程中引入剪切修正系數(shù)[14]：

(17)

FG -CNTRC 的材料常數(shù)及CNTs效率參數(shù)分別列入表1和表2[14]。

表2 CNTs的效率參數(shù)

Tab.2 CNTs efficiency parameters

V*CNTη1η2η30.110.1490.9340.9340.140.1500.9410.9410.170.1491.3811.381

算例1可靠性驗證

表3 本文模型得到的自振頻率與文獻對比Tab.3 Comparison of the dimensionless fundamental frequency of the FG -CNTRC plate

算例2尺度效應(yīng)對自振頻率的影響

圖1中present為本文模型解，classical為經(jīng)典彈性理論的Mindlin板模型解?？梢钥闯觯疚哪Ｐ退A(yù)測的板的自振頻率總是高于經(jīng)典彈性理論的Mindlin板模型的計算結(jié)果，且兩者之間的差別隨著板厚與尺度參數(shù)比值的增大而減小。說明本文模型能夠有效地描述尺度效應(yīng)對結(jié)構(gòu)剛度的影響，且板的尺寸越小，尺度效應(yīng)對結(jié)構(gòu)剛度的增強效果越明顯，而隨著板的幾何尺寸逐漸增大時，尺度效應(yīng)逐漸消失。

算例3碳納米管體分比對板自振頻率的影響

以 FG -X 型分布為例，研究CNTs體分比分別取0.11，0.14和0.17時 FG -CNTRC 板的自振頻率，預(yù)測結(jié)果如圖2所示。固定板長和板厚，h=l=17.6 μm，a=10 h，無量綱化處理方式同算例2。

圖1 不同厚度的方板自振頻率

Fig.1 Natural frequencies of square plates with different thickness

圖2 不同碳納米管體積分數(shù)下的無量綱頻率

Fig.2 Dimensionless frequencies with different volume fraction of carbon nanotubes

圖中橫坐標為板的長寬比a/b，縱坐標為無量綱自振頻率。可以看出，CNTs體分比越高，板的自振頻率越大。說明CNTs可以提高結(jié)構(gòu)剛度，且CNTs體積分數(shù)越高結(jié)構(gòu)的剛度越大。

算例4碳納米管分布方式對自振頻率的影響

圖3 不同碳納米管分布方式的無量綱頻率

Fig.3 Dimensionless frequencies with differentdistribution of carbon nanotubes

6 結(jié) 論

本文基于一種新的修正偶應(yīng)力理論，建立了CNTs增強復(fù)合材料功能梯度板的自由振動模型。該模型預(yù)測的板的自振頻率總是高于經(jīng)典彈性理論下Mindlin板模型預(yù)測的結(jié)果，說明該模型能夠有效地描述尺度效應(yīng)對結(jié)構(gòu)剛度的影響。結(jié)構(gòu)的尺寸越小，尺度效應(yīng)就越明顯，當結(jié)構(gòu)尺寸遠大于尺度參數(shù)值時，尺度效應(yīng)消失。CNTs體積分數(shù)的增加能夠顯著提高結(jié)構(gòu)的剛度，而其在基體中的分布形式也對板的剛度有直接影響。

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