羅一帆, 孫洪鑫, 王修勇

(湖南科技大學(xué)結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 湘潭 411201)

引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，施工技術(shù)及設(shè)計(jì)理論的不斷更新，建筑物的高度已經(jīng)越來(lái)越高，剛度愈來(lái)愈小，自振周期在變長(zhǎng)，在地震荷載或風(fēng)荷載的作用下，容易引起建筑物的震/振動(dòng)，影響建筑物的安全使用。大幅型振動(dòng)可能破壞結(jié)構(gòu)或二級(jí)組件，從而不適于人類(lèi)居住。

為了抑制動(dòng)力荷載下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的響應(yīng)，世界各國(guó)的學(xué)者們研究并開(kāi)發(fā)了眾多結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制技術(shù)[1-4]，根據(jù)所采取的控制措施是否需要外部能源可分為被動(dòng)控制、主動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和混合控制等。其中，被動(dòng)控制是一種不需要外部能源的結(jié)構(gòu)控制技術(shù)，從控制機(jī)理上可分為基礎(chǔ)隔振和耗能吸能減振兩大類(lèi)。其中，耗能吸振減振主要包括耗能阻尼器和調(diào)諧阻尼器。在后者中，最簡(jiǎn)單實(shí)用的當(dāng)屬于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)。TMD的最早原型是動(dòng)力吸振器[5]，由一個(gè)質(zhì)量塊和一個(gè)彈簧構(gòu)成，并未增加阻尼單元，當(dāng)時(shí)主要用于控制不同類(lèi)型的機(jī)械振動(dòng)。近年來(lái)，隨著TMD技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，為了提高其性能，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們分別對(duì)TMD減振理論的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。

為了優(yōu)化動(dòng)力吸振器在外激勵(lì)下的振動(dòng)控制性能，Ormondroyd和 Den Hartog[6]在吸振器的原型上添加了黏彈性阻尼，提出了調(diào)諧吸振器的概念。同時(shí)Den Hartog[7]還在理論上通過(guò)固定點(diǎn)法推導(dǎo)了調(diào)諧吸振器在無(wú)主結(jié)構(gòu)阻尼情況下的受簡(jiǎn)諧荷載作用的最優(yōu)參數(shù)解析式。之后，Warburton[8]推導(dǎo)了主結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼時(shí)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)和白噪聲激勵(lì)作用下的TMD最優(yōu)參數(shù)解析式。針對(duì)有主結(jié)構(gòu)阻尼下的TMD的參數(shù)優(yōu)化，也提出了眾多優(yōu)化理論和準(zhǔn)則[9-12]。

另一方面，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于壓電材料、電磁材料等材料，開(kāi)展了能量收集與振動(dòng)控制方面的設(shè)計(jì)、理論分析、仿真等工作。Nerves 和Scruggs 等[13]首次提出將土木結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量收集，并用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的想法。國(guó)內(nèi)學(xué)者孫作玉等[14- 15]利用“換能器”將結(jié)構(gòu)的一部分振動(dòng)能量以液壓能的形式轉(zhuǎn)換，并利用它作為主動(dòng)控制的能源，提出了一種無(wú)能源主動(dòng)控制方案。

基于TMD調(diào)諧耗能的特點(diǎn)，近年來(lái)利用TMD進(jìn)行能量收集的理論也得以發(fā)展。Beherens等[16]最先提出了電磁換能器在隔震領(lǐng)域可用于實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制與能量回收的想法。Inoue等[17]將電磁換能器與單自由度結(jié)構(gòu)結(jié)合，并通過(guò)固定點(diǎn)法對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得出理論解。Zuo等[18]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁換能器替代經(jīng)典TMD中的黏性阻尼單元的可行性；Wen[19]對(duì)集能式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器與單自由度耦合結(jié)構(gòu)在風(fēng)振作用下的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。同時(shí)，李曉華[20]也提出了磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的概念，并通過(guò)數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

