南瑤瑤，張 磊，侯 強

(中北大學 理學院， 太原 030051)

牛結(jié)核病是由牛型結(jié)核分枝桿菌引起的一種人獸共患的慢性傳染病，在世界范圍內(nèi)廣泛存在。它不僅影響奶牛養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展,更重要的是會導致交叉感染而使人類的健康受到嚴重威脅?；寂＝Y(jié)核病的動物潛伏期一般為10～45天，有的長達數(shù)月或數(shù)年[1]。在潛伏期的染病動物是具有傳染性的，而且牛結(jié)核病疫苗對牛沒有完全的保護作用，因此牛結(jié)核病的凈化僅靠免疫是不夠的[2]。目前對動物疫病的防控措施除了免疫接種和消毒，檢測撲殺也是疫病防控最重要的措施。在已有的研究中，關于免疫對動物疫病傳播影響的研究較多，理論結(jié)果和應用性結(jié)果都取得較大的進展[3-6]。關于檢測撲殺的動力學模型研究還比較少，已有的研究主要集中在撲殺措施對具體動物疫病傳播的影響方面[4,7]。遺憾的是，在已有的研究中沒有注意到撲殺前檢測行為的作用和影響。因此，本文基于牛結(jié)核病傳播的特征，考慮檢測的真陽性率和假陽性率，建立時滯動力學模型，分析模型的穩(wěn)定性和分支情況，研究檢測行為會導致哪些復雜的動力學現(xiàn)象，并闡述這些現(xiàn)象背后的流行病意義。

1 模型的建立

(1)

其中：A表示單位時間內(nèi)種群的輸入率；β表示傳染率；μ表示動物的淘汰率；φ表示一個染病個體引起的檢測比率；c表示被發(fā)現(xiàn)染病動物的捕殺率；m1表示假陽性率；m2表示真陽性率。

模型(1)的初始條件為

(2)

2 平衡點和基本再生數(shù)

根據(jù)下一代矩陣法，系統(tǒng)的基本再生數(shù)為

(3)

地方病平衡點滿足下面方程：

(4)

當Rc>1時，模型有地方病平衡點：

3 平衡點的穩(wěn)定性

定理2 如果Rc1,無病平衡點是不穩(wěn)定的。

證明模型(1)在無病平衡點E0處的Jacobian矩陣為

特征方程為：(λ+μ)(λ-βS0+μ)(λ-m1φS0+μ+c)=0。由此可知：λ1=-μ<0。由Rc1，存在正根，無病平衡點不穩(wěn)定。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對L關于模型(1)求導：

特征方程為

(λ-m1φS*e-λτ-m2φI*e-λτ+μ+c)(λ2+λ(-βS*+μ+βI*+μ)+βI*μ-βS*μ+μ2)=0

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對L關于模型(1)求導：

特征方程為λ3+aλ2+bλ+c=0，這里：

(-m1φS*-m2φI*+μ+c)β2S*I*

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對L關于模型(1)求導：

當τ>0時，模型(1)的特征方程為

λ3+a1λ2+a2λ+a3-e-λτ(b1λ2+b2λ+b3)=0

(5)

其中：

b1=m1φS*+m2φI*

考慮純虛根λ=ix,x>0代入特征方程后分離實部和虛部可得:

a3-a1x2=(b3-b1x2)cosxτ+b2xsinxτ

a2x-x3=b2xcosxτ-(b3-b1x2)sinxτ

(6)

兩端平方相加可得

(7)

(8)

特征方程有純虛根λ=ix,x>0則等價于f(μ)=0有正根μ=x2。這里容易得到

f′(μ)=3μ2+2M1μ+M2

(9)

解方程(6)可得

證明驗證發(fā)生Hopf分支的穿越條件，根據(jù)方程(5)可得

4 數(shù)值模擬和討論

圖1 τ=0

圖3 τ=0.335

圖4 τ=7.5

本文基于牛結(jié)核病傳播和檢測的具體特點，建立時間遲滯動力學模型。通過分析模型，發(fā)現(xiàn)檢測不會影響模型的動力學性質(zhì)，但在檢測過程中的時間遲滯對動力學性質(zhì)有顯著影響。周期震蕩行為的出現(xiàn)會嚴重影響防控措施的有效執(zhí)行(例如疫病在周期運行的最低點，人們會誤認為疫病開始消失)。因此，在對動物進行檢測撲殺時，應盡量減少數(shù)據(jù)統(tǒng)計時間，避免時間遲滯的影響，使牛結(jié)核病得到更好的控制。

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