本文基于經(jīng)典TMD結(jié)構(gòu)，將電磁換能器能量收集單元替代經(jīng)典TMD系統(tǒng)中的阻尼器中的黏性阻尼單元，引入了電磁調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Electromagnetic TMD，EMTMD)的概念，在對(duì)主結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振的同時(shí)，對(duì)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量進(jìn)行收集。同時(shí)本文還提出了EMTMD 關(guān)于H2的理論解析解。EMTMD的基本構(gòu)造包括一個(gè)質(zhì)量彈簧單元和基于電磁換能器的能量收集單元。與此同時(shí)，EMTMD阻尼值還可以通過(guò)電機(jī)的內(nèi)阻與終端電阻值的大小來(lái)調(diào)節(jié)。通過(guò)電磁能量收集單元的能量收集，旨在為結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)或振動(dòng)控制的傳感器提供一定的電能輸入，從能量輸出功率與作用力分析[21-23]，收集的能量基本滿(mǎn)足小型無(wú)線(xiàn)傳感器(能耗幾十mW)的供電問(wèn)題，也為實(shí)現(xiàn)對(duì)于結(jié)構(gòu)半主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)供能提供了可能性。

本文基于EMTMD的原理，建立了能量收集單元、EMTMD和EMTMD對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)受地震作用時(shí)的動(dòng)力學(xué)模型。然后基于H2優(yōu)化理論，即主結(jié)構(gòu)位移均方根值最優(yōu)參數(shù)優(yōu)化理論，進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，得到EMTMD的結(jié)構(gòu)頻率比、電磁阻尼比和機(jī)電耦合系數(shù)的最優(yōu)解析解。通過(guò)頻域和時(shí)域兩種數(shù)值仿真方法，分析了EMTMD的減震及能量收集雙重性能。

1 電磁調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(EMTMD)力學(xué)模型

1.1 EMTMD 工作原理

EMTMD的基本結(jié)構(gòu)主要包括彈簧-質(zhì)量單元，以及基于直線(xiàn)電機(jī)的能量收集單元，具體如圖1所示。根據(jù)直線(xiàn)電機(jī)原理可以等效為一個(gè)電感L和一個(gè)內(nèi)阻Ri；與此同時(shí)，直線(xiàn)電機(jī)與一交流直流轉(zhuǎn)換器(AC/DC)、直流轉(zhuǎn)換器(DC/DC)、能量?jī)?chǔ)存單元相連，后三者的電阻可等效為外接電阻Re。直線(xiàn)電機(jī)與電路串聯(lián)后，整個(gè)系統(tǒng)可以等效為一RL電路。

EMTMD的工作原理為：電磁換能器替換傳統(tǒng)黏性阻尼器后，形成了電磁調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。當(dāng)整個(gè)能量收集單元置于被控結(jié)構(gòu)時(shí)，TMD質(zhì)量塊做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，從而引起電磁發(fā)電機(jī)的動(dòng)子相對(duì)于定子產(chǎn)生移動(dòng)，隨著動(dòng)子的移動(dòng)，線(xiàn)圈中的磁通量將發(fā)生改變，從而在線(xiàn)圈中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)。在產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)，等效為電磁力，形成振動(dòng)能到電能的能量轉(zhuǎn)化，從而進(jìn)行對(duì)被控結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。若在整個(gè)能量轉(zhuǎn)化過(guò)程中，把能量收集儲(chǔ)存，同時(shí)達(dá)到收集電能的效果。

圖1 EMTMD構(gòu)造圖Fig.1 The structural diagram of the EMTMD

1.2 能量收集單元力學(xué)模型

設(shè)在外部激勵(lì)振幅作用下，根據(jù)基爾霍夫定律，不計(jì)電容，線(xiàn)圈回路電壓平衡方程有

(1)

式中R表示線(xiàn)圈回路電阻且R=Ri+Re，Re是外接電阻，Ri是內(nèi)阻；L是線(xiàn)圈回路電感；e是線(xiàn)圈移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與磁場(chǎng)強(qiáng)度及相對(duì)移動(dòng)速度成正比即

(2)

然后，回路中的電流會(huì)產(chǎn)生一反電動(dòng)勢(shì)力，反電動(dòng)勢(shì)力與回路中的電流成正比，力的方向總是與回路中的電流方向相反。則反電動(dòng)勢(shì)力為

(3)

式中kf是力常數(shù)。

在理想模型中

kf=ke

(4)

2 電磁調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(EMTMD)與單自由度結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)力學(xué)模型

圖2 EMTMD耦合減震模型Fig.2 The coupling models of EMTMD

基于EMTMD的力學(xué)模型，依據(jù)達(dá)朗伯原理，耦合結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型建立如下

(5)

為了便于進(jìn)行系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化，暫不考慮主結(jié)構(gòu)的阻尼，通過(guò)拉普拉斯變換可得

(6)

(8)

令相對(duì)位移xr=xT-xs，上式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)

(9)

3 耦合系統(tǒng)減震模型的H2參數(shù)優(yōu)化

3.1 耦合系統(tǒng)減震模型的傳遞函數(shù)

(10)

(11)

(12)

3.2 基于H2的參數(shù)優(yōu)化

(13)

式中E[·]代表RMS值，〈·〉代表瞬時(shí)平均值，S0代表外激勵(lì)的能量強(qiáng)度，單位是(m2·s)/rad。

則主結(jié)構(gòu)位移xs的RMS值可以定義為

(14)

將式(14)帶入式(13)中，評(píng)價(jià)指數(shù)PIv可以表示為

(15)

式(15)中的積分可以通過(guò)殘數(shù)定理[25]求得，5階積分簡(jiǎn)化后的公式見(jiàn)附錄A。結(jié)合式(10)，評(píng)價(jià)指標(biāo)PIv可以表示為3個(gè)調(diào)諧參數(shù)結(jié)構(gòu)頻率比f(wàn)T、機(jī)電耦合系數(shù)μk，電磁阻尼比ζe的函數(shù)形式

(16)

便于實(shí)現(xiàn)減震評(píng)價(jià)指標(biāo)PIv最小化，即PIv對(duì)每個(gè)調(diào)諧參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零，則有

(17)

因此，通過(guò)式(16)和式(17)，可有：

(18a)

(18b)

(18c)

通過(guò)求解方程(18)，可得到

(19)

因此，相應(yīng)的物理參數(shù)L，R，kT可以表示為

(20)

在地震荷載下的經(jīng)典TMD的H2理論優(yōu)化參數(shù)[26]表示為

(21)

4 頻域數(shù)值分析

4.1 減震性能分析

4．1．1 最優(yōu)狀態(tài)下的H2調(diào)諧參數(shù)描述

由式(19)繪出3個(gè)調(diào)諧參數(shù)與質(zhì)量比的關(guān)系圖，如圖3所示。從圖中可以看出，隨著EMTMD的質(zhì)量比的增大，EMTMD的最優(yōu)結(jié)構(gòu)頻率比會(huì)減小，且基本與質(zhì)量比呈類(lèi)似于線(xiàn)性關(guān)系，最優(yōu)電磁阻尼比和機(jī)電耦合系數(shù)則會(huì)增大，不同的是最優(yōu)電磁阻尼比的增速隨著質(zhì)量比的增大而變緩，機(jī)電耦合系數(shù)則基本上與質(zhì)量比呈線(xiàn)性關(guān)系。

4．1．2 不同系統(tǒng)的減振性能對(duì)比

在質(zhì)量比為0.02的情況下，主結(jié)構(gòu)在無(wú)控狀態(tài)、經(jīng)典TMD控制狀態(tài)和EMTMD控制狀態(tài)下的主結(jié)構(gòu)位移和相對(duì)位移頻響對(duì)比如圖4所示。從圖中可以看出，在相同的質(zhì)量比下，EMTMD的H2主結(jié)構(gòu)位移減振性能要略?xún)?yōu)于經(jīng)典TMD的性能。具體而言，EMTMD的主結(jié)構(gòu)位移的傳遞函數(shù)Xn的峰值相對(duì)于經(jīng)典TMD降低了4%。除此之外，當(dāng)α的范圍在0.7到1.3之間時(shí)，EMTMD的主結(jié)構(gòu)位移的傳遞函數(shù)Xn的積分面積相對(duì)于經(jīng)典TMD降低了0.9%。

4．1．3 不同質(zhì)量比下EMTMD的減振性能對(duì)比

由圖5可知，質(zhì)量比越大，EMTMD的減振性能越好。

圖3 最優(yōu)H2調(diào)諧參數(shù)描述Fig.3 Graphical representations of the H2 tuning laws

圖4 質(zhì)量比μ=0.02不同的TMD下的主結(jié)構(gòu)位移頻響
Fig.4 The frequencyresponses of the displacement of primary structure at the mass ratioμ of 0.02

圖5 在不同質(zhì)量比下EMTMD的主結(jié)構(gòu)位移頻響
Fig.5 The frequency responses of the displacement of primary structure of EMTMD under different mass ratios

4．1．4 調(diào)諧參數(shù)的魯棒性分析

在實(shí)際過(guò)程中，EMTMD很難調(diào)諧到最優(yōu)狀態(tài)，受到環(huán)境和時(shí)間的影響，一些參數(shù)可能會(huì)發(fā)生改變。減振性能隨著相關(guān)參數(shù)的變化趨勢(shì)如圖6所示。從圖中可以歸納出，EMTMD的主結(jié)構(gòu)位移頻響對(duì)結(jié)構(gòu)頻率比的變化比較敏感，而對(duì)電磁阻尼比和機(jī)電耦合系數(shù)則不是那么敏感。

圖6 EMTMD的調(diào)諧參數(shù)魯棒性
Fig.6 The vibration performance change to the changes of the tuning parameters of EMTMD

4.2 能量收集分析

為了使EMTMD的能量回收效率最高，希望通過(guò)放大外接電阻Re的能量，作用在外接電阻Re的瞬時(shí)功率為

P(t)=ReI2

(22)

類(lèi)似的，當(dāng)系統(tǒng)在地震波加速度激勵(lì)下，能量回收評(píng)價(jià)指標(biāo)可以定義為

(23)

將式(12)帶入式(23)中可得

(24)

5 時(shí)域數(shù)值分析

在本節(jié)中，通過(guò)4種地震波來(lái)時(shí)程分析EMTMD的減震和能量收集效果，相關(guān)分析如下：

5.1 理論模型

式(5)可以表述成另一種形式：

(25)

引入相對(duì)位移xr，上式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)

(26)

式(26)可以用矩陣形式表示為

(27)

其中

(28)

5.2 結(jié)構(gòu)位移減震指標(biāo)

(1)峰值減震評(píng)價(jià)指標(biāo)

(29)

(30)

(2)均方差減震評(píng)價(jià)指標(biāo)

(31)

(32)

5.3 仿真參數(shù)

為了進(jìn)一步對(duì)本文提出的EMTMD兩重功能進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果將會(huì)與最優(yōu)狀態(tài)下的經(jīng)典TMD進(jìn)行對(duì)比。此次仿真主結(jié)構(gòu)參數(shù)選擇的是10層框架結(jié)構(gòu)，取其首階模態(tài)參數(shù)，相關(guān)阻尼器參數(shù)根據(jù)H2最優(yōu)解析解確定，具體如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

5.4 減震仿真

本仿真過(guò)程中，選擇典型的4種地震波進(jìn)行仿真。為了便于對(duì)峰值減震進(jìn)行分析，對(duì)地震加速度振幅調(diào)到200 cm/s2，4種地震波分別為：(1)ChiChi，(2)El Centro，(3)Kobe，(4)Northridge。地震波功率譜如圖7所示，從圖中可以知道每種地震波在不同周期的振幅強(qiáng)度。EMTMD的位移減震時(shí)程圖如8所示，加速度減震時(shí)程圖如9所示。相關(guān)位移和加速度峰值和均方值減震率如表2所示。

圖7 地震波功率譜Fig.7 Response spectra for observed earthquake records

圖8 位移減震時(shí)程圖Fig.8 Time-history responses of displacements

地震波減震系統(tǒng)JxpJx¨pJxrmsJx¨rmsChiChiEMTMD21.18%35.54%45.11%47.01%經(jīng)典TMD20.75%35.71%44.21%46.35%El CentroEMTMD23.93%21.00%30.83%33.19%經(jīng)典TMD23.56%20.70%30.12%32.71%KobeEMTMD15.33%21.76%36.76%39.68%經(jīng)典TMD14.25%21.11%36.05%39.20%NorthridgeEMTMD43.43%44.56%49.74%56.17%經(jīng)典TMD43.04%43.93%49.36%55.75%

圖9 加速度減震時(shí)程圖Fig.9 Time-history responses of accelerations

由表2可知，總體而言，相對(duì)于經(jīng)典TMD，EMTMD對(duì)于主結(jié)構(gòu)的位移和加速度的峰值和均方值減震性能均有了提高。

5.5 能量收集仿真

EMTMD的能量收集時(shí)程如圖10所示，相關(guān)能量收集指標(biāo)如表3所示。

圖10 能量收集功率時(shí)程圖
Fig.10 Time histories of energy harvesting power

表3 能量指標(biāo)

Tab.3 The indicators of the power

地震波峰值功率/W平均功率/W回收能量/J峰值電壓/VChiChi1.19×1064.33×1042.29×1064.09×102El Centro1.66×1074.05×1051.60×1071.53×103Kobe1.26×1073.77×1051.54×1061.33×103Northridge9.25×1062.32×1059.27×1061.14×103

由圖10和表3可知，EMTMD與經(jīng)典TMD相比，其減振性能相當(dāng)?shù)那闆r，能夠獲得一定的能量收集效果。4種地震荷載仿真下，El Centro的收集能量最多，平均功率達(dá)4.05×105W，對(duì)應(yīng)的峰值電壓為1.53×103V。

6 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典TMD，引入電磁換能器代替黏性阻尼單元，形成具有結(jié)構(gòu)減震與能量收集雙重功能的新型電磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。并且建立了能量收集單元、EMTMD、EMTMD與單自由度結(jié)構(gòu)耦合減震模型的動(dòng)力學(xué)模型。然后基于H2理論，即主結(jié)構(gòu)位移均方根值最小優(yōu)化理論，對(duì)耦合模型進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，得到最優(yōu)參數(shù)的理論解。利用所得參數(shù)數(shù)值仿真分析了耦合減震模型的減震和能量收集性能。具體結(jié)論如下：

(1)基于H2優(yōu)化理論與殘值定理，建立了主結(jié)構(gòu)位移均方根最優(yōu)的表達(dá)式，并獲得了主結(jié)構(gòu)的最優(yōu)狀況下的結(jié)構(gòu)頻率比、電磁阻尼比和機(jī)電耦合系數(shù)的解析表達(dá)式。

(2)頻域分析可知，隨著TMD質(zhì)量比的增大，最優(yōu)結(jié)構(gòu)頻率比會(huì)減小，而最優(yōu)電磁阻尼比和機(jī)電耦合系數(shù)則會(huì)增大，EMTMD的減振性能則會(huì)越來(lái)越好。在相同的質(zhì)量比下，EMTMD對(duì)于主結(jié)構(gòu)位移頻響減振效果略?xún)?yōu)于經(jīng)典TMD的性能。

(3)時(shí)域數(shù)值分析的結(jié)果基本與頻域分析基本相當(dāng)，但是增加能量轉(zhuǎn)化裝置的EMTMD能夠進(jìn)行能量收集，如在EI Centro地震荷載時(shí)，收集的平均功率達(dá)4.05×105W，對(duì)應(yīng)的峰值電壓為1.53×103V。

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